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2023年湖南省怀化市中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年湖南省怀化市中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省怀化市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的倒数是( )
A. 2023 B. −12023 C. −2023 D. 12023
2. 2022年怀化市全力加快陆港建设，架起了对接东盟的开放桥梁，设施功能不断善，全年完成投资98亿元，其中数据98亿元用科学记数法表示是( )
A. 98×108 B. 9.8×108 C. 0.98×1010 D. 9.8×109
3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 绿色饮品 B. 绿色食品
C. 有机食品 D. 速冻食品
4. 下列运算正确的是( )
A. 3x+3y=6xy B. 2a2÷a=2a
C. (a+b)2=a2+b2 D. (−3pq)2=−6p2q2
5. 下列立体图形中，三视图都一样的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，直线a//b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
7. 要了解怀化市九年级学生的视力状况，从中随机抽查了500名学生的视力状况，下列说法不正确的是( )
A. 本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生
B. 本次调查是抽样调查
C. 本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况
D. 本次抽查的样本容量是500
8. 如图，△OBA是由△ODC绕点O旋转得到的图象，则其旋转的方向和旋转的角度可能是( )
A. 顺时针旋转90°
B. 逆时针旋转90°
C. 逆时针旋转60°
D. 逆时针旋转30°
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，已知反比例函数y=2x与一次函数y=−x+3的图象交于A、B两点，P为y轴上一动点，连接PA、PB，当PA+PB取得最小值时，△ABP的面积为( )
A. 1 B. 32 C. 43 D. 23
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：x2−xy=______．
12. 一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是______ ．
13. 函数y=2 x−4x−5中，自变量x的取值范围是______ ．
14. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC.若AD=2，AB=3，DE=4，则BC的长为______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______．
16. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：| 3−2|+3tan30°−(12)−2−20230．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x= 2−1．
19. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF是正方形．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)已知▱ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长．
20. (本小题10.0分)
某学校为了绿化校园环境，计划分两次购进樟树和桂花树两种树苗，第一次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元；第二次购进樟树苗24棵，桂花树苗8棵，共花费2800元.(两次购进的两种树苗各自的单价均不变)
(1)两种树苗的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购进两种树苗共40棵，但总费用不超过3800元，且购买樟树苗的数量不超过桂花树苗数量的3倍，问：共有哪几种购买方案？至少要用多少钱？
21. (本小题12.0分)
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程(要求必须选修一门且只能选修一门)？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
22. (本小题12.0分)
使方程(组)与不等式(组)同时成立的末知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”．
例：已知方程2x−3=1与不等式x+3>0，当x=2时，2x−3=2×2−3=1，x+3=2+3=5>0同时成立，则称“x=2是方程2x−3=1与不等式x+3>0的“理想解”．
(1)已知①x−12>32，②2(x+3)<4，③x−12<3，试判断方程2x+3=1的解是否是它们中某个不等式的“理想解”，写出过程；
(2)若x=x0y=y0是方程x−2y=4与不等式x>3y<1的“理想解”，求x0+2y0的取值范围．
23. (本小题12.0分)
已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)连接BE，求证：BE2=EH⋅EA；
(3)若⊙O的半径为10，sinA=35，求BH的长．
24. (本小题14.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x−2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点F是抛物线上的动点，当∠OEF=∠BAE时，求点F的横坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
(4)抛物线上(AB下方)是否存在点M，使得∠ABM=∠ABO？若存在，求出点M到y轴的距离，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2023×(−12023)=1，
∴−2023的倒数是−12023，
故选：B．
运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】D
【解析】解：98亿=9800000000=9.8×109．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了整式的运算、完全平方公式和解题的关键是掌握整式的运算法则、完全平方公式．
分别根据整式的运算以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】
解：A.3x和3y不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2a2÷a=2a，故本选项符合题意；
C.(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D.(−3pq)2=9p2q2，故本选项符合题意．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；
C、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
D、三棱柱的主视图和俯视图是矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．
【解答】
解：∵直线a//b，
∴∠1=∠CBA，
∵∠1=40°，
∴∠CBA=40°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠CBA=90°，
∴∠2=50°，
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：A.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况，原说法错误，故本选项符合题意；
B.本次调查是抽样调查，说法正确，故本选项不符合题意；
C.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况，说法正确，故本选项不符合题意；
D.本次抽查的样本容量是500，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
8.【答案】B
【解析】解：如上图，△OBA是由△ODC绕点O旋转得到的图象，则其旋转的方向和旋转的角度可能是逆时针旋转90°，
故选：B．
根据旋转的性质，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵P到边AC、AB的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上．
故选：C．
P到边AC、AB的距离相等，可知点P在∠A的平分线上，由此判断即可．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：联立函数解析式得：y=2xy=−x+3，
解得x=2y=1，或x=1y=2，
∴根据图示位置，A(1,2)，B(2,1)，
找到点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，此时点P就是满足PA+PB取得最小值的位置．
∵点A(1,2)，
∴C(−1,2)，B(2,1)，设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵−k+b=2①2k+b=1②，
②−①得3k=−1，
∴k=−13，将k=−13代入①得：13+b=2，
∴b=53，
∴k=−13b=53
∴直线BC的解析式为：y=−13x+53，
令x=0，y=53
∴P(0,53).
