初中数学人教版八年级上册11.3.1 多边形精品巩固练习

11.3.1《多边形》

重难点题型专项练习

考查题型一  多边形的概念与分类

典例1．下列说法错误的是（    ）

A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形

B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形

C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形

D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形

【答案】D

【分析】根据四边形的定义以及多边形的定义对各小题分析判断即可得解．

【详解】解：A．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；

B．在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；

C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；

D．多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了四边形的定义以及多边形的定义，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握．

变式1-1．下列命题正确的是（    ）

A．各边相等的多边形是正多边形

B．各内角分别相等的多边形是正多边形

C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形

D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形

【答案】D

【分析】正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，据此即可逐一判断.

【详解】解：A、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；

B、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；

C、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项错误；

D、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形，故本选项正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查正多边形的定义，解题的关键是掌握正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

变式1-2．下列说法中，正确的有（    ）

①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；

②三角形是边数最少的多边形；

③n边形有n条边、n个顶点.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】根据多边形的定义判断即可．

【详解】由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，①不正确；易知②③正确，

故选：C．

【点睛】本题考查了多边形的定义，掌握知识点是解题关键．

变式1-3．下列图形中，正多边形的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【详解】略

考查题型二  多边形对角线的条数问题

典例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）从一个多边形的一个顶点出发，最多可画条对角线，则它是（    ）边形．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据多边形从一点出发引对角线的计算方法是，为多边形的边数，由此即可求解．

【详解】解：根据题意得，，解得，，

故选：．

【点睛】本题主要考查多边形的对角线与边数的关系，掌握多边形每个顶点引对角线的计算方法是解题的关键．

变式2-1．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是（    ）

A．12 B．15 C．18 D．21

【答案】D

【分析】由n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可求出多边形的边数即可解答．

【详解】解：∵经过多边形的一个顶点有4条对角线，

∴这个多边形有条边，

∴此正多边形的周长为，

故选：D．

【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．熟记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．

变式2-2．（2022秋·青海西宁·八年级校考期末）如果由多边形的一个顶点可以作6条对角线，那么这个多边形是（    ）边形．

A．7 B．9 C．5 D．4

【答案】B

【分析】设这个多边形的边数是n，再根据多边形对角线的条数进行解答即可．

【详解】解：设这个多边形的边数是n，

∵从多边形的一个顶点共引了6条对角线，

∴，

解得．

故选：B．

【点睛】本题考查的是多边形的对角线，解决本题的关键是熟悉从多边形的一个顶点出发的对角线条数公式，然后列方程求解．

变式2-3．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期中）九边形的对角线的条数一共有（    ）

A．6 B．9 C．27 D．54

【答案】C

【分析】根据n边形对角线的总条数为：（，且为整数），即可得到答案．

【详解】解：九边形的对角线的条数，

故选C．

【点睛】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解题关键是掌握：n边形对角线的总条数为：（，且为整数）．

考查题型三  对角线分成的三角形个数问题

典例3．（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成6个三角形，那么这个多边形是（    ）

A．6边形 B．7边形 C．8边形 D．9边形

【答案】C

【分析】根据对于边形，从一个顶点作对角线可以将n边形分成个三角形，即可求解．

【详解】解：设多边形有条边，

则

解得：．

所以这个多边形的边数是，

故选：C．

【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．

变式3-1．（2022秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2017个三角形，那么这个多边形是（   ）边形

A．2020 B．2019 C．2018 D．2017

【答案】B

【分析】根据经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数．

【详解】设多边形有n条边，

则，

解得：，

故选：B．

【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式．

变式3-2．（2021秋·山西吕梁·八年级统考期中）探究多边形的内角和时，需要把多边形分割成若干个三角形．在分割六边形时，所分三角形的个数不可能的是（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】A

【分析】可以从一个顶点出发的所有对角线对其进行分割；也可以是连接多边形的其中一边上的一个点和各个顶点，对其进行分割；还可以是连接多边形内部的任意一点和多边形的各个顶点，对其进行分割．

【详解】解：如图所示：

可以发现所分割成的三角形的个数分别是4个，5个，6个；

就是不可能分割成3个三角形．

故选：A．

【点睛】本题考查了多边形对角线分成的三角形个数问题，此题要能够从特殊中发现规律，进而推广到一般．

变式3-3．如图，在探究过多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成三角形的个数时，画出的图形如下：

根据图形可知，过边形的一个顶点引出的对角线，把边形分成的三角形的个数是（   ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】观察图形，找出规律，列出代数式即可．

【详解】解：观察图形可得：

第1个图，过四边形的一个顶点引出1条对角线，把四边形分成了2个三角形；

第2个图，过五边形的一个顶点引出2条对角线，把四边形分成了3个三角形；

第3个图，过六边形的一个顶点引出3条对角线，把四边形分成了4个三角形；

……

第个图，过边形的一个顶点引出条对角线，把边形分成个三角形；

故选：B．

【点睛】本题考查了找规律-图形变化类，仔细观察图形，找到变化规律是解题的关键．

考查题型四  多边形截角后的边数问题

典例4．（2022秋·河南洛阳·八年级校考期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．

【详解】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．

故选：．

【点睛】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．

变式4-1．（2020秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第九中学校考阶段练习）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】A

【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.

故选A.

【点睛】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.

变式4-2．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】D

【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形，由此即可解答.

【详解】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，

则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．

故选D．

【点睛】剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．

变式4-3．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ）

A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8

【答案】C

【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．

【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．

故选C

【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．