初中人教版第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆学案

第18讲   构造辅助圆（隐圆），巧解几何题（原卷版）

第一部分   典例剖析+针对训练

名师点金：根据圆的集合定义，当出现到顶点的距离等于定长的点（或动点）时，可考虑作辅助圆，结合“三点定圆”。共端点的三条线段的另外三个端点在以相同端点为圆心，相等线段长为半径的圆上。

类型一 几个点到某定点距离相等构造圆

典例1（2019秋•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　．

针对训练1

1．（2021秋•忻府区校级期中）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝2，AB＝AC＝AD．则CD的长为（　　）

A． B． C．2 D．

类型二 定角定弦模型

名师点金：等弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角时直角，反之，如果一定长线段的对角角度恒定不变，那么线段的两个端点及动角的顶点在同一个圆上。

（1）定边对直角

例2（2021•东西湖区模拟）如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（　　）个．

A．6 B．7 C．8 D．9

针对训练2

2．（2021秋•招远市期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是　 　．

（2）定边对任意角

典例3 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4，则△ABC面积的最大值为 　      　．

针对训练3

3．（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（　　）

A．1.5 B． C． D．2

4．在平面直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（﹣1，0），C是y轴上一动点，当∠BCA＝45°时，求点C的坐标．

类型三 对角互补模型（四点共圆）

名师点金：圆内接四边形对角互补，反之，如果一个四边形有一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

典例4（2021•碑林区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝2，D是AB边上的动点，连接CD，将△BCD绕点C沿顺时针旋转至△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值＝　   ．

针对训练4

5．（2021•南通一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于 　　．

6．（2021•汉阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　）

A．变大 B．先变大后变小 

C．先变小后变大 D．不变

类型四 最大张角模型

典例5（2022•孟村县二模）如图，点A和点B的坐标分别为（0，1），（0，5），点P是直角坐标系中的一个动点．

（1）使∠APB＝30°的点P有 　 　个；

（2）若点P在x轴上运动，当∠APB取得最大值时点P的坐标为 　               　．

针对训练5

7．（2021秋•石景山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点A（0，2），B（0，8），⊙M为△ABP的外接圆．

（1）点M的纵坐标为 　 　；

（2）当∠APB最大时，点P的坐标为 　   　．

第二部分 专题提优提升

1．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（　　）

A．130° B．140° C．150° D．160°

2．如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若∠C＝100°，∠BAD＝　 　．

3．（2021秋•庐江县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为　　．

4．（2020•淮阴区模拟）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB，BC于E、F，则EF的最小值为 　 　．

5．（2021春•牧野区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB＝10，BC＝12，当CF取最小值时，BP的值等于 　　．

6．如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若∠C＝100°，∠BAD＝　 　．

7．如图，在△ABC中，∠C＝120°，则△ABC所在的平面上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，且∠AMB＝60°？若存在，画出该点的位置，若不存在，请说明理由．

8．（2020•浙江自主招生）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，求线段DH长度的最小值．

9．（2019•新余一模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．

（1）求∠B+∠D的度数．

（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．

（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．