根据解出条件可知：AC=2，
∴S△PAB=S△ABC−S△APC，
∴S△PAB=12×AC×(yA−yB)−12×AC×(yA−yP)
=12×2×(2−1)−12×2×(2−53)
=23．
故选：D．
联立两个函数解析式，求出A、B两点坐标，利用轴对称求出PA+PB取得最小值时点P的坐标，铅锤法求出面积即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，线段和最小值通常作轴对称，利用两点之间线段最短来突破最值问题．
11.【答案】x(x−y)
【解析】解：x2−xy=x(x−y)，
故答案是：x(x−y)．
根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
此题考查的是对公因式的提取．通过观察可以得出公因式，然后就可以解题．观察法是解此类题目常见的办法．
12.【答案】3
【解析】解：根据题意，1，2，5，3，a的平均数是3，
1+2+5+3+a5=3，
解得，a=4，
将这组数据从小到大排列为1，2，3，3，5，
最中间的数是3，则这组数据的中位数是3．
故答案为：3．
根据中位数的定义求解即可．
本题考查了中位数，掌握中位数的概念是关键．
13.【答案】x≥4且x≠5
【解析】解：由题意得，x−4≥0且x−5≠0，
解得x≥4且x≠5．
故答案为：x≥4且x≠5．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】6
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD，即BC4=32，
∴BC=6．
故答案为：6．
由DE//BC可得出∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，根据相似三角形的判定定理可得出△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质可得出BCDE=ABAD，代入AD=2，AB=3，DE=4即可求出BC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
15.【答案】34
【解析】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．
∴∠A=∠BCD．
∴tan∠BCD=tan∠A=BCAC=68=34．
故答案为34．
先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
16.【答案】2 5
【解析】解：∵p=5，c=4，p=a+b+c2．
∴a+b=2p−c=6．
∴S= 5(5−a)(5−b)(5−4)= 5⋅ ab−5．
由a+b=6，得b=6−a，代入上式，得：S= 5⋅ a(6−a)−5= 5⋅ −a2+6a−5．
设y=−a2+6a−5，当y=−a2+6a−5取得最大值时，S也取得最大值．
∵y=−a2+6a−5=−(a−3)2+4．
∴当a=3时，y取得最大值4．
∴S的最大值为 5× 4=2 5．
故答案为：2 5．
由已知可得a+b=6，S= 5(5−a)(5−b)= 5⋅ ab−5，把b=6−a代入S的表达式中得：S= 5⋅ −a2+6a−5，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
17.【答案】解：| 3−2|+3tan30°−(12)−2−20230
=2− 3+3× 33−4−1
=2− 3+ 3−4−1
=−3．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：原式=(xx−1−x−1x−1)÷(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1×x−1x+1
=1x+1，
当x= 2−1时，原式=1 2−1+1= 22．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，DC=AB，
∵四边形BEDF是正方形，
∴DF=BE，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠A=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)解：∵▱ABCD的面积为20，AB=5，DE⊥AB，
∴DE=20AB=205=4，AB=DC=5，
∵四边形BEDF是正方形，
∴DF=DE=4，
∴CF=DC−DF=5−4=1，
即CF的长是1．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和正方形的性质，可以得到AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，然后根据SAS，即可证明结论成立；
(2)根据平行四边形的面积=底×高，可以计算出DE的长，再根据正方形的性质和平行四边形的性质，即可得到CF的长．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)设樟树苗的单价是x元，桂花树苗的单价是y元，
根据题意得：20x+10y=300024x+8y=2800，
解得：x=50y=200．
答：樟树苗的单价是50元，桂花树苗的单价是200元；
(2)设购买m棵樟树苗，则购买(40−m)棵桂花树苗，
根据题意得：50m+200(40−m)≤3800m≤3(40−m)，
解得：28≤m≤30，
又∵m为正整数，
∴m可以为28，29，30，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买28棵樟树苗，12棵桂花树苗，所需费用为50×28+200×12=3800(元)；
