2023成都石室中学高三下学期二诊复习（文科）数学试题七含答案

成都石室中学高2023届数学二诊模拟试题七(文科)

一.选择题

1.已知复数z满足,则z的虚部是(    )

A.      B.     C.     D.

2.已知集合,,则(   )

A.   B.   C.   D.

3. 如图所示程序框图,其输出值(   )

A. 24       B. 25      C. 26       D. 27

4.若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为,要得到的图象,只需将函数的图象向左平移(    )

A.个单位长度   B.个单位长度   C.个单位长度    D.个单位长度

5.已知某圆锥的侧面展开图为半圆,该圆锥的体积为,则该圆锥的表面积为(    )

A.            B.         C.           D.

6. 非零向量,,满足,与的夹角为,,则在上的正射影的数量为(   )

A.             B.          C.               D.

7. 已知双曲线:的右焦点为,点在双曲线的一条渐近线上,为坐标原点.若,则的面积为(   )     A.        B.         C.1         D.

8.已知抛物线,圆,直线(为实数)与抛物线交于点,与圆交于两点,且点位于点的右侧,则的周长可能为(   )

A.4                B.5                C.6                D.7

9.平面内三个单位向量满足,则A

A.方向相同    B.方向相同      C.方向相同      D.两两互不共线

10.定义在上的函数满足,且若任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是(   )

A.             B.              C.                D.

11.在中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,,D点为AC上一点且,则的最小值为(   )     A.       B.        C.        D.

12. 已知函数有3个零点,则a的取值范围是(    )

A. B. C. D.

二.填空题

13.若实数x,y满足约束条件,则的最大值为__________.

14.已知数列满足,,则的前10项和为__________.

15.已知,且,则的最小值为__________.

16.双曲线的左,右焦点分别为,过的直线与交于两点,且,,点为线段的中点,则__________.

三.解答题

17.(12分)2022年6月的某一周,“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元,数据统计如表:

(1)通过分析,发现可用线性回归模型拟合交易额与的关系,请用相关系数(系数精确到加以说明;

(2)利用最小二乘法建立关于的回归方程(系数精确到,并预测下一周的第一天(即第8天)的交易额.参考数据:,,.参考公式:相关系数.在回归方程中,斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.

18. 在△中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且,.

(1)求证:△为等腰三角形;

(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知,求AC边上的高h.

条件①:△的面积为;    条件②:△周长为20.

19. 如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,､分别是,的中点.

(1)证明:平面;

(2)试探究三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是否为定值,若是定值,再进一步求出此定值;若不是,请说明理由.

20. 已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,若在区间上的最大值为M,最小值为m,求证:.

21.已知椭圆,圆,圆,且,的焦距为.

(1)求的方程;

(2)过圆上一点作其切线,交于两点,交圆于两点(与相邻,与相邻),记,证明:为定值.

22. [选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于两点,线段的中点为.

(1)求线段长的最小值;

(2)求点的轨迹方程.

成都石室中学高2023届数学二诊模拟试题七(文科)

一.选择题

1.已知复数z满足,则z的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过复数的除法和分母有理化,结合,解得,再利用虚部为系数即可求解.

【详解】因,

所以,

所以,

所以,

所以的虚部为.

故选:B.

2.已知集合,,则(   )

A.    B.    C.    D.

D

3. 如图所示程序框图,其输出值(    )A

A. 24 B. 25 C. 26 D. 27

4.若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为,要得到的图象,只需将函数的图象向左平移(    )

A.个单位长度B.个单位长度C.个单位长度D.个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】先求出函数的周期,然后根据函数解析式以及平移规则求解即可.

【详解】由题意,得,解得,所以,其图象向左平移个单位长度,

可得的图象,即为的图象,

所以,解得,又,则;

故选:D.

5.已知某圆锥的侧面展开图为半圆,该圆锥的体积为,则该圆锥的表面积为(    )

A.  B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系,再根据体积计算出底面半径即可.

【详解】设圆锥底面半径为r,母线长为l,则,所以,所以圆锥的高为,

所以,解得,故其表面积;

故选:A.

6. 非零向量,,满足,与的夹角为,,则在上的正射影的数量为(    )D

A.  B.  C.  D.

7. 已知双曲线:的右焦点为,点在双曲线的一条渐近线上,为坐标原点.若,则的面积为(    )B

A.  B.  C. 1 D.

8.已知抛物线,圆,直线(为实数)与抛物线交于点,与圆交于两点,且点位于点的右侧,则的周长可能为(   ) B

A.4     B.5     C.6     D.7

9.平面内三个单位向量满足,则A

A.方向相同    B.方向相同     C.方向相同     D.两两互不共线

10.定义在上的函数满足,且若任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是(  )B

A.      B.    C.     D.

11.在中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,,D点为AC上一点且,则的最小值为(    )B

A.       B.        C.        D.

12. 已知函数有3个零点,则a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先将函数有三个零点,转化为与直线有三个不同的交点,令,则将问题转化为与直线有三个不同的交点,分别讨论,两种情况,结合函数的切线的斜率可求解,即可得出结果.

