2023年江苏省盐城市亭湖区景山中学中考数学全真模拟试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省盐城市亭湖区景山中学中考数学全真模拟试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省盐城市亭湖区景山中学中考数学全真模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的绝对值等于(    )
A. −2023 B. 2023 C. ±2023 D. 2022
2. 计算a6⋅(−a)2的结果是(    )
A. a8 B. −a8 C. a12 D. a4
3. 用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
4. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为(    )



A.
B.
C.
D.
5. 据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来.用科学记数法表示35000000是(    )
A. 3.5×106 B. 3.5×107 C. 35×106 D. 35×107
6. 如图所示，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α≠∠β的图形是(    )
A. B.
C. D.
7. 欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为900cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为(    )


A. 300cm2 B. 360cm2 C. 450cm2 D. 540cm2
8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为(    )
A. 4x+6y=383x+5y=48 B. 4x+6y=485x+3y=38 C. 4x+6y=483x+5y=38 D. 4x+6y=385x+3y=48
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 代数式 x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10. 分解因式：x2+2x+1=          ．
11. 如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB=36°，则∠AOB=          ．






12. 分式方程2x+1=1x−1的解为x=______．
13. 用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
14. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系是h=−5t2+20t，当飞行时间t为          s时，小球达到最高点．
15. 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为2 2的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中(其中点E，F，G，H都在矩形边上)，若AB：BC=7：6，则∠AGF的正切值为______ ．

16. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，AD=2，BD=4，连接CD，则CD长的最大值为______ ．


三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
17. 计算：( 3)0+2−1+ 2cos45°−|−12|.
18. 先化简，再求值：(1+1x−1)÷1x2−1−(x−2)，其中x= 2．
四、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根．
20. (本小题8.0分)
如图，O为△ABC边AC的中点，AD//BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD为菱形．

21. (本小题8.0分)
读懂一座城，从博物馆开始.2021年9月16日上午，江苏盐城市博物馆正式开馆.盐城市博物馆新馆坐落于先锋岛西侧，是一座研究反映盐城地方历史和城市发展的综合性博物馆.博物馆集收藏、展示、研究、教育、服务、交流于一体，整体建筑风格雅致，主馆建筑为传统宝塔造型，风格既有现代时尚气息，又充满中国皇家宫廷风韵.学校数学兴趣小组利用无人机测量该宝塔的高度，无人机的起飞点B与宝塔(CD)的水平距离BC为54.6m，无人机垂直升到A处测得塔的顶部D处的俯角为31°，测得塔的底部C处的俯角为45°．

(1)求宝塔的高度CD；
(2)若计算结果与实际高度稍有出入，请你提出一条减少误差的建议.(结果精确到0.1m，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
22. (本小题10.0分)
党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求.某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来.在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理(得分用x表示)：A：50≤x<60，B：60≤x<70，C：70≤x<80，D：80≤x<90，E：90≤x≤100，并绘制出如图的统计图1和图2．

请根据相关信息，解答下列问题：
(1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为______ °，并将条形统计图补充完整．
(2)若“90≤x≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100.求这组数据的众数和中位数．
(3)若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按20%，30%，50%的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．
(4)经过初赛，进入决赛的同学有3名女生2名男生，现从这五位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
23. (本小题10.0分)
如图，等腰三角形OAB中，AO=AB，点B坐标为(4,0)顶点A在反比例函数y=kx的图象上，且△OAB的面积为12．
(1)k= ______ ．
(2)过B点直线对应的解析式为y=x+b与双曲线y=kx在第一，三象限交点分别为点M，N．
①求点M，N的坐标．
②直接写出不等式kx−x−b≥0的解集．

24. (本小题10.0分)
(1)问题研究：如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上.以AB为直径的半圆的圆心为O，在圆上找一点E，使AE平分∠CAB请用无刻度的直尺作图；
(2)尝试应用：如图2，AC是⊙O的直径，BC是⊙O切线，AC=BC，AB交⊙O于P点.请用无刻度直尺作出BC的中点D；
(3)问题解决：请在(2)偿试应用的条件下，解决以下问题：
①连接DP，判断DP与⊙O的位置关系并证明；
②若AC=8，求DP，CD与⊙O围成的图形面积．


