2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含解析)

这是一份2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　）

A．20m B．30m C．40m D．60m
4．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．BA＝BC B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD
6．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形BCED的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4
7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．书中有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”若设宽为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2+（x﹣6.8）2＝100 B．x（x+6.8）＝100
C．x2+（x+6.8）2＝100 D．x（x﹣6.8）2＝100
8．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则下列矩形是黄金矩形的是（　　）

A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
10．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
11．直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（　　）
A． B． C．1 D．2
12．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A． B． C． D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13．计算：＝　 　．
14．如图所示，网格中相似的两个三角形是 　 　．（填序号）
​

15．将一条长28cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，使这两个正方形的面积之和等于25cm2，则其中较大正方形的边长为 　 　cm．
16．教学楼前有一棵树，小明想利用树影测量树高．在阳光下他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高．他测得，落在地面上的影长是2.7m，落在墙壁上的影长是0.6m，则这棵树实际高度为 　 　m．
​

17．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝1，则图中与△OAB位似的三角形中，边OA对应边的长为 　 　．

18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：（1）；
（2）．
20．解下列方程：
（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝1时，求另一个根x2的值．
22．已知，如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，AE＝AB＝6，AD＝．
（1）求CE的长；
（2）若DF∥BC交AB于点F，求BF的长．

23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）点P是边BC上的动点（不包括端点），过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：OP＝EF．

24．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
25．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF．
求证：（1）AD＝DF；
（2）DF2＝BE•BF．
​



参考答案
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A、＝4，原计算错误，不符合题意；
B、＝＝2，原计算错误，不符合题意；
C、＝﹣2，原计算错误，不符合题意；
D、﹣＝﹣8，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简及立方根，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件设m＝2k，n＝3k，再代入求出答案即可．
解：设m＝2k，n＝3k，
则
＝
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．
3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（　　）

A．20m B．30m C．40m D．60m
【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴，
解得：AB＝40，
故选：C．
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
4．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．BA＝BC B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD D．AB∥CD
【分析】已知四边形的对角线互相垂直，可依据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定方法，来选择条件．
解：四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，
若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：
AC、BD互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）
故选：B．
【点评】此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．
6．如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与四边形BCED的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．3：4
【分析】由三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形面积之比等于相似比，求出两三角形面积之比，即可求出△ADE与四边形BCED的面积比．
解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∵S△ABC＝S四边形BCED+S△ADE，
∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
7．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．书中有一题“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”若设宽为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2+（x﹣6.8）2＝100 B．x（x+6.8）＝100
C．x2+（x+6.8）2＝100 D．x（x﹣6.8）2＝100
【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程．
解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据勾股定理列方程是解题关键．
8．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
9．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则下列矩形是黄金矩形的是（　　）

A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝，
∴FG＝，
∴CG＝﹣1
∴，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形
10．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
11．直角三角形两条直角边长分别为和，则该直角三角形斜边上的中线长为（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】先根据勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：∵两条直角边的长分别是为和，
∴斜边＝＝4，
∴斜边上的中线＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
12．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A． B． C． D．1
【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积＝AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，然后求出菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，即可求解．
解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠DAD′＝30°，
∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AD'M＝30°，
∴AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比＝＝，
故选：A．

【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'M＝AD'是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13．计算：＝　3　．
【分析】先分母有理化，然后根据二次根式的加减运算进行计算即可得到结果．
解：
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14．如图所示，网格中相似的两个三角形是 　①③　．（填序号）
​

【分析】先求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解．
解：图形①的三边为：2，，；
图形②的三边为：3，，；
图形③的三边为：2，2，2；
图形④的三边为：3，，，
∵，，
∴①与③相似，
故答案为：①③．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，求出所有三角形的边长是解题的关键．
15．将一条长28cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，使这两个正方形的面积之和等于25cm2，则其中较大正方形的边长为 　4　cm．
【分析】设其中较大正方形的边长为xcm，则较小正方形的边长为（7﹣x）cm，根据两个正方形的面积之和等于25cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设其中较大正方形的边长为xcm，则较小正方形的边长为＝（7﹣x）cm，
根据题意得：x2+（7﹣x）2＝25，
整理得：x2﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
当x＝3时，7﹣x＝7﹣3＝4＞3，不符合题意，舍去；
当x＝4时，7﹣x＝7﹣4＝3＜4，符合题意，
∴其中较大正方形的边长为4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．教学楼前有一棵树，小明想利用树影测量树高．在阳光下他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高．他测得，落在地面上的影长是2.7m，落在墙壁上的影长是0.6m，则这棵树实际高度为 　3.6　m．
​

