2020福建学业水平考试数学

这是一份2020福建学业水平考试数学，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020福建中考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. －的相反数是(　　)
A. 5　　　B. 　　　C. －　　　D. －5
2. 如图所示的六角螺母，其俯视图是(　　)

第2题图
3. 如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是(　　)

第3题图
A. 1 B. C. D.
4. 下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)



5. 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(　　)
A. 10 　　　B. 5　　 　C. 4　　 　D. 3

第5题图
6. 如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m－n的结果可能是(　　)
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3

第6题图
7. 下列运算正确的是(　　)
A. 3a2－a2＝3 B. (a＋b)2＝a2＋b2
C. (－3ab2)2＝－6a2b4 D. a·a－1＝1(a≠0)
8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株缘的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　)
A. 3(x－1)＝ B. ＝3
C. 3x－1＝ D. ＝3
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于(　　)

第9题图
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
10. 已知P1(x1，y1)，P2 (x2，y2)是抛物线y＝ax2－2ax上的点，下列命题正确的是(　　)
A. 若|x1－1|>|x2－1|，则y1>y2
B. 若|x1－1|>|x2－1|，则y1 C. 若|x1－1|＝|x2－1|，则y1＝y2
D. 若y1＝y2，则x1＝x2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 计算：|－8|＝________．
12. 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________．
13. 一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为________．(结果保留π)
14. 2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10 907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为＋100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10 907米处，该处的高度可记为________米．
15. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于________度．

第15题图
16. 设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分8分)
解不等式组：






18. (本小题满分8分)
如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.
求证：∠BAE＝∠DAF.

第18题图









19. (本小题满分8分)
先化简，再求值：(1－)÷，其中x＝＋1.






20. (本小题满分8分)
某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．











21. (本小题满分8分)
如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝.
(1)求∠BED的大小；
(2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．

第21题图











22. (本小题满分10分)
为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．

第22题图
(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数；
(2)估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
(3)2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．

已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．





23. (本小题满分10分)
如图，C为线段AB外一点．
(1)求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．

第23题图

















24. (本小题满分12分)
如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P.
(1)求∠BDE的度数；
(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC.
①判断DF和PF的数量关系，并证明；
②求证：＝.

第24题图













25. (本小题满分14分)
已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若直线l2：y＝mx＋n(n≠10)，求证：当m＝－2时，l2∥l1；
(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝－2x＋q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．













2020福建中考数学解析
1. B
2. B
3.D　【解析】在等边△ABC中，∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴△DEF为等边三角形，DF∥BC且DF＝BC.如解图，连接AE交DF于点G，∴AG＝AE.∵S△ABC＝BC·AE＝1，∴BC·AE＝2，∴S△DEF＝DF·EG＝×BC×AE＝×2＝.

第3题解图
4. C　【解析】A.等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；D.扇形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
5. B　【解析】在等腰△ABC中，AD平分∠BAC，∴AD为△ABC的中线，∴CD＝BD＝5.
6. C　【解析】如解图，设A表示－1，B表示1，由解图可知，AN与BM可能相等．设AN＝BM，∴m－n＝MN＝BN－BM＝BN－AN＝AB＝2，∴m－n的结果可能为2.

第6题解图
7. D　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
3a2－a2＝2a2≠3
×
B
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b≠a2＋b2
×
C
(－3ab2)2＝9a2b4≠－6a2b4
×
D
a·a－1＝a·＝1(a≠0)
√
8. A　【解析】由题意得3(x－1)＝.
9. A　【解析】如解图，连接OA、OB、OC、OD，∵∠BDC＝60°，∴∠BOC＝2∠BDC＝120°.∵AB＝CD，∴＝.∵点A为的中点，∴＝，∴＝＝，∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD.∵∠AOB＋∠AOD＋∠COD＋∠BOC＝360°，∴3∠AOB＋120°＝360°，解得∠AOB＝80°，∴∠ADB＝∠AOB＝40°.

