【同步讲义】人教版数学八年级上册-（知识点+基础练+提高练）【15.2 分式的运算】 讲义

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2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第15章《分式》
15.2 分式的运算

知识点1：科学记数法—表示较小的数
1．（2022秋•西城区校级期中）成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m，可以用科学记数法表示为（　　）
A．7.245×10﹣5m B．7.245×106m
C．0.7245×10﹣4m D．7.245×10﹣6m
解：0.000007245m＝7.245×10﹣6m．
故选：D．
2．（2022秋•灌阳县期中）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.0000000005米的碳纳米管，将0.0000000005用科学记数法表示为（　　）
A．0.5×10﹣9 B．5×10﹣9 C．0.5×10﹣8 D．5×10﹣10
解：0.0000000005＝5×10﹣10．
故选：D．
3．（2022秋•沿河县校级月考）杨絮纤维的直径约为0.0105千米，该直径用科学记数法表示为 　1.05×10﹣5　米．
解：0.0105千米＝0.0000105米＝1.05×10﹣5米 ，
故答案为：1.05×10﹣5．
4．（2022春•南安市期中）华为Mate40系列手机搭载着强大的5纳米芯片麒麟9000，这是国内首款支持数字人民币硬件钱包的智能手机.5纳米就是0.000000005米，数据0.000000005用科学记数法表示为 　5×10﹣9　．
解：数据0.000000005用科学记数法表示为5×10﹣9．
故答案为：5×10﹣9．
5．（2022秋•上城区校级期中）计算：
（1）（﹣+﹣）×（﹣18）；
（2）﹣24﹣×[2﹣（﹣3）2]；
（3）8.4×103﹣4.8×104．
解：（1）（﹣+﹣）×（﹣18）
＝
＝14﹣15+1
＝0；
（2）﹣24﹣×[2﹣（﹣3）2]
＝
＝
＝﹣16+1
＝﹣15；
（3）8.4×103﹣4.8×104．
＝8400﹣48000
＝﹣39600．
6．（2022秋•西城区校级期中）请观察下列各式：
0.1＝＝10﹣1，0.01＝＝＝10﹣2，0.001＝＝＝10﹣3，…一般地，10的﹣n（n为正整数）次幂等于＝0.00…01（小数点后面有n位），所以可以利用这种方法表示一些很小的数，例如：
0.000536＝5.36×0.0001＝5.36×10﹣4；
﹣0.0000000728＝﹣7.28×0.00000001＝﹣7.28×10﹣8．
像上面这样，把一个绝对值小于1的数表示成a×10﹣n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），使用的也是科学记数法．
请阅读上述材料，完成下列各题：
（1）下列选项中，正确使用科学记数法表示的数是 　B　
A.37.5×105
B．﹣4.83×10﹣9
C.0.258×10﹣8
D．﹣90.6×1012
（2）已知1米等于109纳米，一微型电子元件的直径约50000纳米，用科学记数法可以表示成 　5×10﹣5　米．
解：（1）正确使用科学记数法表示的数是﹣4.83×10﹣9，
故答案为：B；
（2）50000÷109米＝5×10﹣5米，
故答案为：5×10﹣5．
知识点2：分式的乘除法
7．（2022秋•零陵区校级月考）下列计算正确的是（　　）
A．÷3xy＝1 B．•＝
C．x÷y•＝x D．﹣＝﹣1
解：A选项中，原式＝•＝，故A选项不符合题意；
B选项中，•＝，故B选项符合题意；
C选项中，原式＝x••＝，故C不选项符合题意；
D选项中，原式＝﹣＝，故D选项不符合题意；
故选：B．
8．（2022秋•任城区校级月考）关于式子÷，下列说法正确的是（　　）
A．当x＝3时，其值为0 B．当x＝﹣3时，其值为2
C．当0＜x＜3时，其值为正数 D．当x＜0时，其值为负数
解：原式＝•
＝，
A、当x＝3时，原式＝0，故A符合题意．
B、当x＝﹣3时，分式无意义，故B不符合题意．
C、当0＜x＜3时，所以x﹣3＜0，其值为负数，故C不符合题意．
D、当x＜0时，所以x﹣3＜0，其值为正数，故D不符合题．
故选：A．
9．（2022•闵行区校级开学）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是关于x与y的五次三项式，则（﹣）5＝　1　．
解：原多项式是一个五次三项式，最高项是xn﹣1y，
∴n﹣1+1＝5，
∴n＝5，
∴原式＝x4y﹣2xy3﹣5x2y+4xy3﹣mx2y+2
＝x4y+（﹣2xy3+4xy3）﹣（5x2y+mx2y）+2
＝x4y+2xy3﹣（5+m）x2y+2，
∴﹣（m+5）＝0
∴m＝﹣5，
∴（﹣）5＝，
故答案为：1．
10．（2022•路南区三模）代数式化简的结果是x+2，则整式M＝　1+x　．当x＜﹣2时，　＞　（填“＞”“＜”“＝”）
解：由题意得，M＝（x+2）•＝1+x，
当x＜﹣2时，可设x＝﹣3，
则1+x＝﹣2，2+x＝﹣1，
∴＝＝2，
∴＞．
故答案为：1+x，＞．
11．（2022秋•三台县期中）我们知道：＝，×＝，……，
（1）×……×＝　　．
（2）试根据上面规律，计算：（）（）（）……（）．
解：（1）×……×＝，
故答案为：；
（2）（）（）（）……（）
＝（）××（﹣）×……×（﹣）
＝﹣．
12．（2022秋•房山区期中）计算：．
解：原式＝﹣••
＝﹣．
知识点3：分式的加减法
13．（2022秋•新化县校级期中）计算＝（　　）
A．a+b B．a﹣b C．1 D．﹣1
解：原式＝＝a+b．
故选：A．
14．（2022秋•房山区期中）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
解：∵﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故A不符合题意；
∵﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故B不符合题意；
∵﹣＝＝，•＝，
∴•＝（﹣），故C符合题意；
﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故D不符合题意．
故选C．
15．（2022•乐清市开学）照相机成像应用了一个重要原理，用公式来表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离，已知f，u，则v＝　　．
解：∵，
∴＝﹣＝，
∴v＝，
故答案为：．
16．（2022•鄞州区校级自主招生）已知a+＝+3b≠0，则的值为 　　．
解：∵a+＝+3b，
∴3b（ab+1）＝a（ab+1），
∵a+＝≠0，
∴ab+1≠0，
∴a＝3b，
原式＝＝，
故答案为：．
17．（2022春•郓城县期末）若＝+，则整式M＝　3　．
解：已知等式整理得：＝，
∴4x﹣1＝M（x﹣1）+x+2＝（M+1）x+2﹣M，
∴M+1＝4，
解得：M＝3．
故答案为：3．
18．（2022秋•房山区期中）计算：．
解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣
＝﹣1．
19．（2022秋•岳阳县校级月考）化简：，圆圆的解答如下：

