2022-2023学年河北省沧衡八校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省沧衡八校联盟高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，，那么(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，，，则外接圆的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中，，，，分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
直线与直线是异面直线；
直线与直线是异面直线；
直线与直线共面；
直线与直线是异面直线．
其中正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.
C.  D.

10.  在中，，，分别是角，，所对的边，且，是方程的两个根，，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知点是所在平面内任一点，为的中点，，，且，则(    )

A. 是的外心 B. 是的重心
C.  D.

12.  在正方体中，，，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则(    )

A. 当时，平面
B. 当时，平面
C. 当时，存在点，使，，，四点共面
D. 当时，存在点，使，，三条直线交于同一点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知复数为纯虚数，则实数 ______ ．

14.  已知向量，向量，若，则 ______ ．

15.  如图，在正六边形中，向量在向量上的投影向量是，则 ______ ．

16.  广州国际金融中心大楼，简称“广州”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为______ 米

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
据黑鞑事略记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替如图，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体如图，已知该圆锥的高为米，圆柱的高为米，底面直径为米求该蒙古包的侧面积．

 

18.  本小题分
已知复数满足，．
求；
设，，在复平面内对应的点分别为，，，求

19.  本小题分
在中，为的中点，．
设，，用，表示向量及向量，
若，，且，求的周长．

20.  本小题分
已知，，分别为的内角，，所对的边，，且．
求角；
若为的中线，且，求的面积．

21.  本小题分
如图，正方体的棱长为，是的中点，点在棱上，且．
作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；
求中所得截面的周长．

22.  本小题分
如图，某巡逻艇在处发现正东方向海里的处有一艘走私船正沿东偏北的方向直线行驶，巡逻艇立即以走私船倍的速度沿东偏北的方向直线追去，并在处拦截若点在警戒水域内包含边界，则为安全拦截，否则为警戒拦截已知为的中点．
若，求；
若对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据平面向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则，即的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，解得，
设外接圆的半径为，
则，
解得．
故选：．
根据内角和求出，再由正弦定理计算可得．
本题考查了三角形内角和定理以及正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设向量，的夹角为，
因为，，，解得．
故选：．
运用向量数量积运算即可求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，在直观图中，作轴，与轴交于先点，
由于，，易得，
在原图中，与轴，就是顶点到轴的距离，且．
故选：．
根据题意，在直观图中，作轴，与轴交于先点，求出的长，由斜二测画法的步骤分析可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据展开图，复原几何体，如下图所示：
对，因为，，，分别为，，，的中点，
所以，又，则，故F，，，四点共面，
故直线与直线是共面直线，错误；
对，在过，，，四点的平面外，
故直线与直线是异面直线，正确；
对，，重合，故直线与直线共面，正确；
对，在过，，，四点的平面外，故直线与直线是异面直线，正确；
综上有正确．
故选：．
作出直观图，根据直线共面的判定与性质逐个判断即可．
本题考查异面直线的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积．
故选：．
运用圆台的侧面积公式计算即可．
本题考查圆台的侧面积公式，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，，，如图所示：


则，故，球的半径，
故体积为．
故选：．
将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，，，可得则，得到球半径，计算体积得到答案．
本题考查空间几何体的外接球的体积的求法，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
则，即，即；
，所以．
故选：．
根据向量平行得到，得到，再计算模长得到答案．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，所以．
又因为，是方程的两个根，
所以，解得：，
所以．
根据余弦定理可得，解得：或舍去，
则．
故选：．
运用韦达定理解得、的值，再运用余弦定理求得的值，进而判断各个选项．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为为的中点，，，
所以，，，
因为，所以，
取中点为，中点为，连接，，如图所示：

所以，所以，
所以，，三点共线，，，三点共线，
又中点为，中点为，
所以是的重心，故A不正确，B正确；
则，故C正确；
则，故D正确．
故选：．
根据平面向量的共线定理及运算法则结合三角形面积公式逐项判断即可得答案．
本题主要考查了平面向量的线性运算，考查了三角形面积公式，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，易知平面，A错误；
当时，，，分别为，，的中点，连接，，；
由图易知四边形与均为平行四边形，则，，
所以，则，，，四点共面，平面，B正确；

如图，延长与的延长线交于点，连接与的交点即为点，
则，，，Ⅰ四点共面，C正确；

如图，连接并延长与的延长线交于点，连接与的交点即为点，
则存在点，使，，三条直线交于同一点，D正确．

故选：．
依据每个选项的条件，结合图形可判断其正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查空间想象能力，考查推理论证能力，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
复数为纯虚数，故，
所以．
故答案为：．
根据纯虚数的定义，求解的值即可．
本题考查复数的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：向量，向量，
则，
，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正六边形边长为，
则与的夹角为，
故在向量上的投影向量为，
所以．
故答案为：．
由在向量上的投影向量公式计算即可．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：作出图形，如图所示：

由题意得，，，且，，，米，
设广州国际金融中心大楼的高度为，则，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由图形得，即，
，
，解得，
故广州国际金融中心大楼的高度为米．
故答案为：．
结合题意作出图形，利用余弦定理可得，，求解即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意可知米，米，米，
则米．
圆锥的侧面积平方米，
圆柱的侧面积平方米，
所以该蒙古包的侧面积平方米． 

【解析】运用圆锥、圆柱的侧面积公式计算即可．
本题考查圆锥、圆柱的侧面积的求法，是基础题．
 

18.【答案】解：，，所以，，
故．
，
则，，
则，，
则，
所以，，． 

【解析】计算得到，，再结合复数模公式，即可求解；
利用复数的计算得到，，，再根据向量的夹角公式计算得到答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为是的中点，，
则，．
由，，可得，

因为，，
所以，
在中由余弦定理，得：，
则，
所以的周长为． 

【解析】运用向量加法、减法及共线向量表示即可．
运用向量数量积及余弦定理可求得结果．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意得，
由正弦定理得，
则，
，
；
作出图形，如图所示：

在中，，即，解得或，
或，
当时，，
当时，，
故的面积为或． 

【解析】运用正弦定理角化边解方程，即可得出答案；
在中运用余弦定理求得的值，进而求得的值，结合三角形面积公式求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：如图所示，五边形即为所求截面．
作法如下：连接并延长交的延长线于点，连接交于点，
交的延长线于点，连接交于点，连接，，
所以五边形即为所求截面．
因为，所以，得．
因为，所以，得，
则，，所以，
，，
则截面的周长为． 

【解析】如图所示，五边形即为所求截面，得到答案．
根据相似得到各线段长度，再计算周长得到答案．
本题考查棱柱的相关知识，属于中档题．
 

22.【答案】解：在中，由于巡逻艇速度是走私船速度的倍，则，
由正弦定理得，
；
设，则，则，解得，
由余弦定理得，，
过作交于，如图所示：

则，
由题意得对任意恒成立，
则，当且仅当时等号成立，
当警戒水域的宽的最小值为海里时，才能满足对任意的都可以通过调整的大小来实现安全拦截． 

【解析】确定，根据正弦定理计算，即可得出答案．
设，则，确定，根据余弦定理得到，确定，利用二次函数性质，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．