第9题解图
10. C　【解析】∵抛物线的解析式为y＝ax2－2ax，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴若|x1－1|＝|x2－1|，则y1＝y2，故C选项正确；若y1＝y2，则x1＝x2或x1≠x2，故D选项错误；当a＞0时，若|x1－1|＞|x2－1|，即x1到对称轴的距离大于x2到对称轴的距离，则y1＞y2；当a＜0时，若|x1－1|＞|x2－1|，即x1到对称轴的距离大于x2到对称轴的距离，则y1＜y2，∵a值不确定，故A，B选项错误．
11. 8
12.
13. 4π　【解析】这个扇形的面积为＝4π.
14. －10907　【解析】∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米记为＋100米，∴低于马里亚纳海沟所在海域的海平面10907米记为－10907米．
15. 30　【解析】∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，∴该六边形为正六边形，∴正六边形的内角为＝120°，∴∠ABC＋90°＝120°，∴∠ABC＝30°.
16.①④　【解析】如解图，∵反比例函数y＝的图象关于原点对称，∴OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD可以是平行四边形，∴①正确；∵AC与BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形，也不可能是正方形，∴②错误，④正确；设点A(1，k)，B(k，1)，∴C(－1，－k)，D(－k，－1)，∴AC2＝4k2＋4，BD2＝4k2＋4，∴AC＝BD，∴四边形ABCD可以是矩形，∴③错误．故正确的是①④.

第16题解图
17. 解：由①得2x＋x≤6.
3x≤6，
解得x≤2；
由②得3x＋1＞2x－2，
3x－2x＞－2－1，
解得x＞－3，
∴原不等式组的解集是－3＜x≤2.
18. 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD.
在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE＝∠DAF.
19. 解：原式＝(－)·
＝·
＝·
＝，
当x＝＋1时，
原式＝
＝
＝.
20. 解：(1)设这个月该公司销售甲特产x吨，则销售乙特产(100－x)吨，
依题意，得10x＋(100－x)＝235，
解得x＝15，则100－x＝85.
经检验x＝15符合题意．
答：这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
(2)设一个月销售甲特产m吨，则销售乙特产(100－m)吨，且0≤m≤20.
公司获得的总利润w＝(10.5－10)m＋(1.2－1)(100－m)
＝0.3m＋20.
∵0.3＞0，∴w随着m的增大而增大．
又∵0≤m≤20，
∴当m＝20时，公司获得的总利润最大，最大总利润为0.3×20＋20＝26(万元)．
答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为26万元．

21. (1)解：如解图，连接OB，

第21题解图
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝∠OBF＝90°.
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOD＝120°.
∵点E在上，
∴∠BED＝∠BOD＝60°；
(2)证明：如解图，连接OF，
由(1)得∠OBF＝90°，∠BOD＝120°.
∵OB＝3，BF＝3，
∴tan∠BOF＝＝，
∴∠BOF＝60°，
∴∠DOF＝60°.
在△BOF与△DOF中，

∴△BOF≌△DOF(SAS)，
∴∠ODF＝∠OBF＝90°.
∵OD为⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切．
【一题多解】如解图，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA＝90°.
∵sinA＝，
∴∠A＝30°.
∵⊙O的半径为3，
∴OB＝OD＝3，AO＝6，AB＝3，
∴AD＝9.
∵BF＝3，
∴AF＝6，
∴＝.
∵∠OAB＝∠FAD，
∴△AOB∽△AFD，
∴∠ADF＝∠ABO＝90°.
∵OD是⊙O的半径，
∴OF与⊙O相切．
22. 解：(1)依题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元的户数为1000×＝120；
(2)依题意，可估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值为×(1.5×6＋2.0×8＋2.2×10＋2.5×12＋3.0×9＋3.2×5)＝2.4(千元)；
(3)依题意，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
月份
1
2
3
4
5
6
人均月纯
收入(元)
500
300
150
200
300
450