25. (本小题10.0分)
某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售.已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元.用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，
售价x(元/件)
50≤x≤60
60 销售量(件)
100
400−5x
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件.若B型纪念品的售价为m(m>30)元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．
26. (本小题12.0分)
已知抛物线C1：y1=−14x2+x−2，点F(2,−2).过F的直线L与抛物线C1交于点M、N．
(1)如图1，当MN平行x轴时，1MF+1NF= ______ ；
(2)如图2过F的直线L与抛物线C1交点M(m,n)满足0 (3)如图2过F的直线L与抛物线C1交点M(m,n)满足0 (4)将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：y2=−14(x−h)2，若t≤x<−1时，y2≥x恒成立，请直接写出t的最小值______ ．


27. (本小题14.0分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，点E、F分别在直线AC、边BC上，连接EF，将△CEF沿着EF翻折，点C落在边AB上的点D处.过点D作DM⊥AB，交直线AC于M．
(1)AC= ______ ，BC= ______ ；
(2)当CF=CE时，求证：△EMD≌△FBD；
(3)当CMCE=12时，求AD的值；
(4)连接CD交EF于点P，当AP+BP取最小值= ______ 时，EF的值为______ ．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，−2023的绝对值等于2023．
故选：B．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义．即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．

2.【答案】A 
【解析】解：a6⋅(−a)2=a6⋅a2=a8．
故选：A．
利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案．
本题考查的是同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．

3.【答案】A 
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可。
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合。

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．
【解答】
解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，
故选：A．  
5.【答案】B 
【解析】解：将35000000用科学记数法表示为：3.5×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6.【答案】C 
【解析】解：根据角的和差关系可得第一个图形∠α=∠β=45°，
根据等角的补角相等可得第二个图形∠α=∠β，
第三个图形∠α+∠β=180°，不相等，
根据同角的余角相等可得第四个图形∠α=∠β，
故选：C．
根据直角三角板可得第一个图形∠β=45°，进而可得∠α=45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补．
此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．

7.【答案】D 
【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为900×0.6=450(cm2)，
故选：D．
用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

8.【答案】C 
【解析】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，
∴4x+6y=48；
∵马三匹、牛五头，共价三十八两，
∴3x+5y=38．
∴可列方程组为4x+6y=483x+5y=38．
故选：C．
利用总价=单价×数量，结合“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9.【答案】x≥5 
【解析】解：由题意得，x−5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

10.【答案】(x+1)2 
【解析】
【分析】
本题考查了公式法分解因式．掌握因式分解的方法是解题的关键．
直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
解：x2+2x+1=(x+1)2．
故答案为：(x+1)2．  
11.【答案】72° 
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆周角定理，利用同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
利用同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．
【解答】
解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2∠ACB=72°．
故答案为：72°．  
12.【答案】3 
【解析】解：去分母得：2x−2=x+1，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：3
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

13.【答案】5 
【解析】解：扇形的弧长=150π×12180=10π，
设圆锥的底面半径为R，则2πR=10π，
所以R=5．
故答案为：5；
根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

