2023年河南省新乡市延津县中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省新乡市延津县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各项调查中，最适合用全面调查普查的是(    )

A. 了解国内外观众对电影流浪地球的观影感受
B. 了解太原市九年级学生每日睡眠时长
C. “长征火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
D. 检测一批新出厂的手机的使用寿命

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，于点，若，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  年元旦假期期间，河南累计接待游客逾万人次，与年同期相比，增长数据“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数裉

8.  某市举行中学生合唱大赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙三所学校，通过抽签确定三所学校的出场顺序，则甲、乙两校排到前两个出场的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线与轴、轴分别交于点，，把绕点顺时针旋转后得到，则的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在矩形中，点是边的中点，动点从点出发，沿着折线运动到点停止设动点运动的路程为，的面积为当点与点，重合时，令，与的函数关系的图象如图所示，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  代数式有意义的条件为______ ．

12.  不等式组的最大整数解为______ ．

13.  请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：______．

14.  如图，在▱中，，，按以下步骤作图：
以点为圆心、的长为半径作弧，交于点；
分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线；
连接交于点则的长为______ ．

15.  如图，在中，，，，点在边上，，点为斜边上一动点，连接，，则周长的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

16.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
生活垃圾分类是保护环境、守护家园的重要举措，又是减污降排、改善人居环境的有力保障某校为了解七年级学生对垃圾分类相关知识的掌握情况，对七年级学生进行了垃圾分类知识测试，并随机抽取部分学生的成绩，整理后绘制成如下不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
扇形统计图中， ______ ．
请补全条形统计图．
小明说：“抽取的成绩中，男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
若该校七年级共有名学生，成绩达到分及以上为优秀，请你估计七年级测试成绩为优秀的学生人数．

19.  本小题分
年月日是“京汉铁路工人大罢工”周年的纪念日，京汉铁路工人大罢工又称为“二七大罢工”，是中国共产党领导的第一次工人运动高潮的顶点，李明同学缅怀先烈来到位于河南省郑州市的二七纪念塔前，想用自己学过的方法测量这座塔的高度如图，在该塔前有一建筑，两者相距，李明在点处测得建筑的顶端的仰角为，从点出发沿方向前进到达处，测得点的仰角为、、、在一条直线上，此时恰好看不到二七塔的顶端、、三点共线已知李明的眼睛离地面即求二七塔的高结果精确到参考数据：，，．

20.  本小题分
为了进一步提高养老服务质量，幸福区计划采购若干台呼吸机提供给社区养老院经考察，某公司有，两种型号的呼吸机可供选择若购买一台型呼吸机比购买一台型呼吸机多花万元，用万元恰好可以购买台型呼吸机和台型呼吸机．
分别求出，两种型号呼吸机的单价．
幸福区准备采购该公司的，两种型号的呼吸机台，采购专项经费总计不超过万元．
型呼吸机最多可购买多少台？
若台型呼吸机一年的护养费是其价格的，台型呼吸机一年的护养费是其价格的，幸福区计划一年支出万元进行养护，试通过计算说明万元能否满足这两种呼吸机一年的养护需要．

21.  本小题分
阅读下列材料，并完成相应学习任务：
我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆下面是学习小组的证明过程：
已知：在四边形中，
求证：过点、、、可作一个圆．
证明：假设过点、、、四点不能作一个圆，设过点、、三点作出的圆为分两种情况讨论．
如图，若点在内延长交于点，连接．
是的外角，
．
，，
，与矛盾，
如图，若点在外设交于点，连接．
是的外角，
．
，，
，与矛盾．
综上可知，假设不成立，故过点、、、可作一个圆．

学习任务：
在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______ ．
应用上述结论，解决以下问题：
如图，在四边形中，，对角线，交于点．
若，求的度数；
若，，求的长．

22.  本小题分
已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧．
请求出抛物线对称轴和点、的坐标；
已知点、，且抛物线与线段只有一个公共点，请求出的取值范围．

23.  本小题分
教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生体验农耕劳动，如图在正方形绿化带内修建一个矩形耕种园，其中点在上，点在上，已知正方形绿化带的面积为，，是墙壁，，无墙壁．
已知矩形耕种园的面积为正方形花园面积的，该耕种园借助绿化带的墙壁，只设置围栏，即可小明用所学的数学知识进行了如下探究．

建立数学模型
由题意知，此耕种园的面积为，设米，则米设所需围栏的长度为米，则关于的函数解析式为______ ．
画出函数图象
列表：

其中， ______ ．
请根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出关于的函数图象，其中，自变量的取值范围是______ ．
观察函数图象，解决问题
当所用围栏最短时，的长为______ 米
若学校打算用米的围栏建设耕种园围栏正好用完，则 ______ 米
若围栏的长度为米，则的取值范围为______ 时，每一个值都对应两种围栏方式．