方案2：购买29棵樟树苗，11棵桂花树苗，所需费用为50×29+200×11=3650(元)；
方案3：购买30棵樟树苗，10棵桂花树苗，所需费用为50×30+200×10=3500(元)．
∵3800>36500>3500，
∴至少要用3500元．
【解析】(1)设樟树苗的单价是x元，桂花树苗的单价是y元，根据“第一次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元；第二次购进樟树苗24棵，桂花树苗8棵，共花费2800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m棵樟树苗，则购买(40−m)棵桂花树苗，根据“总费用不超过3800元，且购买樟树苗的数量不超过桂花树苗数量的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】(1)120；99；
(2)条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360∘=18(名)，
则选修“园艺”的学生人数为：120−30−33−18−15=24(名)，
补全条形统计图如下：
(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
【解析】解：(1)参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%=120(名)，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×33120=99°，
故答案为：120，99；
(2)条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360∘=18(名)，
则选修“园艺”的学生人数为：120−30−33−18−15=24(名)，
补全条形统计图如下：
(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
(1)由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
(2)求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)解方程2x+3=1得，x=−1，
当x=−1时，x−12=−1−12=−32<32，
则方程2x+3=1的解不是不等式x−12>32的理想解；
当x=−1时，2(x+3)=2(−1+3)=4，
∴2x+3=1的解不是不等式2(x+3)<4的理想解；
x−12=−1−12=−1<3，
∴2x+3=1的解是不等式x−12<3的理想解；
(2)由方程x−2y=4得x0=2y0+4，代入不等式组x>3y<1得
2y0+4>3y0<1
解得−12
∴2
(2)由方程x−2y=4得x0=2y0+4，代入不等式解得−12
23.【答案】(1)证明：如图1中，
∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AC，如图2所示：
∵OF⊥BC，
∴BE=CE，BE=CE，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴CEEH=EACE，
∴CE2=EH⋅EA，
∴BE2=EH⋅EA；
(3)解：连接BE，如图3所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为10，sin∠BAE=35，
∴AB=20，BE=AB⋅sin∠BAE=20×35=12，
∴EA= AB2−BE2=16，
∵BE=CE，
∴BE=CE=12，
∵CE2=EH⋅EA，
∴EH=9，
∴在Rt△BEH中，BH= BE2+EH2= 122+92=15．
【解析】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
(1)如图1中，欲证明BD是切线，只要证明AB⊥BD即可；
(2)连接AC，如图2所示，欲证明CE2=EH⋅EA，只要证明△CEH∽△AEC即可；
(3)连接BE，如图3所示，由CE2=EH⋅EA，可得EH=9，在Rt△BEH中，根据BH= BE2+EH2，计算即可．
24.【答案】解：(1)令x=0，得y=12x−2=−2，则B(0,−2)，
令y=0，得0=12x−2，解得x=4，则A(4,0)，
把A(4,0)，B(0,−2)代入y=x2+bx+c(a≠0)中，得：16+4b+c=0c=−2，
解得：b=−72c=2，
∴抛物线的解析式为：y=x2−72x−2①；
(2)当点F在x轴的下方时，如图1，
∵∠OEF=∠BAE，则直线EF//AB，
故设直线EF的表达式为：y=12(x−xE)=12(x−2)=12x−1②，
联立①②得：x2−72x−2=12x−1，
解得：x=2− 5(不合题意的值已舍去)，
即点F的坐标为：(2− 5,− 52)；
当点F(F′)在x轴上方时，
同理可得，直线EF′的表达式为：y=−12x+1③，
联立①②得：x2−72x−2=−12x+1，
解得：x=3− 212(不合题意的值已舍去)，
即点F的坐标为：(3− 212, 21+12)，
综上，点F的坐标为：(2− 5,− 52)或(3− 212, 21+12)；
(3)存在，理由：
如图2，∵△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，即∠PAB=90°，
由直线AB的表达式知，tan∠OAB=12，则tan∠PAO=2，
则直线PA的表达式为：y=−2(x−xA)=−2(x−4)=−2x+8④，
联立①④得：x2−72x−2=−2x+8，
解得：x=4(舍去)或−52，
即点P的坐标为：(−52,13)；
(4)存在，理由：
如图3，过点O作OT⊥AB交OM于点T，过点T作NT⊥y轴于点N，AB交OT于点H，
