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    第23讲 导数中的构造问题(微专题)-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(解析版)

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    第23讲 导数中的构造问题(微专题)-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(解析版)

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    这是一份第23讲 导数中的构造问题(微专题)-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(解析版),共12页。学案主要包含了构造函数的比较大小,构造函数的研究不等式问题,构造函数的研究含参的范围等内容,欢迎下载使用。


    23导数中的构造问题(微专题)

     

    题型一 构造函数的比较大小

    12023·广东·校联考模拟预测)已知,则下列结论中,正确的是(    

    A B C D

    【答案】A

    【解析】比较bc只需比较

    ,则,当时,

    即函数上单调递减,所以,即

    所以,所以.

    比较ab只需比较

    ,则,因为单调递减,

    ,所以当时,

    所以上单调递减.

    所以,即.

    综上,.

    故选:A

    变式1(东莞市高三期末试题已知实数ab满足,则下列选项中一定正确的是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【详解】,则在定义域内单调递增,

    ,即

    A错误,B正确;

    ,则,且

    ,此时C错误;

    ,则,且

    ,此时D错误;

    故选:B.

    变式22023·江苏南京·校考一模)已知是自然对数的底数,设,则(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】首先设,利用导数判断函数的单调性,比较的大小,设利用导数判断,放缩,再设函数,利用导数判断单调性,得,再比较的大小,即可得到结果.

    【详解】设

    时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,

    时,,即

    时,,函数单调递减,时,,函数单调递增,所以当时,函数取得最小值,,即恒成立,

    时,单调递减,时,单调递增,时,函数取得最小值,即

    得:,那么

    ,即

    综上可知.

    故选:A.

     

    变式3清远市高三期末试题(多选题),则(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】ACD

    【解析】

    【详解】解:

    对于A,设,则,令,则恒成立,

    所以上单调递增,则恒成立,所以上单调递增,

    ,即,所以,故A正确;

    对于B,设,则,故上单调递增,

    ,整理得,所以,故B不正确;

    对于D,设,则

    时,,所以上单调递增,

    所以有,即,所以,则,故D正确;

    由前面可知,所以,故C正确.

    故选:ACD.

    变式42022·福建省漳州第一中学模拟预测)设,则(    

    A B C D

    【答案】D

    【解析】设

    上单调递增,

    ,即

    ,又,所以.

    ,则,所以上单调递增,

    所以,所以,所以

    ,又,故

    综上:,故选:D

     

    题型二 构造函数的研究不等式问题

    22023·江苏连云港·统考模拟预测)(多选题)利用可得到许多与n)有关的结论,则正确的是(    

    A B

    C D

    【答案】ABD

    【分析】先证明出,当且仅当时,等号成立,A选项,令,得到,累加后得到A正确;B选项,推导出,当且仅当时等号成立,令,可得,累加后得到B正确;C选项,推导出,累加后得到C错误;D选项,将中的替换为,推导出,故,当且仅当时,等号成立,累加后得到D正确.

    【详解】令,则

    时,,当时,

    上单调递减,在上单调递增,

    处取得极小值,也时最小值,

    ,当且仅当时,等号成立,

    A选项,令,所以

    其中

    所以A正确;

    B选项,将中的替换为,可得

    当且仅当时等号成立,

    ,可得

    所以

    其中

    所以B正确;

    C选项,将中的替换为,显然

    C错误;

    D选项,将中的替换为,其中,则

    ,故,当且仅当时,等号成立,

    D正确.

    故选:ABD.

    变式12022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设是定义在R上的连续的函数的导函数,e为自然对数的底数),且,则不等式的解集为(       

    A B

    C D

    【答案】C

    【解析】设,则

    ,函数R上单调递增,

    ,,可得

    ,又函数R上单调递增,

    所以,即不等式的解集为.故选:C

    变式22022·山东德州·高三期末)设函数上的导函数为,若,则不等式的解集为(      

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    找到原函数,得上单调递增,再由,得到,进而得到,在对不等式进行化简得,即,再根据的单调性即可得到答案.

    【详解】

    上单调递增,,不等式,即,由函数上单调递增得,故不等式的解集为.

    故选:C.

    变式32022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)若,则(       

    A       B     C    D

    【答案】B

    【解析】由

    ,易知是增函数,所以由

    时,C不存在,错误,A错误,

    ,则,从而D错误.

    由不等式性质,B正确.故选:B

    变式42022·湖北武昌·高三期末)已知实数ab满足,则下列判断正确的是(      

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    因为

    ,所以

    ,所以,所以

    ,则

    等价于

    所以当时,

    ,所以

    故选:C

    题型三 构造函数的研究含参的范围

    32022·湖北江岸·高三期末)满足,则实数a的取值范围为(      

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    【分析】

    满足等价于恒成立,构造函数,利用导数判断其单调性,进而即可判断结果.

    【详解】

    满足,即

    时,恒成立,

    为增函数,则,即,符合题意,

    时,令,当时,

    时,

    所以为增函数,在为减函数,,命题成立只需即可.

    ,当

    ,即,命题不成立.

    综上.

    故选:D.

    变式12022·江苏海门·高三期末)已知函数有三个零点,则实数的取值范围是(      

    A(0) B[0) C[0] D(0)

    【答案】A

    【解析】

    【分析】

    分离参数,构造函数,利用导数研究其单调性和最值,即可求得参数的取值范围.

    【详解】

    有三个零点,即方程有三个根,

    不妨令,

    单调递减,在单调递增,在单调递减,

    ,且当时,恒成立.

    趋近于负无穷时,趋近于正无穷;趋近于正无穷时,趋近于

    故当时,满足题意.

    故选:A.

    变式22023·广东揭阳·校考模拟预测)已知函数,若存在,(),使得,(),则实数的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】D

    【解析】,得,由题意得该方程在上有两解,

    ,令,得

    时,单调递增,

    时,单调递减,

    ,则实数的取值范围是

    故选:D

    .变式32022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知,其中,若恒成立,则实数的取值范围为(       

    A B C D

    【答案】C

    【解析】令,则

    时,,当时,

    ,则

    两式相减,得,则

    ,令

    ,则

    ,则

    函数上单调递减,

    函数上单调递减,

    实数的取值范围为,故选:C

    变式42023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模)已知函数,若存在使得关于的不等式成立,则实数的取值范围(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】将不等式变形为,构造函数,分析可知该函数为增函数,可得出,求出函数的最小值,可得出关于实数的不等式,即可得出实数的取值范围.

    【详解】因为,由可得,即函数的定义域为

    可得

    构造函数,其中,则,故函数上单调递增,

    所以,,可得,则

    ,其中,令,其中

    ,当时,,此时函数单调递减,

    时,,此时函数单调递增,

    所以,,解得.

    故选:C.


     

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