14.【答案】2 
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
【解答】
解：h=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，
∵−5<0，
∴当t=2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．  
15.【答案】310 
【解析】解：如图1，∵四边形PQMN是矩形为2 2的正方形，
∴∠NPQ=90°，PN=PQ=2 2，
∴QN= PN2+PQ2= (2 2)2+(2 2)2=4，
由七巧板的构造可知，图形①、②、③、④、⑤都是等腰直角三角形，图形⑥是正方形，
∴PK=NK=QK=12QN=2，
∴LK=JK=JI=JQ=12QK=1，
∴LN=NK−LK=1，
如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠B=∠A=90°，
由图1可知，EF=GH=2+1=3，FG=2+2=4，∠EFG=∠FGH=90°，
∵∠DFE=90°−∠AFG=∠AGF，∠BHG=90°−∠BGH=∠AGF，
∴∠DFE=∠BHG，
∴△DFE≌△BHG(AAS)，
∴DE=BG，
∵∠D=∠A，∠DFE=∠AGF，
∴△DFE∽△AGF，
∴DEAF=DFAG=EFFG=34，
∴DE=34AF，AG=43DF，
∴BG=34AF，
∴AB=AG+BG=43DF+34AF，
∵AB：BC=7：6，
∴AB=76BC=76AD=76(AF+DF)，
∴76(AF+DF)=43DF+34AF，
∴AF=25DF，
∴tan∠AGF=AFAG=25DF43DF=310，
故答案为：310．
在图1中，根据正方形的性质求得正方形的对角线长为4，再根据七巧板的构造求出有关的线段的长，于是在图2中，即可求得EF=GH=3，FG=4，再证明△DFE≌△BHG，得DE=BG，进而证明△DFE∽△AGF，则DEAF=DFAG=EFFG=34，得DE=BG=34AF，AG=43DF，由AB：BC=7：6，得AB=76BC=76AD=76(AF+DF)，所以76(AF+DF)=43DF+34AF，可求得AF=25DF，再由tan∠AGF=AFAG求出∠AGF的正切值即可．
此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，根据图1求出图2中EF、GH、FG的长，并且证明△DFE≌△BHG及△DFE∽△AGF是解题的关键．

16.【答案】1+2 5 
【解析】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT=90°，DT=1，连接CT，则AT= 5，

∵ADDT=BC=2，
∴ADAB=DTBC，
∵∠ADT=∠ABC=90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT=∠BAC，ADAB=ATAC
∴∠DAB=∠TAC，
∵ADAT=ABAC，
∴△DAB∽△TAC，
∴DBTC=ADAT=2 5，
∴TC=2 5，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2 5，
∴CD的最大值为1+2 5，
故选：B．
故答案为：1+2 5．
如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT=90°，DT=1，连接CT，则AT= 5，证明△DAB∽△TAC，推出DBTC=ADAT=2 5，推出TC=2 5，再根据CD≤DT+CT，可得CD≤1+2 5，由此即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

17.【答案】解：原式=1+12+ 2× 22−12
=1+12+1−12
=1+1
=2． 
【解析】
【分析】
根据实数的运算法则，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值直接计算即可．
【解答】
解：原式=1+12+ 2× 22−12
=1+12+1−12
=1+1
=2．
【点评】
本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握知识点，正确计算．  
18.【答案】解：(1+1x−1)÷1x2−1−(x−2)
=xx−1⋅(x+1)(x−1)1−x+2，
=x2+2，
当x= 2时，原式=( 2)2+2=4． 
【解析】解题思路：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．

19.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有实数根，
∴Δ=4+4k≥0，
解得：k≥−1；
(2)设方程另一根为a，
由根与系数的关系可得：1+a=−2，
解得：a=−3，
则方程的另一根为−3． 
【解析】(1)根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可；
(2)利用根与系数的关系求出两根之和，将一个根代入计算即可求出另一根．
此题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

20.【答案】证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD//BC，
∴OA=OC，∠OAD=∠OCB，∠ADB=∠CBD，
在△OAD和△OCB中，∠OAD=∠OCBOA=OC∠AOD=∠COB，
∴△OAD≌△OCB(ASA)，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形． 
【解析】由ASA证明△OAD≌△OCB得出OD=OB，得出四边形ABCD是平行四边形，再证出∠CBD=∠CDB，得出BC=DC，即可得出四边形ABCD是菱形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、角平分线定义、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图：延长CD交AE于点F，

由题意得：CF⊥AE，AF=BC=54.6m，
在Rt△AFC中，∠FAC=45°，
∴CF=AF⋅tan45°=54.6(m)，
在Rt△AFD中，∠FAD=31°，
∴DF=AF⋅tan31°≈54.6×0.6=32.76(m)，
∴CD=CF−DF=54.6−32.76≈21.9(m)，
∴宝塔的高度CD约为21.9m；
(2)一条减少误差的建议：多次测量求平均值，可以减小误差(答案不唯一)． 
【解析】(1)延长CD交AE于点F，根据题意可得：CF⊥AE，AF=BC=54.6m，然后分别在Rt△AFC和Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义求出CF和DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
(2)根据多次测量求平均值，可以减小误差，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