【详解】解:由函数有三个零点,可转化为与直线有三个不同的交点,

令,则将问题转化为与直线有三个不同的交点,

显然时不满足条件.

当,时,,,设切点坐标为 ,

由得,所以切线斜率为,

因此,切线方程为: ,由切线过原点,得 ,

此时切线的斜率为 .

故当时,,与直线有两个交点;

当时,与直线有一个交点,

所以,

故选:C.

【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数的问题,熟记导数的几何意义,根据数形结合的思想求解,属于常考题型.

二.填空题

13. 若实数x,y满足约束条件,则的最大值为__________.

【答案】7

【解析】

【分析】作出可行域,数形结合求解

【详解】作出可行域如图所示,,即

数形结合知过时取最大值7

故答案为:7

14. 已知数列满足,,则的前10项和为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由已知可得,利用分组求和法即可求解.

【详解】由于,则

所以,又,则

则

故答案为:

15.已知,且,则的最小值为2

16.双曲线的左,右焦点分别为,过的直线与交于两点,且,,点为线段的中点,则

A.     B.     C.     D.

三.解答题

17.(12分)2022年6月的某一周,“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元,数据统计如表:

(1)通过分析,发现可用线性回归模型拟合交易额与的关系,请用相关系数(系数精确到加以说明;

(2)利用最小二乘法建立关于的回归方程(系数精确到,并预测下一周的第一天(即第8天)的交易额.

参考数据:,,.

参考公式:相关系数.

在回归方程中,斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.

【考点】相关系数;线性回归方程

【解析】(1),

,,,

,

因为交易额与的相关系数近似为0.98,说明交易额与具有很强的正线性相关,

从而可用线性回归模型拟合交易额与的关系.

(2)因为(千万元),,,

所以,,所以关于的回归方程为,

将代入回归方程得(千万元)亿元,

所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元.

18. 在△中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且,.

(1)求证:△为等腰三角形;

(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知,求AC边上的高h.

条件①:△的面积为;

条件②:△周长为20.

【答案】(1)证明见解析;   

(2).

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理,结合,求得,通过判断,即可证明;

(2)选择①,根据结合面积公式,求得;再根据等面积法即可求得;

选择②,根据三角形周长结合等量关系,求得,再根据等面积即可求得.

【小问1详解】

因为,由余弦定理可得:,又,设,

则,解得(舍)或,

故△为等腰三角形,即证.

【小问2详解】

选①:△的面积为,

由,可得,又,故,

则,又,故可得,又,则,

因为AC边上的高为h,故,故可得;

选②:△的周长为20,

则,即,结合可得,

由,可得,又,故,

则,即,解得.

综上所述,选择①②作为条件,均有.

19. 如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,､分别是,的中点.

(1)证明:平面;

(2)试探究三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是否为定值,若是定值,再进一步求出此定值;若不是,请说明理由.

20. 已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,若在区间上的最大值为M,最小值为m,求证:.

【答案】(1)答案见解析;   

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求得,讨论与的大小关系,讨论不同情况下导函数的正负,即可求得对应单调性;

(2)根据(1)中所求函数单调性,求得关于的函数关系,再构造函数求其单调性和最值,即可证明.

【小问1详解】

因为,则,

当时,令,解得或,此时单调递增;

令,解得,此时单调递减;

当时,,故此时在上单调递增;

当时,令,解得或,此时单调递增;

令,解得,此时单调递减;

综上所述:当时,在单调递增,在单调递减,在单调递增;

当时,在上单调递增;当时,在单调递增,在单调递减,

在单调递增.

【小问2详解】

由(1)可知,当时,在单调递增,在单调递减,在单调递增,

又,,

故;

又,,

则,即,

故;

则

令,

则,

令,可得,此时单调递增,

令,可得,此时单调递减,

又,

故当时,,即当时,,即证.

21.已知椭圆,圆,圆,且,的焦距为.

(1)求的方程;

(2)过圆上一点作其切线,交于两点,交圆于两点(与相邻,与相邻),记,证明:为定值.

22. [选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于两点,线段的中点为.

(1)求线段长的最小值;

(2)求点的轨迹方程.