


第23讲 导数中的构造问题(微专题)-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(解析版)
展开这是一份第23讲 导数中的构造问题(微专题)-2024年高考数学一轮复习精品导学案(新高考)(解析版),共12页。学案主要包含了构造函数的比较大小,构造函数的研究不等式问题,构造函数的研究含参的范围等内容,欢迎下载使用。
第23讲 导数中的构造问题(微专题)
题型一 构造函数的比较大小
例1、(2023·广东·校联考模拟预测)已知,,,则下列结论中,正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】比较b、c只需比较,
设,则,当时,,
即函数在上单调递减,所以,即,
所以,所以.
比较a、b只需比较,
设,则,因为单调递减,
且,所以当时,,
所以在上单调递减.即,,
所以,即.
综上,.
故选:A
变式1、(东莞市高三期末试题)已知实数a,b满足,则下列选项中一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】令,则在定义域内单调递增,
∵,即,
∴,A错误,B正确;
令,则,且,
∴,此时,C错误;
令,则,且,
∴,此时,D错误;
故选:B.
变式2、(2023·江苏南京·校考一模)已知是自然对数的底数,设,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】首先设,利用导数判断函数的单调性,比较的大小,设利用导数判断,放缩,再设函数,利用导数判断单调性,得,再比较的大小,即可得到结果.
【详解】设,,
当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,
,时,,即,
设,,时,,函数单调递减,时,,函数单调递增,所以当时,函数取得最小值,,即恒成立,
即,
令,,时,,单调递减,时,,单调递增,时,函数取得最小值,即,
得:,那么,
即,即,
综上可知.
故选:A.
变式3、(清远市高三期末试题)(多选题)设,,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】解:,,,,
对于A,设,则,令,则恒成立,
所以在上单调递增,则恒成立,所以在上单调递增,
则,即,所以,故A正确;
对于B,设,则,故在上单调递增,
则,整理得,所以,故B不正确;
对于D,设,则,
当时,,所以在上单调递增,
所以有,即,所以,则,故D正确;
由前面可知,所以,故C正确.
故选:ACD.
变式4、(2022·福建省漳州第一中学模拟预测)设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设则,
,,在上单调递增,
,即,,,,
,又,所以.
设,则,所以在上单调递增,
所以,所以,,所以,,
,又,故,
综上:,故选:D
题型二 构造函数的研究不等式问题
例2、(2023·江苏连云港·统考模拟预测)(多选题)利用“”可得到许多与n(且)有关的结论,则正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】先证明出,当且仅当时,等号成立,A选项,令,得到,累加后得到A正确;B选项,推导出,,当且仅当时等号成立,令,可得,累加后得到B正确;C选项,推导出,累加后得到C错误;D选项,将中的替换为,推导出,故,当且仅当时,等号成立,累加后得到D正确.
【详解】令,则,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,也时最小值,,
故,当且仅当时,等号成立,
A选项,令,所以,
故,
其中
,
所以,A正确;
B选项,将中的替换为,可得,,
当且仅当时等号成立,
令,可得,
所以,
故,
其中
所以,B正确;
C选项,将中的替换为,显然,
则,
故,
故,C错误;
D选项,将中的替换为,其中,,则,
则,故,当且仅当时,等号成立,
则,D正确.
故选:ABD.
变式1、(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设是定义在R上的连续的函数的导函数,(e为自然对数的底数),且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设,则,
∵,∴,函数在R上单调递增,
又,∴,由,可得,
即,又函数在R上单调递增,
所以,即不等式的解集为.故选:C.
变式2、(2022·山东德州·高三期末)设函数在上的导函数为,若,,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由找到原函数,得在上单调递增,再由,,得到,进而得到,在对不等式进行化简得,即,再根据的单调性即可得到答案.
【详解】
令,在上单调递增,,,,不等式,即,由函数在上单调递增得,故不等式的解集为.
故选:C.
变式3、(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得,
设,易知是增函数,所以由得,
当时,C不存在,错误,A错误,
,则,,从而,D错误.
由不等式性质,B正确.故选:B.
变式4、(2022·湖北武昌·高三期末)已知实数a,b满足,,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为
,所以;
由且,所以,所以,
令,,
令 ,则,
则,等价于,;
又,
所以当时,,
故,所以.
故选:C.
题型三 构造函数的研究含参的范围
例3、(2022·湖北江岸·高三期末)满足,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
满足等价于在恒成立,构造函数,利用导数判断其单调性,进而即可判断结果.
【详解】
满足,即,
令,,,,
当时,在恒成立,
在为增函数,则,即,符合题意,
当时,令,,当时,,
当时,,
所以在为增函数,在为减函数,,命题成立只需即可.
令,,当,,
即,即,命题不成立.
综上.
故选:D.
变式1、(2022·江苏海门·高三期末)已知函数有三个零点,则实数的取值范围是( )
A.(0,) B.[0,) C.[0,] D.(0,)
【答案】A
【解析】
【分析】
对分离参数,构造函数,利用导数研究其单调性和最值,即可求得参数的取值范围.
【详解】
有三个零点,即方程有三个根,
不妨令,则,
故在单调递减,在单调递增,在单调递减,
,且当时,恒成立.
当趋近于负无穷时,趋近于正无穷;趋近于正无穷时,趋近于,
故当时,满足题意.
故选:A.
变式2、(2023·广东揭阳·校考模拟预测)已知函数,,若存在,(),使得,(),则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,得,由题意得该方程在上有两解,
令,令,得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
而,,,则实数的取值范围是
故选:D
.变式3、(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知,,其中,若恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令,则,
当时,,当时,,
,设,则,
两式相减,得,则,,,
,令,,
令,则,
令,则,
函数在上单调递减,即,
,函数在上单调递减,,
,,,
实数的取值范围为,故选:C
变式4、(2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模)已知函数,若存在使得关于的不等式成立,则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】将不等式变形为,构造函数,分析可知该函数为增函数,可得出,求出函数的最小值,可得出关于实数的不等式,即可得出实数的取值范围.
【详解】因为,由可得,即函数的定义域为,
可得,
即,
构造函数,其中,则,故函数在上单调递增,
所以,,可得,则,
即,其中,令,其中,
则,当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,,解得.
故选:C.
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