22.【答案】54 
【解析】解：(1)参加此次竞赛总人数：23÷23%=100(人)，
A组所占百分比：15100×100%=15%，
A组所在扇形的圆心角度数=360°×15%=54°，
B组人数：100×15%=15(人)，
条形统计图如图所示：

故答案为：54．
(2)排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：95+962=95.5，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
综上：众数为96，中位数为95.5；
(3)小敏最后得分：86×20%+89×30%+93×50%=90.4>90，
∴小敏能参加决赛．
(4)画树状图如下：

∴一共有20种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有12种情况，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为1220=35．
(1)先用C组的人数除以C组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算A组人数所占的百分比，最后用360°乘以A组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以B组所占百分比，即可求出B组的人数，即可补充条形统计图；
(2)根据众数和中位数的定义，即可进行解答；众数：在一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据即为中位数；
(3)将小敏三轮比赛成绩分别乘以其所占比例，求出其最后得分，即可进行解答；
(4)画出树状图，根据概率公式求解即可．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的求法以及正确从统计图中获取需要的信息．

23.【答案】12 
【解析】解：(1)过点A作AC⊥OB于点C，
∵等腰三角形OAB中，AO=AB，点B坐标为(4,0)，
∴OB=4，
∵△OAB的面积为12，
∴12OB⋅AC=12，
∴AC=6，
∴A(2,6)，
∵顶点A在反比例函数y=kx的图象上，
解得：k=2×6=12，
故答案为：12；
(2)①把B点的坐标代入y=x+b得：4+b=0，
∴b=−4，
∴过B点直线解析式为y=x−4，
联立y=x−4y=12x，解得x=6y=2或x=−2y=−6，
∴M(6,2)，N(−2,−6)；
②观察图象，不等式kx−x−b≥0的解集是0 (1)过点A作AC⊥OB于点C，利用三角形面积求得AC即可求得点A的坐标是(2,6)，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；
(2)①求得一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求解；
②根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点的求法，函数与不等式的关系，求得A点的坐标以及数形结合是解题的关键

24.【答案】解：(1)如图1，先找到1×1正方形的对角线的交点H、F，连接HF交线段CB于一点G，连接OG并延长交半圆于点E，E点即为所求的点．证明如下：
∵1×1正方形的对角线的交点为H、F，
∴K是IJ的中点，
∴K是CL的中点，
∴G是CB的中点，
∵O是线段AB的中点，
∴OG//AC，
∴∠OEA=∠CAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAE=∠CAE，
∴AE平分∠CAB；
(2)连接PO并延长交圆于一点Q，连接PC、QB交于点M，连接OM并延长交CB于点D，则D即为BC的中点．证明如下：
∵BC是⊙O切线，
∴AC⊥BC，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠APC=90°，
∴CP⊥AB，
∴P是AB中点，
∵O是AC中点，
∴OP//BC，
∵PQ、AC是直径，
∴PQ=AC，
∴PQ=BC，
∴四边形PQCB是平行四边形，
∵M是PC、QB的交点，
∴M是BQ的中点，
∴OM//PB，
∴MD//QC，
∴D是BC的中点；
(3)①DP与⊙O相切．
证明：由(2)知OP//CD，OP=CD，
∴四边形OCDP是平行四边形，
∵∠OCD=90°，
∴四边形OCDP是矩形，
∴PD⊥OP，
∴DP与⊙O相切；
②由①知四边形OCDP是矩形，
∵OC=OP，
∴四边形OCDP是正方形，
∴S=S正方形OCDP−S扇形COP=4×4−90×π×42360=16−4π．
 