【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度．
解：∵同一时刻物高与影长成比例，
∴＝，
即：＝，
解得落在地上的影长对应的树的高度＝3m，
∴树的高度为：3+0.6＝3.6m，
故答案为：3.6．

【点评】本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质求解，明确把影长分为两部分计算，然后再求和就是树的高度是解题的关键．
17．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝1，则图中与△OAB位似的三角形中，边OA对应边的长为 　　．

【分析】先根据余弦的定义求出OG的长，再根据位似图形的概念解答．
解：在Rt△AOB中，OA＝1，∠AOB＝30°，
则OB＝＝＝，
同理可得：OC＝（）2，
…
OG＝（）6＝，
∵△OAB与△GOH位似，OG与OA是对应边，
∴边OA对应边的长为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是位似变换、解直角三角形，根据余弦的定义求出OG的长是解题的关键．
18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 　6　．

【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可．
解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴△BFE的周长＝5+1＝6，
故答案为：6．

【点评】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质和平方差公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
解：（1）
＝3﹣4+4+2+2
＝7；
（2）
＝3﹣﹣（5﹣1）
＝3﹣﹣4
＝﹣1﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20．解下列方程：
（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法求解即可；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：（1）4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0，
4（x+2）2＝9（x﹣3）2，
则2（x+2）＝3（x﹣3）或2（x+2）＝﹣3（x﹣3），
解得x1＝13，x2＝1；

（2）x2﹣4x﹣8＝0，
∴x2﹣4x＝8，
∴x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝1时，求另一个根x2的值．
【分析】（1）根据题意可得根的判别式Δ＞0，再代入可得9﹣4m＞0，再解即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣，再代入可得答案．
解：（1）由题意得：Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＞0，
解得：m＜；

（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，
∴x2＝2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
22．已知，如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，AE＝AB＝6，AD＝．
（1）求CE的长；
（2）若DF∥BC交AB于点F，求BF的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ABE＝∠AEB，再根据三角形外角定理及角平分线的定义可得出∠C＝∠ABD，据此可判定△ABD和△ACB相似，然后根据相似三角形的对应边成比例可求出AC＝8，进而可求得CE的长；
（2）根据DF∥BC可得△ADF和△ACB相似，然后根据相似三角形的对应边成比例可求出AF，进而可求得BF的长．
解：（1）∵AE＝AB＝6，AD＝9/2，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠C+∠CBE＝∠DBE+∠ABD，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝∠DBE，
∴∠C＝∠ABD，
在△ABD和△ACB中，
∠C＝∠ABD，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AC＝AD：AB，
即：，
∴AC＝8，
∴CE＝AC﹣AE＝2，
（2）∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ACB，
∴AF：AB＝AD：AC，
即：，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例，在利用相似三角形对应边成比例时，一定要找准对应边．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）点P是边BC上的动点（不包括端点），过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：OP＝EF．

【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证∠DCA＝∠DAC，则CD＝AD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD则∠BOC＝90°，再由PE⊥AC，PF⊥BD，得∠PEO＝∠PFO＝90°，然后证四边形OFPE是矩形，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，AB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD．
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∴OP＝EF．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售利润＝一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润＝售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数＝5000元，即可列方程求解．
解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；

（2）假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
25．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF．
求证：（1）AD＝DF；
（2）DF2＝BE•BF．
​

【分析】（1）过点D作DG∥BE交AB于点G，交AC于点H，证明四边形BEDG为平行四边形，得出DE＝BG，根据点E为CD的中点，得出DE＝CD，根据DG∥BE，得出＝＝1，得出点H为AF的中点，求出∠DHF＝∠AFB＝90°，证明DH垂直平分AF，得出AD＝DF；
（2）证明△BCF∽△BEC，得出＝，求出BC2＝BE•BF，即可得出DF2＝BE•BF．
【解答】证明：（1）过点D作DG∥BE交AB于点G，交AC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE＝BG，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CD，
∴BG＝AG＝AB，
∵DG∥BE，
∴＝＝1，
∴点H为AF的中点，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵DG∥BE，
∴∠DHF＝∠AFB＝90°，
∴DH垂直平分AF，
∴AD＝DF．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠BCE＝90°，
∵AD＝DF，
∴DF＝BC，
∵BE⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝∠BCE，
∵∠CBF＝∠CBE，
∴△BCF∽△BEC，
∴＝，
∴BC2＝BE•BF，
∴DF2＝BE•BF．

【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定，得出△BCF∽△BEC．