∵∠OAH+∠AOH=90°，∠AOH+∠BOH=90°，
∴∠OAH=∠BOH=α，
由直线AB的表达式知，tanα=12，则sinα=1 5，cosα=1 5，
∵∠ABM=∠ABO，OT⊥AB，
则BH是OT的中垂线，则OT=2OH，
则OT=2OH=2⋅AOsinα=2×4×1 5=8 5，
则ON=OTcosα=8 5×2 5=165，同理可得，NT=85，
则点T(85,−165)，
由点B、T的坐标得，直线BT的表达式为：y=−34x−2⑤，
联立①⑤得：x2−72x−2=−34x−2，
解得：x=114，即点M的横坐标为114，
故点M到y轴的距离为114．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)当点F在x轴的下方时，由∠OEF=∠BAE，则直线EF//AB，得到直线EF的表达式，进而求解；当点F(F′)在x轴上方时，同理可解；
(3)△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，即∠PAB=90°，由直线AB的表达式知，tan∠OAB=12，则tan∠PAO=2，得到直线PA的表达式，进而求解；
(4)证明BH是OT的中垂线，则OT=2OH，求出点T(85,−165)，进而求解．
此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了解直角三角形，直角三角形的性质等，分类求解是解决问题．
2023年湖南省怀化市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的倒数是( )
A. 2023 B. −12023 C. −2023 D. 12023
2. 2022年怀化市全力加快陆港建设，架起了对接东盟的开放桥梁，设施功能不断善，全年完成投资98亿元，其中数据98亿元用科学记数法表示是( )
A. 98×108 B. 9.8×108 C. 0.98×1010 D. 9.8×109
3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 绿色饮品 B. 绿色食品
C. 有机食品 D. 速冻食品
4. 下列运算正确的是( )
A. 3x+3y=6xy B. 2a2÷a=2a
C. (a+b)2=a2+b2 D. (−3pq)2=−6p2q2
5. 下列立体图形中，三视图都一样的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，直线a//b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
7. 要了解怀化市九年级学生的视力状况，从中随机抽查了500名学生的视力状况，下列说法不正确的是( )
A. 本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生
B. 本次调查是抽样调查
C. 本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况
D. 本次抽查的样本容量是500
8. 如图，△OBA是由△ODC绕点O旋转得到的图象，则其旋转的方向和旋转的角度可能是( )
A. 顺时针旋转90°
B. 逆时针旋转90°
C. 逆时针旋转60°
D. 逆时针旋转30°
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，已知反比例函数y=2x与一次函数y=−x+3的图象交于A、B两点，P为y轴上一动点，连接PA、PB，当PA+PB取得最小值时，△ABP的面积为( )
A. 1 B. 32 C. 43 D. 23
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：x2−xy=______．
12. 一组数据1，2，5，3，a的平均数是3，则中位数是______ ．
13. 函数y=2 x−4x−5中，自变量x的取值范围是______ ．
14. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC.若AD=2，AB=3，DE=4，则BC的长为______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______．
16. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S= p(p−a)(p−b)(p−c).这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.若p=5，c=4，则此三角形面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：| 3−2|+3tan30°−(12)−2−20230．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x= 2−1．
19. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF是正方形．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)已知▱ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长．
20. (本小题10.0分)
某学校为了绿化校园环境，计划分两次购进樟树和桂花树两种树苗，第一次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元；第二次购进樟树苗24棵，桂花树苗8棵，共花费2800元.(两次购进的两种树苗各自的单价均不变)