【解析】(1)先找到1×1正方形的对角线的交点H、F，连接HF交线段CB于一点G，连接OG并延长交半圆于点E，E点即为所求的点；
(2)连接PO并延长交圆于一点Q，连接PC、QB交于点M，连接OM并延长交CB于点D，则D即为BC的中点；
(3)①DP与⊙O相切，证明四边形OCDP是矩形即可；
②先说明四边形OCDP是正方形，则所求面积等于S正方形OCDP−S扇形COP．
本题考查了作图，特殊四边形的证明，圆的切线的判定，与圆有关的面积计算；对于网格作图，关键是找到CB的中点．

25.【答案】解：(1)设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是(x+30)元，由题意，得：
1000x+30=400x，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解；
当x=20时：x+30=20+30=50；
∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；
(2)①设利润为w，由表格，得：
当50≤x≤60时，w=(x−50)×100=100x−5000，
∵k=100>0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60−5000=1000元；
当60 ∵a=−5<0，
∴当x=65时，利润最大为：1125元；
综上：当x=65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．
②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品(200−a)件，由题意，得：
50≤a<200−a，
解得：50≤a<100，
∵50≤400−5x<100，
∴60 设A，B型纪念品均全部售出后获得的总利润为：y，
则：y=(x−50)(400−5x)+(m−20)(200−400+5x)，
整理，得：y=−5x2+(550+5m)x−16000−200m，
∵−5<0，对称轴x=55+12m>70，
∵当x=70时，y有最大值，最大值为：y=−5×4900+(550+5m)×70−16000−200m=2800，
∴m=32， 
【解析】(1)设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是(x+30)元，根据用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
(2)①设利润为w，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品(200−a)件，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，进而得到A型纪念品的最大利润，设总利润为y，求出函数关系式，根据函数的性质，求出当y=2800时，m的值即可．
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键．

26.【答案】1  −n  −9 
【解析】解：(1)当y=−2时，−14x2+x−2=−2，
解得x=0或x=4，
∴M(0,−2)，N(4,−2)，
∴MF=2，NF=2，
∴1MF+1NF=1，
故答案为：1；
(2)∵过F的直线L与抛物线C1交点M(m,n)，
∴n=−14m2+m−2，
∴m=2−2 −1−n或m=2+2 −1−n，
∴0 ∴m=2−2 −1−n，
∴MF= (m−2)2+(n+2)2= 4(−1−n)+(n+2)2=−n，
故答案为：−n；
(3)1MF+1NF值不变，理由如下：
设N(p,q)，由(2)可知，p=2+2 −1−q，
∴NF=−q，
设MN的直线解析式为y=k(x−2)−2=kx−2k−2，
当kx−2k−2=−14x2+x−2时，m+p=4−4k，mp=−8k，
∴n+q=−4−4k2，nq=4+4k2，
∴1MF+1NF=−1n−1q=−n+qnq=1，
∴1MF+1NF是定值1；
(4)∵t≤x<−1时，y2≥x恒成立，
∴t≤x<−1时，函数C2：y2=−14(x−h)2的图象在直线y=x的上方，
当−14(x−h)2=x时，整理得x2−(2h−4)x+h2=0，
方程的两个根分别是x=−1或x=t，
∴2h−4=t−1，
∴t=2h−3，
当t=2h−3时，−14(2h−3−h)2=2h−3，
解得h=1(舍)或h=−3，
∴t=−9，
当−9≤t<1时，y2≥x恒成立，
∴t的最小值为−9，
故答案为：−9．
(1)分别求出M、N的坐标，从而求出MF=NF=2，再求解即可；
(2)根据题意得到方程n=−14m2+m−2，求出m=2−2 −1−n，再求MF= (m−2)2+(n+2)2=−n即可；
(3)设N(p,q)，由(2)可知，p=2+2 −1−q，则NF=−q，设MN的直线解析式为y=kx−2k−2，当kx−2k−2=−14x2+x−2时，m+p=4−4k，mp=−8k，求出n+q=−4−4k2，nq=4+4k2，则1MF+1NF=−1n−1q=−n+qnq=1，故1MF+1NF是定值1；
(4)由题意可知t≤x<−1时，函数C2：y2=−14(x−h)2的图象在直线y=x的上方，当−14(x−h)2=x时，整理得x2−(2h−4)x+h2=0，因为方程的两个根分别时x=−1或x=t，可得t=2h−3，当t=2h−3时，−14(2h−3−h)2=2h−3，求得t=−9，当−9≤t<1时，y2≥x恒成立，t的最小值为−9．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

