2023年高考数学真题模拟试题专项汇编：（14）坐标系与参数方程、不等式选讲（含答案）

（14）坐标系与参数方程、不等式选讲——2023年高考数学真题模拟试题专项汇编

1. 【2023年全国乙卷文科】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线(为参数，).

(1)写出的直角坐标方程；

(2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求m的取值范围.

2. 【2023年全国甲卷理科】[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知点，直线(t为参数)，为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且.

(1)求；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程.

3. 【2023年全国乙卷文科】[选修4-5：不等式选讲]

已知.

(1)求不等式的解集；

(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积.

4. 【2023年全国甲卷理科】[选修4-5：不等式选讲]

设，函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若曲线与x轴所围成的图形的面积为2，求a.

5. 【2023年四川绵阳模拟】在平面直角坐标中，曲线C的参数方程为(t为参数)

(1)写出曲线C的普通方程；

(2)若A、B是曲线上的两点且，求的最大值.

6. 【2023年四川绵阳模拟】已知定义在R上的函数的最大值为p.

(1)求p的值；

(2)设，求证：.

7. 【2023年广西省模拟】在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数，且)，曲线C与x轴交于A点，与y轴交于B.

（1）求|AB|

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以线段AB为直径的圆M的极坐标方程.

8. 【2023年广西省模拟】已知a，b均为正实数，且，证明:

(1)；

(2).

9. 【2023年甘肃省模拟】在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的极坐标方程为

（1）写出曲线的参数方程；

（2）设M是曲线上的动点，N是曲线上的动点，求的最大值.

10. 【2023年甘肃省模拟】已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）已知函数的最小值为m，且a，b，c都是正数，，证明：.

答案以及解析

1.答案：(1)(，)

(2)

解析：(1)，方程两边问时乘以，得，

将，代入，得，

又，所以的直角坐标方程为(，).

(2)由的参数方程可得的普通方程为(，).

数形结合可知，若直线与没有公共点，则或；

若直线与没有公共点，可先求相切时的临界情况，即，得，

所以当或时，直线与没有公共点.

综上，当或时，直线与和均没有公共点，

故m的取值范围为.

2.答案：(1)

(2)

解析：(1)记点A，B对应的参数分别为，.

令，得，

令，得，

则，

所以，由题可知，所以或.

因为直线l与x轴正半轴、y轴正半轴相交，所以.

(2)根据(1)得直线l的参数方程为(t为参数)，

转化为普通方程为，

因为，，

所以l的极坐标方程为.

3.答案：(1)

(2)8

解析：(1)，

当时，，得；

当时，，得；

当时，，得，与矛盾.

综上，不等式的解集为.

(2)如图所示，作出不等式组，即所确定的平面区域(图中阴影部分)，为，

其中，，，直线与y轴交于点，

所以.

4.答案：(1)

(2)

解析：解法一：(1)求不等式的解集，即求不等式的解集，整理得，

不等式两边同时平方，得，整理得

因式分解得，因为，所以可得，

故不等式的解集为.

(2)设曲线与x轴的两个交点的横坐标分别为，，.

令，得，即或，

得，，故曲线与x轴的两个交点之间的距离，

易得三角形不在x轴上的顶点的坐标为，

所以三角形的面积，

即，解得或(舍去)，

故.

解法二：(1)若，则，

即，解得，得；(注：)

若，则，

解得，得.

综上，不等式的解集为.

(2)，

作出的大致图象如图，曲线与x轴围成的图形即，

易得，，，

所以，的底边AB上的高为a，

所以，解得或(舍去)，

故.

5.答案：(1)

(2)2

解析：(1)由曲线C的参数方程为，消去t可得：

.

(2)因为的半径为1，且A、B是曲线C上的两点，

，

所以，

所以.

不妨设点A对应的参数为，，

则点B所对应的参数为，

所以

则，

即点.

所以

.

，

，

的最大值为，

即当，时，的最大值为2.

6.答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)，

当且仅当时等号成立.

，

即.

(2)依题意可知，则由柯西不等式得，

，

，

即，

当且仅当时，等号成立.

7.答案：（1）

（2）

解析：（1）令，则，解得或(舍)，则，即.令，则，解得或(舍)，则，即.

（2）由(1)可知，则以线段AB为直径的圆M的半径为，所以圆M的直角坐标方程为.由，可得，直线AB的极坐标方程为.

8.答案：（1）证明见解析

（2）证明见解析

解析：（1）由柯西不等式有

，

又，则，当且仅当时，取等号.

（2），

又，，

当且仅当，即时取等号，.

9.答案：（1）(为参数)（2）

解析：（1）由曲线的极坐标方程为，得，即，即，

所以由线的直角坐标方程为

由圆锥曲线参数方程定义，得

曲线的参数方程为(为参数).

（2）由曲线的参数方程为(为参数)，

得曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径.

由題意可得设，

易知的最大值为点N到圆心的距离的最大值再加上半径，

歫，

由二次函数性质可知，当时，，

所以的最大值为.

10.答案：（1）（2）证明见解析

解析：（1）当时，，解得；

当时，则有，解得

当时，，解得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）证明：由绝对值三角不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，故，

所以，

又因为a，b，c均为正数，

所以

当且仅当时，等号成立，故.