(1)两种树苗的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购进两种树苗共40棵，但总费用不超过3800元，且购买樟树苗的数量不超过桂花树苗数量的3倍，问：共有哪几种购买方案？至少要用多少钱？
21. (本小题12.0分)
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程(要求必须选修一门且只能选修一门)？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
22. (本小题12.0分)
使方程(组)与不等式(组)同时成立的末知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“理想解”．
例：已知方程2x−3=1与不等式x+3>0，当x=2时，2x−3=2×2−3=1，x+3=2+3=5>0同时成立，则称“x=2是方程2x−3=1与不等式x+3>0的“理想解”．
(1)已知①x−12>32，②2(x+3)<4，③x−12<3，试判断方程2x+3=1的解是否是它们中某个不等式的“理想解”，写出过程；
(2)若x=x0y=y0是方程x−2y=4与不等式x>3y<1的“理想解”，求x0+2y0的取值范围．
23. (本小题12.0分)
已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)连接BE，求证：BE2=EH⋅EA；
(3)若⊙O的半径为10，sinA=35，求BH的长．
24. (本小题14.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x−2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点F是抛物线上的动点，当∠OEF=∠BAE时，求点F的横坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
(4)抛物线上(AB下方)是否存在点M，使得∠ABM=∠ABO？若存在，求出点M到y轴的距离，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵−2023×(−12023)=1，
∴−2023的倒数是−12023，
故选：B．
运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2.【答案】D
【解析】解：98亿=9800000000=9.8×109．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了整式的运算、完全平方公式和解题的关键是掌握整式的运算法则、完全平方公式．
分别根据整式的运算以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】
解：A.3x和3y不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2a2÷a=2a，故本选项符合题意；
C.(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D.(−3pq)2=9p2q2，故本选项符合题意．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；
C、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
D、三棱柱的主视图和俯视图是矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．
【解答】
解：∵直线a//b，
∴∠1=∠CBA，
∵∠1=40°，
∴∠CBA=40°，
∵AC⊥AB，
∴∠2+∠CBA=90°，
∴∠2=50°，
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：A.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况，原说法错误，故本选项符合题意；
B.本次调查是抽样调查，说法正确，故本选项不符合题意；
C.本次调查的样本是被抽查的500名九年级学生的视力状况，说法正确，故本选项不符合题意；
D.本次抽查的样本容量是500，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
8.【答案】B
【解析】解：如上图，△OBA是由△ODC绕点O旋转得到的图象，则其旋转的方向和旋转的角度可能是逆时针旋转90°，
故选：B．
根据旋转的性质，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵P到边AC、AB的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上．
故选：C．
P到边AC、AB的距离相等，可知点P在∠A的平分线上，由此判断即可．
本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：联立函数解析式得：y=2xy=−x+3，
解得x=2y=1，或x=1y=2，
∴根据图示位置，A(1,2)，B(2,1)，
找到点A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于点P，此时点P就是满足PA+PB取得最小值的位置．
∵点A(1,2)，
∴C(−1,2)，B(2,1)，设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵−k+b=2①2k+b=1②，
②−①得3k=−1，
∴k=−13，将k=−13代入①得：13+b=2，
∴b=53，
∴k=−13b=53
∴直线BC的解析式为：y=−13x+53，
令x=0，y=53
∴P(0,53).
