高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数优秀学案设计

课时4.3.1  对数的概念

01考点梳理

1．对数的定义

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以           的对数，记作x＝         ，其中a叫做对数的      ，N叫做      ．

2．常用对数与自然对数

通常我们将以     为底的对数叫做常用对数，记为    .在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为      .

3．指数与对数的互化

当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝        .

4．对数的性质

(1)loga1＝   ；(2)logaa＝   ；(3)               没有对数．

答案：a为底N  logaN  底数  真数  10  lgN  lnN  logaN  0  1  零和负数

02考点解读

题型一  对数的运算 

1．正数a，b满足1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b），则的值是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】依题意，设1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b）＝k，则a＝2k﹣1，b＝3k﹣2，a+b＝6k﹣3，

所以.

故选：A．

题型二  对数的运算性质的应用 

2．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则的最小值是______．

【答案】．

【解析】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，

可得x+3y＝1．

＝＝＝≥＝．

当且仅当x＝，x+3y＝1，即y＝＝，x＝＝时取等号．

的最小值是．

故答案为：．

题型三  运用换底公式化简计算 

3．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

故选：D

题型四  运用换底公式证明恒等式 

4．若实数、、满足，则下列式子正确的是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，

而，则，

所以，即 .

故选A.

题型五  指数式与对数式的互化 

5．已知，则、、的大小排序为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 为正实数，且，
可得： 即

因为函数 单调递增，∴.

故选A.

03题组训练

1．设，则的值等于（    ）

A．10 B．13 C．100 D．

【答案】B

【解析】由对数的性质，得，所以，

故选：B.

2．若，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】若，

则.

故选：D

3．若，则数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.

故选：A

4．计算___________.

【答案】0

【解析】由对数的基本性质、指对数的关系，知：.

故答案为：0.

5．已知，则________.

【答案】

【解析】因为，所以，

所以.

故答案为：.

6．指数式和对数式互相转化：

（1）____________．（2）____________．

（3）____________．（4）____________．

【答案】               

【解析】.

故答案为：，，，.

7．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________．

【答案】    1   

【解析】因为，所以，即，，

故．

故答案为：；1．

8．若成立，求x的取值范围．

【答案】

【解析】由已知得且，所以且

所以x的取值范围为