27.【答案】2  2 3  19 14 219 
【解析】(1)解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=4，
∴AC=4⋅cos60°=2，BC=4⋅sin60°=2 3，
故答案为：2，2 3；
(2)证明：∵DM⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADM=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠AMD=90°，
∴∠AMD=∠B，
由折叠得：∠EDF=90°，DF=CF，DE=CE，
∴∠EDF=∠BDM=90°，DE=DF，
∴∠EDM=∠BDF，
∴△EMD≌△FBD(AAS)；
(3)解：如图1，

当点M在CE上时，作FG⊥AB于G，
由上知：∠AMD=∠B，∠EDM=∠BDF，
∴△EMD∽△FBD，
∴ DFBF=DEEM，
∵DE=CE，CMCE=12，
∴DFBF=2，
∵CF=DF，BC=2 3，
∴BF=2 33，DF=4 33，
∴BG=2 33⋅sinB=2 33× 32=1，FG=12BF= 33，
∴DG= DF2−FG2= (4 33)2−( 33)2= 5，
∴AD=AB−BG−DG=4−1− 5=3− 5，
如图2，

当点M在EC的延长线上时，作FH⊥AB于H，
同理上可知： DFBF=DEEM=CEEM=23，
∵CF=DF，CF+BF=2 3，
∴BF=35×2 3=65 3，DF=4 35，
∴FH=3 35，BH=95，
∴DH= (4 35)2−(3 35)2= 215，
∴AD=4−95− 215=11− 215，
综上所述：AD=3− 5或11− 215；
(4)解：如图3，

由对称可得：CP=DP，
∴点P在△ABC的一条中位线所在的直线l上运动，
作点A关于直线l的对称点X，连接BX，交l于点P′，当点P在P′处时，D在V处，AP+PB最小为BX的值，
∵AX=AC⋅cos∠XAC=2cos30°= 3，
∴BX= AX2+AB2 = ( 3)2+42= 19，
连接CX，作VS⊥BC于S，
可得：△CXP′≌△VBP′，
∴BV=CX=AC⋅sin∠CAX=2sin30°=1，
∴VS=12BV=12，BS= 32BV= 32，
∴CS=BC−BS=2 3− 32=3 32，
∴CV= VS2+CS2= (12)2+(3 32)2= 7，
∴CP′=12VP′= 72，
可得：△CFP′∽△CVS，
∴CFCV=CP′CS，
∴CF 7= 723 32，
∴CF=7 39，
可得：△CSV∽△ECF，
∴EFCV=CFVS，
∴EF 7=7 3912，
∴EF=14 219，
故答案为： 19，14 219．
(1)解直角三角形ABC求得结果；
(2)可推出∠AMD=∠B，DE=CE=CF=DF，∠EDM=∠BDF，从而得出结论；
(3)分为两种情形：当点M在CE上时，作FG⊥AB于G，可证得△EMD∽△FBD，从而 DFBF=DEEM=2，进而求得DF，BF，解三角形BDF求得BG和DG，进而求得结果；当点M在EC的延长线上时，作FH⊥AB于H，同样方法得出结果；
(4)由CP=DP得出点P在△ABC的一条中位线所在的直线l上运动，作点A关于直线l的对称点X，连接BX，交l于点P′，当点P在P′处时，D在V处，AP+PB最小为BX的值，在Rt△ACX中求得AX的值，进而求得BX，连接CX，作VS⊥BC于S，可得△CXP′≌△VBP′，从而求得BV=CX=1，依次求出VS，BS，CS，CV，CP′，根据△CFP′∽△CVS得出CFCV=CP′CS，进而求得CF，根据△CSV∽△ECF得出EFCV=CFVS，进一步得出结果．
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．