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
解：圆圆的解答不正确．
原式＝﹣﹣
＝
＝
＝
＝
＝﹣．
知识点4：分式的混合运算
20．（2022•内蒙古）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a÷b•＝a
C．﹣＝2 D．（）3＝
解：a3+a3＝2a3，故A错误，不符合题意；
a÷b•＝a••＝，故B错误，不符合题意；
﹣＝＝＝2，故C正确，符合题意；
（）3＝，故D错误，不符合题意；
故选：C．
21．（2022•邯郸模拟）墨迹覆盖了“计算＝1”中的运算符号，则覆盖的是（　　）

A．+ B．﹣ C．× D．÷
解：若覆盖的是+，左边＝+＝，右边＝1，
∴左边≠右边，故A不符合题意；
若覆盖的是﹣，左边＝﹣＝＝1，右边＝1，
∴左边＝右边，故B符合题意；
若覆盖的是×，左边＝×＝，右边＝1，
∴左边≠右边，故C不符合题意；
若覆盖的是÷，左边＝÷＝，右边＝1，
∴左边≠右边，故D不符合题意；
故选：B．
22．（2022秋•永年区校级月考）化简分式：（1﹣）÷＝　　．
解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝
＝，
故答案为：．
23．（2022春•成华区校级期中）化简：÷（﹣x+1）＝　　．
解：÷（﹣x+1）
＝
＝
＝．
故答案为：．
24．（2022•路南区二模）已知两分式中间阴影覆盖了运算符号．
（1）若覆盖了“+”，其运算结果为 　x﹣1　；
（2）若覆盖了“÷”，并且运算结果为1，则x的值为 　x＝　．

解：（1）+
＝
＝
＝x﹣1；
故答案为：x﹣1；
（2）÷＝1，
，
x2﹣2＝1，
x2＝3，
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的根，
故答案为：x＝．
25．（2022秋•南岸区校级期中）计算：
（1）（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）；
（2）（m﹣2+）÷．
解：（1）（a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）
＝a2+2ab+b2﹣（4a2﹣b2）
＝a2+2ab+b2﹣4a2+b2
＝﹣3a2+2ab+2b2；
（2）（m﹣2+）÷
＝•
＝•
＝
＝．
26． （2022秋•东城区校级期中）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：﹣，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：

