数学八年级下册2.2.1平行四边形的性质课后测评

[平行四边形的对角线的性质]

一、选择题

1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是(　　)

A.AO=DO　　 B.AO⊥DO　 C.AO=CO　　 D.AO⊥AB

2.证明:平行四边形的对角线互相平分.

已知:四边形ABCD是平行四边形,如图所示.求证:AO=CO,BO=DO.

以下是排乱的证明过程:①∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO;②∵四边形ABCD是平行四边形;③∴AB∥CD,AB=CD;④∴△AOB≌△COD;⑤∴OA=OC,OB=OD.

正确的顺序应是 (　　)

A.②①③④⑤ B.②③⑤①④ C.②③①④⑤ D.③②①④⑤

3.(2020益阳)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=8,则AB的长可能是 (　　)

A.10 B.8 C.7 D.6

4.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AB⊥AC.若AD=5,AB=3,则对角线BD的长为(　　)

A. B.2 C.9 D.8

二、填空题

5.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,则图中有　　　　对全等三角形. 

6.如图,平行四边形ABCD的周长为18 cm,AC,BD相交于点O,△OBC的周长比△OAB的周长小2 cm,则AB的长度为　　　　cm.               

7.如图,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC交AD于点M,△CDM的周长为8,那么▱ABCD的周长是　　　　. 

8.如图,▱ABCD的面积为16,对角线交于点O;以AB,AO为邻边作▱AOC1B,对角线交于点O1;以AB,AO1为邻边作▱AO1C2B,对角线交于点O2……依此类推,则▱AOC1B的面积为　　　　　;▱AO4C5B的面积为　　　　;▱AOnCn+1B的面积为　　　　. 

三、解答题

9.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,那么OE与OF是否相等?为什么?

图   

10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O任作一条直线分别交AB,CD于点E,F.

(1)求证:OE=OF;

(2)若CD=6,AD=5,OE=2,求四边形AEFD的周长.

11.如图①,四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形,点E,F在▱ABCD的对角线AC上.

(1)求证:∠ABE=∠CDF;

(2)若点E,F不在对角线AC上,而在对角线AC所在的直线上,如图②所示,则∠ABE=∠CDF是否还成立?请说明理由.

 [操作设计] 如图①,四边形ABCD是平行四边形,E是AB边上一点,只用无刻度直尺在CD边上作一点F,使得CF=AE.

(1)作出满足题意的点F,简要说明你的作图过程;

(2)依据你的作图,证明:CF=AE;

(3)小明从图①找到了一种将平行四边形面积平分的方法.图②是一块纸片,其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形,小明发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分,请你帮助小明设计三种不同的分割方案.

答案

1.C　

2.C

3. D　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴OA=AC=3,OB=BD=4.

在△AOB中,4-3<AB<4+3,

即1<AB<7,

∴AB的长可能为6.故选D.

4. B　∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,OA=OC,BC=AD=5.

∵AB⊥AC,AB=3,∴AC==4,∴OA=2,∴BO===,

∴BD=2BO=2.

5. 4

 △AOB≌△COD;△AOD≌△COB;△ADB≌△CBD;△ADC≌△CBA.

6. 5.5

 ∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=DC,AD=BC,AO=CO.

∵平行四边形ABCD的周长是18 cm,

∴AB+BC=9 cm.

∵△OBC的周长比△OAB的周长小2 cm,

∴AB-BC=2 cm,∴AB=5.5 cm.

7. 16　

 依题意可知OM垂直平分AC,∴AM=CM,∴AD+CD=△CDM的周长=8,

∴▱ABCD的周长=2(AD+CD)=16.

8. 8　　

 ∵▱ABCD的面积为16,O为▱ABCD的对角线的交点,∴▱AOC1B的底边AB上的高等于▱ABCD的底边AB上的高的,∴▱AOC1B的面积=×16.∵▱AOC1B的对角线交于点O1,∴▱AO1C2B的边AB上的高等于▱AOC1B的底边AB上的高的,∴▱AO1C2B的面积=××16=×16……依此类推,▱AO4C5B的面积=×16=,▱AOnCn+1B的面积为×16=.

9.解:OE=OF.理由如下:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.

又∵BE⊥AC,DF⊥AC,

∴∠OEB=∠OFD=90°.

又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF,

∴OE=OF.

10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,OA=OC,∴∠OAE=∠OCF.

在△AEO和△CFO中,

∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.

(2)∵△AEO≌△CFO,∴CF=AE,

∴DF+AE=DF+CF=CD=6.

又∵EF=2OE=4,

∴四边形AEFD的周长=AD+DF+AE+EF=5+6+4=15.

11.解:(1)证明:连接BD交AC于点O,如图①.

∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD,OA=OC,OE=OF,

∴∠BAE=∠DCF,AE=CF.

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS),

∴∠ABE=∠CDF.

(2)∠ABE=∠CDF还成立.理由如下:

连接BD交AC于点O,如图②所示.

∵四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形,∴BE∥DF,BE=DF,OA=OC,OE=OF,

∴∠BEA=∠DFC,AE=CF.

在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS),

∴∠ABE=∠CDF.

[素养提升]

解:(1)如图①,连接EO并延长交CD于点F,则点F为所求.

(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AO=CO,AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO.

又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,

∴CF=AE.

(3)三种不同的分割方案如图②③④所示.