24.  本小题分
如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，．

观察猜想：线段和的数量关系为；和的位置关系为 ______ ．
探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断中的关系是否仍然成立如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当，，三点共线时的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
比小的数是，
故选：．
根据实数的大小比较即可求解．
本题考查了实数的大小比较，正确地估算无理数的大小是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
不符合题意；
是轴对称图形，也是中心对称图形，
符合题意；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
不符合题意；
不是中心对称图形，
不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形绕某点旋转与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、了解国内外观众对电影流浪地球的观影感受，适合抽样调查；
B、了解太原市九年级学生每日睡眠时长，适合抽样调查；
C、“长征火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况，适合全面调查；
D、检测一批新出厂的手机的使用寿命，适合抽样调查；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
则不符合题意；
B.与不是同类项，无法合并，
则不符合题意；
C.

，
则符合题意；
D.，
则不符合题意；
故选：．
利用二次根式的减法法则，合并同类项法则，平方差公式，单项式乘单项式法则将各项计算后进行判断即可．
本题考查整式和二次根式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求得的度数，利用平行线的性质求得的度数，最后利用垂直的定义即可求解．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，垂直的定义，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：万，
故选：．
根据科学记数法的定义计算求值即可；
本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于的数表示成 的形式大于或等于且小于，是正整数；的值为小数点向左移动的位数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
即，
由题意，可知，
该一元二次方程没有实数根．
故选：．
先化为一般形式，然后根据根的判别式进行解答即可．
本题考查了一元二次方程 为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下，

由树状图可知：共有种等可能的结果，其中甲、乙两校排到前两个出场的有种结果，
甲、乙两校排到前两个出场的概率为，
故选：．
先画出树状图，得出所有出现的情况，再根据概率公式进行求解即可．
本题考查列表法与树状图法，列举法树形图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法；概率的公式：概率所求情况数与总情况数之比．掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，交于点，
直线与轴、轴分别交于点，，
，
，
绕点顺时针旋转后得到，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
故的坐标为，
故选：．
过点作于点，交于点，根据直线与轴、轴分别交于点，，确定，，利用旋转性质计算即可．
本题考查了一次函数的性质，勾股定理，三角函数，矩形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握三角函数，矩形的判定和性质，旋转的性质，一次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：结合图、图可知，当点从点运动到点时，对应横坐标为，
．
由点是的中点及矩形对边相等知，
，
，
即 ，
结合图、图可知，当点从点运动到点时，对应横坐标为，对应的的面积，
，．
由勾股定理得，，
 ，
，且，
 ，
，
解关于的二次方程，得或不合题意，舍去．
的面积为：，
结合式可得：．
故选：．
根据题干条件结合图、图，列出相关的等式，最后利用相关联的条件解出值，问题即可迎刃而解．
本题考查了矩形、运动轨迹与图象之间的对应关系等相关知识点，找准图象与线段之间的关联联系，再利用乘法公式适当变形求得值是解题的关键所在．
 

11.【答案】且 

【解析】解：由题意得：，
解得：且．
故答案为：且．
由，分式进行求解即可．
本题考查了二次根式与分式有意义的条件，理解条件是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，解得，
由，解得：，
不等式组的解集为：
最大整数解为：，
故答案为：．
分别求出两个不等式的解集，可得不等式组的解集，即可求最大整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．
 

13.【答案】 

【解析】解：图象在第二、四象限，
，
故答案为：．
根据反比例函数的性质可得，写一个的反比例函数即可．
此题主要考查了反比例函数，，反比例函数图象在一、三象限；，反比例函数图象在第二、四象限内．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设交于，过点作于．

，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，设交于，过点作于解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接，交于点，此时周长的最小，连接，如图：

由对称的性质可得，，
，
是等边三角形，
过点作，
，
，，
根据勾股定理可得，
的周长为．
故答案为：．
作点关于的对称点，连接，交于点，此时周长的最小，连接，由对称的在即可得出是等边三角形，过点作，即可求出，从而求出的周长．
本题考查勾股定理，线段和的最小值，正确租出辅助线是解题关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用有理数乘方法则，绝对值的性质，特殊锐角的三角函数值，零指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：调查的总人数为人，
得分的学生人数所占百分比为：，
即，
故答案为：．
得分的女生人数为：人，
补全条形统计图，如图所示：

小明说法不正确，理由：根据中位数定义可知抽取的成绩中男生成绩中位数为分，女生成绩的中位数也是分，故小明说法不正确．
，
人，
答：估计七年级测试成绩为优秀的人数约人．
先求出总人数，然后用分的人数除以总人数，得出百分比，即可求出的值；
求出得分的女生人数，然后补全条形统计图即可；
分别求出男生和女生成绩的中位数，然后进行判断即可；
用总人数乘以成绩优秀学生的百分比，即可估算出七年级测试成绩为优秀的学生人数．
本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点．
 

