2022-2023学年度吉林省长市南关区实验繁荣学校九年级上学期期中数学试题

吉林省长春市南关区实验繁荣学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 下列函数一定是二次函数的是（       ）

A.  B.  C.  D.

2. 将二次函数y=(x﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为(　　)

A. y=(x+2)2﹣2 B. y=(x﹣4)2+2

C. y=(x﹣1)2﹣1 D. y=(x﹣1)2+5

3. 已知二次函数则下列关于这个函数图象和性质说法正确的是（       ）

A. 图象的对称轴是直线 B. 图象的顶点坐标是（1，3）

C. 图象与轴交于点（4，0） D. 图象的开口向上

4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC长为（       ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列四个函数中，在自变量取值范围内随增大而减小的是（）

A. （＜0） B.

C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A.  B.  C.  D.

8. 已知二次函数y＝x2－2ax+a2－2a－4（a为常数）的图象与x轴有交点，则a的取值范围是（       ）

A. a＞－2 B. a≥－2 C. a＜－2 D. a≤－2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________．

10. 若抛物线的顶点在轴上，则的值为_________．

11. 在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x部分对应值如下表，则表中m的值为__________．

12. 已知直线和抛物线的图象大致位置如上图所示，若，则的取值范围是_________．

13. 如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为_____m．

14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（5，0），顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上．若抛物线y＝－x2－13x+c经过点B、C，则菱形ABCD的面积为________．

三、解答题（本答题10小题，共78分）

15. 化简：．

16. 图①、图②均为 4×4 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．

（1）在图①中画一个四边形 ABCD，点D在格点上，使四边形 ABCD 有一组对角相等，并求           ．

（2）在图②中画一个四边形 ABCE，点E在格点上，使四边形 ABCE 有一组对角互补，并求          ．

17. 为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次活动共抽查了　  　人．

（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数       ．

（3）张老师在班上随机抽取了3名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，若再从这3人中随机抽取2人，请用画树状图法或者列表法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．（把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B）

18. 如图，矩形的对角线与相交于点．延长到点，使，连结．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，请直接写出平行四边形的周长            ．

19. 已知抛物线经过点（0，2）和（1，－1）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）直接写出该函数在的取值范围内，函数的最大值是         ．

20. 在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点在x轴上，点的坐标为（2，1）．将此矩形绕点逆时针旋转90°，得到矩形．

（1）求过点、、的抛物线的解析式；  

（2）将矩形沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．

21. 甲、乙两人在笔直的道路AB上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，假设他们分别以不同的速度匀速行驶，甲先出发6分钟后，乙才出发，乙的速度为千米/分，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离（千米）与甲出发的时间（分）之间的部分函数图象如图所示．

（1）直接写出A、B两地相距      千米；甲的速度为______千米/分；点F的坐标为      ；

（2）求线段EF所表示与之间的函数表达式；

（3）直接写出当乙到达终点A时，甲还需要       分钟到达终点B．

22. 能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放，其中，．点，分别在边，上，与相交于点．

【探究】求证：四边形是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．

【操作二】四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定角度，使点与点重合，连接，，如图③若，则四边形的面积为______．

23. 如图，抛物线过A（4，0），B（1，3）两点，连结AB．

（1）分别写出抛物线的解析式          ，直线AB的解析式            ；

（2）点P在抛物线上，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与A、B重合），其横坐标为，当△ABP的面积S随的增大而增大时，直接写出的取值范围．

24. 如图，在等边△ABC中，AB＝4，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD－DC于点Q，以PQ为边作等边△PQR（点R与点A在PQ异侧），设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为（），点P运动的时间为（）．

（1）当点Q在线段AD上时，直接写出QR的长     ；（用含的代数式表示）

（2）当点Q在线段AD上时，求与之间的函数关系式；

（3）直接写出点R运动的路程长     ．

（4）直接写出以B、Q、R为顶点的三角形为直角三角形时的值．