根据解出条件可知：AC=2，
∴S△PAB=S△ABC−S△APC，
∴S△PAB=12×AC×(yA−yB)−12×AC×(yA−yP)
=12×2×(2−1)−12×2×(2−53)
=23．
故选：D．
联立两个函数解析式，求出A、B两点坐标，利用轴对称求出PA+PB取得最小值时点P的坐标，铅锤法求出面积即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，线段和最小值通常作轴对称，利用两点之间线段最短来突破最值问题．
11.【答案】x(x−y)
【解析】解：x2−xy=x(x−y)，
故答案是：x(x−y)．
根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案．
此题考查的是对公因式的提取．通过观察可以得出公因式，然后就可以解题．观察法是解此类题目常见的办法．
12.【答案】3
【解析】解：根据题意，1，2，5，3，a的平均数是3，
1+2+5+3+a5=3，
解得，a=4，
将这组数据从小到大排列为1，2，3，3，5，
最中间的数是3，则这组数据的中位数是3．
故答案为：3．
根据中位数的定义求解即可．
本题考查了中位数，掌握中位数的概念是关键．
13.【答案】x≥4且x≠5
【解析】解：由题意得，x−4≥0且x−5≠0，
解得x≥4且x≠5．
故答案为：x≥4且x≠5．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14.【答案】6
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD，即BC4=32，
∴BC=6．
故答案为：6．
由DE//BC可得出∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，根据相似三角形的判定定理可得出△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质可得出BCDE=ABAD，代入AD=2，AB=3，DE=4即可求出BC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
15.【答案】34
【解析】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．
∴∠A=∠BCD．
∴tan∠BCD=tan∠A=BCAC=68=34．
故答案为34．
先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
16.【答案】2 5
【解析】解：∵p=5，c=4，p=a+b+c2．
∴a+b=2p−c=6．
∴S= 5(5−a)(5−b)(5−4)= 5⋅ ab−5．
由a+b=6，得b=6−a，代入上式，得：S= 5⋅ a(6−a)−5= 5⋅ −a2+6a−5．
设y=−a2+6a−5，当y=−a2+6a−5取得最大值时，S也取得最大值．
∵y=−a2+6a−5=−(a−3)2+4．
∴当a=3时，y取得最大值4．
∴S的最大值为 5× 4=2 5．
故答案为：2 5．
由已知可得a+b=6，S= 5(5−a)(5−b)= 5⋅ ab−5，把b=6−a代入S的表达式中得：S= 5⋅ −a2+6a−5，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
17.【答案】解：| 3−2|+3tan30°−(12)−2−20230
=2− 3+3× 33−4−1
=2− 3+ 3−4−1
=−3．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：原式=(xx−1−x−1x−1)÷(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1×x−1x+1
=1x+1，
当x= 2−1时，原式=1 2−1+1= 22．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，DC=AB，
∵四边形BEDF是正方形，
∴DF=BE，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠A=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)解：∵▱ABCD的面积为20，AB=5，DE⊥AB，
∴DE=20AB=205=4，AB=DC=5，
∵四边形BEDF是正方形，
∴DF=DE=4，
∴CF=DC−DF=5−4=1，
即CF的长是1．
【解析】(1)根据平行四边形的性质和正方形的性质，可以得到AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，然后根据SAS，即可证明结论成立；
(2)根据平行四边形的面积=底×高，可以计算出DE的长，再根据正方形的性质和平行四边形的性质，即可得到CF的长．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)设樟树苗的单价是x元，桂花树苗的单价是y元，
根据题意得：20x+10y=300024x+8y=2800，
解得：x=50y=200．
答：樟树苗的单价是50元，桂花树苗的单价是200元；
(2)设购买m棵樟树苗，则购买(40−m)棵桂花树苗，
根据题意得：50m+200(40−m)≤3800m≤3(40−m)，
解得：28≤m≤30，
又∵m为正整数，
∴m可以为28，29，30，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买28棵樟树苗，12棵桂花树苗，所需费用为50×28+200×12=3800(元)；
方案2：购买29棵樟树苗，11棵桂花树苗，所需费用为50×29+200×11=3650(元)；
方案3：购买30棵樟树苗，10棵桂花树苗，所需费用为50×30+200×10=3500(元)．
∵3800>36500>3500，
∴至少要用3500元．
【解析】(1)设樟树苗的单价是x元，桂花树苗的单价是y元，根据“第一次购进樟树苗20棵，桂花树苗10棵，共花费3000元；第二次购进樟树苗24棵，桂花树苗8棵，共花费2800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m棵樟树苗，则购买(40−m)棵桂花树苗，根据“总费用不超过3800元，且购买樟树苗的数量不超过桂花树苗数量的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】(1)120；99；