月份
7
8
9
10
11
12
人均月纯
收入(元)
620
790
960
1130
1300
1470
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入为
500＋300＋150＋200＋300＋450＋620＋790＋960＋1130＋1300＋1470＝8170，
∵8170＞4000，
∴可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
23. (1)解：如解图①，四边形ABCD就是所求作的四边形；

图①

图②
第23题解图
(2)证明：如解图②，连接MP，NP，
∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝.
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴AB＝2AM，CD＝2CN，
∴＝.
又∵∠BAP＝∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM＝∠CPN.
∵点P在AC上，
∴∠APM＋∠CPM＝180°，
∴∠CPN＋∠CPM＝180°，
∴M、P、N三点在同一条直线上．
24. (1)解：∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE.
∴在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，
∴∠ADE＝∠B＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB＋∠ADE＝90°；

第24题解图①
(2)①解：DF＝PF.
由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB＋∠CDF＝∠ACE＋∠CAD，
即∠FDP＝∠FPD，
∴DF＝PF；
②证明：如解图①，过点P作PH∥ED交DF于点H，
∴∠HPF＝∠DEP，＝.
∵∠DPF＝∠ADE＋∠DEP＝45°＋∠DEP，
∠DPF＝∠ACE＋∠DAC＝45°＋∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC.
又∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF.
又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，
∴HF＝CF，∴DH＝PC.
又∵＝，∴＝.
【一题多解】如解图②，过点D作DQ⊥EC于点Q，
由(1)得∠ADB＝∠B＝∠EDA＝45°，
∵S△EDP＝ED·DP·sin∠EDP，
S△DCP＝DC·DP·sin∠PDC，
∴＝.
∵S△EDP＝EP·DQ，S△DCP＝CP·DQ，
∴＝，
∴＝.
∵∠DPF＝∠ADE＋∠DEP＝45°＋∠DEP，
∠DPF＝∠ACE＋∠DAC＝45°＋∠DAC，
∴∠DEP＝∠DAC.
∵∠CDF＝∠DAC，
∴∠CDF＝∠DEP.
∵∠DFC＝∠EFD，
∴△DCF∽△EDF，
∴＝.
∵DF＝PF，
∴＝，
∴＝，
即＝.

第24题解图②
25. (1)解：对于l1：y＝－2x＋10，
当x＝0时，y＝10，∴A(0，10)；
当y＝0时，－2x＋10＝0，解得x＝5，∴B(5，0)．
又∵BC＝4，∴C(9，0)或C(1，0)．
若抛物线过C(9，0)，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不符合题意，舍去，
若抛物线过C(1，0)，则当x>3时，必有y随x的增大而增大，符合题意，
故可设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋10，
依题意，二次函数的图象过B(5，0)，C(1，0)两点，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为y＝2x2－12x＋10；
(2)证明：当m＝－2时，直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)与直线l1：y＝－2x＋10不重合，
假设l1和l2不平行，则l1和l2必相交，设交点P(x0，y0)，
由，得－2x0＋10＝－2x0＋n.
解得n＝10，
已知n≠10，∴l1与l2不相交，
∴l2∥l1.
(3)解：如解图，∵直线l3：y＝－2x＋q过C(1，0)，
∴q＝2，
又∵直线l1：y＝－2x＋10，
∴l3∥l1，即CF∥AB，
∴∠FCE＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，
∴△FCE∽△ABE，
∴＝()2，
设BE＝t(0＜t＜4)，则CE＝4－t，
S△ABE＝BE·OA＝×t×10＝5t，
∴S△FCE＝()2×S△ABE
＝×5t
＝.
∴S△ABE＋S△FCE＝＋5t
＝10t＋－40
＝10(－)2＋40－40，
∴当t＝2时，△ABE和△CEF面积之和的最小值为40－40.

第25题解图