老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．
（1）我选择 　甲　同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”）
（2）该同学的解答从第 　②　步开始出现错误（填序号），错误的原因是 　第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘　；
（3）请写出正确解答过程．
解：（1）我选择甲同学的解答过程进行分析，
故答案为：甲；
（2）该同学的解答从第②步开始出现错误，错误的原因是第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘，
故答案为：②，第二个分式的分母乘x+3，分子没有乘；
（3）﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝﹣．
知识点5：分式的化简求值
27．（2022秋•张店区校级月考）若a2+c2＝b2+ac，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
解：原式＝
＝，
∵a2+c2＝b2+ac，
∴原式＝＝1，
故选：C．
28．（2022春•大田县期末）已知，a+b＝2，ab＝﹣5，则+的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
解：原式＝，
∵a+b＝2，ab＝﹣5，
∴原式＝．
故选：D．
29．（2022秋•浦东新区校级期中）已知x2﹣3x﹣1＝0，则x4+＝　119　．
解：x2﹣3x﹣1＝0，
∴x﹣3﹣＝0，
∴x﹣＝3，
∴（x）2＝9，
∴x2﹣2+＝9，
∴x2+＝11，
∴（x2+）2＝121，
∴x4+2+＝121，
∴x4+＝119，
故答案为：119．
30．（2022秋•张店区校级月考）已知，则的值为 　　.已知x﹣＝3，则x2+＝　11　．
解：∵，
∴x＝y，
则＝＝＝；
∵x﹣＝3，
∴（x﹣）2＝9，
∴x2﹣2+＝9，
∴x2+＝11，
故答案为：，11．
31．（2022秋•招远市期中）先化简，再求值：（），请选择一个合适的x的值代入求值．
解：（）
＝
＝
＝
＝，
当x＝0时，原式＝＝1．
32．（2022秋•贵港期中）先化简，再求值
（1），其中；
（2），其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
解：（1）原式＝
＝
＝x﹣1，
当时，
原式＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
当a2﹣2a＝1时，原式＝．
知识点6：负整数指数幂
33．（2022秋•新化县校级期中）计算3﹣1的值是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．
解：3﹣1＝．
故选：D．
34．（2022春•杭州期中）已知a＝（﹣2）0，b＝（﹣2）﹣1，则a与b的大小关系为（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b
解：∵a＝（﹣2）0＝1，b＝（﹣2）﹣1＝﹣，
∴a＞b．
故选：A．
35．（2022秋•贵港期中）计算：＝　﹣　．
解：
＝+﹣1
＝﹣1
＝﹣，
故答案为：﹣．
36．（2022春•淅川县期末）＝　6　．
解：原式＝4+1+1＝6，
故答案为：6．
37．（2022秋•灌阳县期中）计算：
解：
＝7﹣4+1﹣9
＝﹣5．
38．（2022春•盱眙县期中）（1）计算判断：
（）2　＝　（）﹣2，（）3　＝　（）﹣3（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）猜想发现：
（）m　＝　（）﹣m（a≠0，b≠0，m是正整数，填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）拓展应用：计算
（）﹣2×（）2
解：（1）∵（）2＝，（）﹣2＝＝，
∴（）2＝（）﹣2，
∵（）3＝，（）﹣3＝＝，
∴（）3＝（）﹣3，
故答案为：＝，＝；
（2）由规律可得，
（）m＝（）﹣m（a≠0，b≠0，m是正整数），
故答案为：＝；
（3）原式＝（）2×（）2
＝（×）2
＝32
＝9．
知识点7：列代数式（分式）
39．（2022秋•张店区校级月考）一条山路的长度为s千米，某人上山和下山都走这同一条路．若他上山的速度为a千米/时，下山的速度为b千米/时，则上山和下山的平均速度为（　　）千米/时．
A． B． C． D．
解：上山所用时间为：时，
下山所有时间为：时，
∴上山和下山的平均速度为：＝千米/时，
故选：B．
40．（2021秋•丛台区校级期末）甲、乙两港口之间的海上行程为skm，一轮船以akm/h的航速从甲港顺流航行到乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为（　　）h．
A． B． C． D．
解：由题意可得：．
故选：B．
41．（2022春•溧阳市期中）用漫灌方式给绿地浇水，a天用水10吨，改用喷灌方式后，10吨水可以比原来多用5天，那么喷灌比漫灌平均每天节约用水 　　吨．
解：喷灌比漫灌平均每天节约用水量为﹣＝（吨）．
故答案为：．
42．（2022春•萍乡期末）甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2﹣4）米，乙工程队每天修（a﹣2）2米（其中a＞2），则甲工程队修900米所用时间与乙工程队修600米所用时间的比值是 　　．（用含a的式子表示）
解：根据题意得：÷＝，
故答案为：．
43．（2021春•郑州期末）小丽和小刚从家到学校的路程都是3km，小丽走的是平路，骑车速度是2vkm/h，小刚骑车需要走1km的上坡路、2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h．
（1）从家到学校小丽和小刚分别需要多长时间？
（2）小丽和小刚谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
解：（1）小丽花费的时间为： h，
小刚上坡路走的时间：，下坡路走的时间：，
小刚花费的总时间为：h；
（2）∵＞0，
∴小丽花费的时间短，少用了h．
44．（2021秋•河北月考）甲、乙两个工程队分别承担一条20km公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路xkm，另一半时间每天维修ykm；乙队维修前10km公路时，每天维修xkm，维修后10km公路时，每天维修ykm，（x≠y）问甲、乙两队哪一队先完成任务？
解：由题意得：甲队完成任务需要的时间为：＝；
乙队完成任务需要的时间为：+；
甲、乙两队完成任务的时间差是：
﹣（+）＝＝，
∵x＞0，y＞0，且x≠y，
∴﹣10（x﹣y）2＜0，xy（x+y）＞0，
∴＜0，
∴甲队先完成任务