高考数学二轮导数专题复习——第二十六节 指对共生式技巧之切线放缩-原卷版

第二十六节  指对共生式技巧之切线放缩

知识与方法

当要证明的不等式中既含有，又含有时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧.这一小节先给大家介绍切线放缩的技巧，常用的切线放缩有：

（1）；（2）；（3）；（4）.

在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将或放缩掉，再来证明不等式，这是指对共生式一种可以考虑的方向.

注意：解题中若要用不等式、、等进行放缩，需要先给出证明.由于本节会反复用到这些不等式，为了避免繁琐的重复论证，本节所给的答案中，以上不等式直接用易证代替.

典型例题

【例l】证明：.

变式  对任意的，证明：.

【例2】已知函数.

（1）若在上单调递减，求实数a取值范围；

（2）若，求的最大值.

强化训练

1.函数的最大值为_______.

2.函数的最大值为_______.

3.函数的最小值为_______.

4.证明：.

5.不等式对任意的恒成立，则实数a取值范围为（    ）.

A. B. C. D.

6.已知函数f，其中e为自然对数的底数，.

（1）若函数在上是增函数，求a的取值范围；

（2）若，求证：.

7.已知函数，其中

（1）若，求a的取值集合；

（2）证明：.

8.（2013·新课标II卷）已知函数

（1）设是的极值点，求m并讨论的单调性；

（2）当时，证明：

9.设函数，其中

（1）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若，证明：

10.已知函数，，其中e为自然对数的底数.

（1）若恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若a取（1）中的最大值，证明：.