19.【答案】解：延长分别交，于点，．

设，在中，，则，．
在中，，
即，
解得．
．
在中，，
，
．
答：该塔的高约为． 

【解析】延长分别交，于点，设，在中，，则，再在中，利用列方程求解．
本题考查解直角三角形的应用仰角问题，涉及到三角函数测高、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是纷杂的实际问题中整理出直角三角形并解之．
 

20.【答案】解：设，两种型号的呼吸机单价分别为万元、万元，由题意得，
，
解得：．
答：，两种型号的呼吸机单价分别为万元、万元．
设购买型呼吸机台，则购买型呼吸机台．
依题意，得，
，
解得：．
答：型呼吸机最多可购买台．
设这两种呼吸机一年的养护费用是万元，
根据题意，得，
，
整理，得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
，
，
万元能满足这两种呼吸机一年的养护需要． 

【解析】根据等量关系式：的单价的单价万元，台的费用台的费用万元，列出方程组进行求解即可．
设购买型呼吸机台，由不等关系：购买的费用购买的费用万元，列出不等式进行求解即可；
由总护养费的护养费的护养费，列出函数关系式，再由一次函数的增减性进行求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，找出等量关系式及不等关系式是解题的关键．
 

21.【答案】分类讨论思想 

【解析】解：根据题意，分点在圆内与圆外两种情况讨论
应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是分类讨论思想；
故答案为：分类讨论思想．
；
过点，，，可作一个圆，如图所示．


，
．
，
，
又，
∽，
，
．
设，则，
，
解得，不合题意，舍去，
．
根据题意，分点在圆内与圆外两种情况讨论；
根据，可得过点，，，可作一个圆，根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
证明∽，设，则，根据相似三角形的性质，即可求解．
本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：对称轴为直线，
，
当时，或，
点在点的左侧
点，．
当时，，
抛物线与直线的交点坐标为，
由知，抛物线经过定点，，
分和两种情况讨论：
当时，抛物线开口向上，
当抛物线与线段只有一个公共点时，点在点下方或者点与点重合，
，
解得，
；
当时，抛物线开口向下，
当抛物线与线段只有一个公共点时，点在点下方，
，
解得，
；
综上所述，的取值范围为或． 

【解析】根据求抛物线的对称轴，令，解方程即可求出点、的坐标；
先计算出抛物线与直线的交点坐标，抛物线经过定点，，分和两种情况，根据抛物线与线段只有一个公共点，判断点与点的位置关系，进而列不等式即可求解．
本题考查求二次函数的对称轴，与轴的交点坐标，抛物线上的点的坐标，以及根据图形求所含参数的取值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和数形结合思想的运用．
 

23.【答案】        或   

【解析】解：四边形为矩形，
，，
围栏的长度，
故荅案为：；
将代入可得：，
；
根据表中数据描点作图如下：

由图可得自变量的取值范围是；
当时，
，
化简得：，
此时只有对应函数值，
由函数图象可知当最小时，只有一个自变量可使函数取最小值，

围栏最短时，；
将代入函数关系式可得：
，
化简得：，
或；
，
或；
当时有或两种方案，
当时只有一种种方案，
当时每个函数值都有两个自变量与之相对应，
．
根据矩形的性质求得和的长度即可解答；
将自变量的值代入函数关系式求得函数值即可，描点法画出函数的图象再确定自变量的取值范围即可；
利用函数取最小值时只有一个自变量与之对应计算求值即可，将函数值代入再解二次方程即可解答；结合自变量和函数值的对应关系确定的取值范围即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，函数图象的作法和特征，解二次方程；掌握函数图象最小值的特征是解题关键．
 

24.【答案】， 

【解析】证明：在中，，，点为的中点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，

，
，
故答案为：，；
解：成立，证明：如图，在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点．

，，．
≌，
，，
，
．


又，
，
．
又，，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
又点是的中点，
，；
解：分两种情况：
当点在直线上方，且，，三点共线时，如图．

，
，
，
，
，
，
当点在直线下方，且，，三点共线时，如图．

，
，
，
，
，
；
综上所述，长为或．
根据直角三角形斜边上的中线可得，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质得出，即可得出结论；
在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点证明≌，得出是等腰直角三角形，进而即可得证；
分两种情况：当点在直线上方，且，，三点共线时，当点在直线下方，且，，三点共线时，勾股定理求得，结合图形求得，，进而即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，分类讨论，熟练掌握以上知识是解题的关键．