(2)条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360∘=18(名)，
则选修“园艺”的学生人数为：120−30−33−18−15=24(名)，
补全条形统计图如下：
(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
【解析】解：(1)参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%=120(名)，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×33120=99°，
故答案为：120，99；
(2)条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360∘=18(名)，
则选修“园艺”的学生人数为：120−30−33−18−15=24(名)，
补全条形统计图如下：
(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
(1)由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
(2)求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)解方程2x+3=1得，x=−1，
当x=−1时，x−12=−1−12=−32<32，
则方程2x+3=1的解不是不等式x−12>32的理想解；
当x=−1时，2(x+3)=2(−1+3)=4，
∴2x+3=1的解不是不等式2(x+3)<4的理想解；
x−12=−1−12=−1<3，
∴2x+3=1的解是不等式x−12<3的理想解；
(2)由方程x−2y=4得x0=2y0+4，代入不等式组x>3y<1得
2y0+4>3y0<1
解得−12
∴2
(2)由方程x−2y=4得x0=2y0+4，代入不等式解得−12
23.【答案】(1)证明：如图1中，
∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AC，如图2所示：
∵OF⊥BC，
∴BE=CE，BE=CE，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴CEEH=EACE，
∴CE2=EH⋅EA，
∴BE2=EH⋅EA；
(3)解：连接BE，如图3所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为10，sin∠BAE=35，
∴AB=20，BE=AB⋅sin∠BAE=20×35=12，
∴EA= AB2−BE2=16，
∵BE=CE，
∴BE=CE=12，
∵CE2=EH⋅EA，
∴EH=9，
∴在Rt△BEH中，BH= BE2+EH2= 122+92=15．
【解析】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
(1)如图1中，欲证明BD是切线，只要证明AB⊥BD即可；
(2)连接AC，如图2所示，欲证明CE2=EH⋅EA，只要证明△CEH∽△AEC即可；
(3)连接BE，如图3所示，由CE2=EH⋅EA，可得EH=9，在Rt△BEH中，根据BH= BE2+EH2，计算即可．
24.【答案】解：(1)令x=0，得y=12x−2=−2，则B(0,−2)，
令y=0，得0=12x−2，解得x=4，则A(4,0)，
把A(4,0)，B(0,−2)代入y=x2+bx+c(a≠0)中，得：16+4b+c=0c=−2，
解得：b=−72c=2，
∴抛物线的解析式为：y=x2−72x−2①；
(2)当点F在x轴的下方时，如图1，
∵∠OEF=∠BAE，则直线EF//AB，
故设直线EF的表达式为：y=12(x−xE)=12(x−2)=12x−1②，
联立①②得：x2−72x−2=12x−1，
解得：x=2− 5(不合题意的值已舍去)，
即点F的坐标为：(2− 5,− 52)；
当点F(F′)在x轴上方时，
同理可得，直线EF′的表达式为：y=−12x+1③，
联立①②得：x2−72x−2=−12x+1，
解得：x=3− 212(不合题意的值已舍去)，
即点F的坐标为：(3− 212, 21+12)，
综上，点F的坐标为：(2− 5,− 52)或(3− 212, 21+12)；
(3)存在，理由：
如图2，∵△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，即∠PAB=90°，
由直线AB的表达式知，tan∠OAB=12，则tan∠PAO=2，
则直线PA的表达式为：y=−2(x−xA)=−2(x−4)=−2x+8④，
联立①④得：x2−72x−2=−2x+8，
解得：x=4(舍去)或−52，
即点P的坐标为：(−52,13)；
(4)存在，理由：
如图3，过点O作OT⊥AB交OM于点T，过点T作NT⊥y轴于点N，AB交OT于点H，
∵∠OAH+∠AOH=90°，∠AOH+∠BOH=90°，
∴∠OAH=∠BOH=α，
由直线AB的表达式知，tanα=12，则sinα=1 5，cosα=1 5，
∵∠ABM=∠ABO，OT⊥AB，
则BH是OT的中垂线，则OT=2OH，
则OT=2OH=2⋅AOsinα=2×4×1 5=8 5，
则ON=OTcosα=8 5×2 5=165，同理可得，NT=85，
则点T(85,−165)，
由点B、T的坐标得，直线BT的表达式为：y=−34x−2⑤，
联立①⑤得：x2−72x−2=−34x−2，
解得：x=114，即点M的横坐标为114，
故点M到y轴的距离为114．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)当点F在x轴的下方时，由∠OEF=∠BAE，则直线EF//AB，得到直线EF的表达式，进而求解；当点F(F′)在x轴上方时，同理可解；
(3)△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，即∠PAB=90°，由直线AB的表达式知，tan∠OAB=12，则tan∠PAO=2，得到直线PA的表达式，进而求解；
(4)证明BH是OT的中垂线，则OT=2OH，求出点T(85,−165)，进而求解．
此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了解直角三角形，直角三角形的性质等，分类求解是解决问题．
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