2024届高考数学一轮复习第4章思维深化微课堂三角函数解析式中“ω”的求法学案

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类型一　利用三角函数的单调性求“ω”
已知ω＞0，函数f(x)＝2sin ωx+π6在π2，5π6上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　)
A．(0，1]　　　 B．12，85
C．23，56 D．23，85
[思维架桥]　先求得ωx＋π6的范围，再由已知条件知π2，5π6应小于T2，可得0<ω≤3.由π2ω+π6，5π6ω+π6⊆π2+2kπ，3π2+2kπ，k∈Z可得ω的范围，结合0<ω≤3可得答案．
D　解析：因为x∈π2，5π6，故 ωx＋π6∈π2ω+π6，5π6ω+π6.
又f(x)的单调递减区间为 2kπ+π2，2kπ+3π2，k∈Z，
故π2ω+π6≥2kπ+π2，5π6ω+π6≤2kπ+3π2⇒4k＋23≤ω≤125k＋85，k∈Z.
故当k＝0时， 23≤ω≤85.故选D.

已知单调性求参数的方法
子集法
求出原函数相应的单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解
补集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期，列不等式(组)求解
[应用体验]
函数f(x)＝cos ωx-π6(ω>0)在区间π3，2π3内单调递减，则ω的最大值为(　　)
A．12 B．74
C．52 D．6
B　解析：因为x∈π3，2π3，所以πω3-π6≤ωx－π6≤2πω3-π6.
因为函数f(x)在区间π3，2π3内单调递减，
所以πω3-π6，2πω3-π6⊆ [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
所以，πω3-π6≥2kπ， 2πω3-π6≤2kπ+π，
解得6k＋12≤ω≤3k＋74(k∈Z)，
由6k＋12≤3k＋74(k∈Z)，可得k≤512，
因为k∈Z且ω>0，则k＝0，12≤ω≤74.
因此，正数ω的最大值为74.
类型二　利用三角函数的最值求“ω”
已知函数f(x)＝sin ωx+π3(ω＞0)，将其图象向右平移14个周期得到函数g(x)的图象．若函数g(x)在[0，π]上的值域为-12，1，则ω的取值范围为(　　)
A．1，43 B．23，43
C．23，53 D．12，1
[思维架桥]　易知函数g(x)＝sin ωx-π6，则ωx－π6∈-π6，ωπ-π6.又函数g(x)的值域为-12，1，可得ωx－π6的范围，利用集合间的关系可得ω的范围．
B　解析：由题意得g(x)＝sin ωx-π2ω+π3＝sin ωx-π6.
∵0≤x≤π，∴－π6≤ωx－π6≤ωπ－π6.
又g(x)在[0，π]上的值域为-12，1，∴π2≤ωπ－π6≤7π6，∴23≤ω≤43.故选B.

已知含参数ω的函数f(x)在某个区间上的值域求参数ω的方法：“整体代换”法，其步骤与求函数f(x)在某个区间上的值域类似．
[应用体验]
若函数f(x)＝3cos ωx－sin ωx＋1(ω>0)在0，π2内存在最小值但无最大值，则ω的范围是(　　)
A．53，113 B．53，4
C．[0，2] D．2，113
A　解析：函数f(x)＝2cos ωx+π6＋1，
当x∈0，π2时，ωx＋π6∈π6，πω2+π6.
因为f(x)在0，π2内存在最小值但无最大值，
结合图象可得π<πω2+π6≤2π，
解得53<ω≤113.

类型三　利用三角函数的周期性、对称性求“ω”
若函数y＝cos ωx(ω＞0)的图象在区间-π2，π4上只有一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A．1＜ω≤2 B．1≤ω＜2
C．1＜ω≤3 D．1≤ω＜3
[思维架桥]　由条件知y＝cos ωx在已知区间上只有一个零点，令t＝ωx，则cos t＝0在区间-ωπ2，ωπ4上有一个零点．解不等式组π4ω≤π2， -3π2≤-π2ω<-π2，可得ω的范围．
A　解析：y＝cos ωx(ω>0)在 -π2，π4上只有一个对称中心，
∴cos ωx＝0在该区间只有一个零点，
设ωx＝t，即t∈-ωπ2，ωπ4，
∴y＝cos ωx＝cos t.
当cos t＝0时，t∈-π2，π2，t＝－π2或π2.
∵cos ωx＝0在该区间只有一个零点，
∴π4ω≤π2， -3π2≤-π2ω<-π2，
∴1<ω≤2.

(1)利用正弦、余弦三角函数的周期性求“ω”的公式：ω＝2πT.
(2)利用三角函数的对称性求“ω”，令整体角等于正弦、余弦函数的对称轴或对称中心的横坐标，反解ω.
[应用体验]
已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在-π6，π4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝3π2，则ω的值不可能是(　　)
A．13 B．73
C．1 D．53
B　解析：由题意得3π2ω=kπ+π2，k∈Z，π4≤π2ω，
所以ω=2k3+13，k∈Z，0<ω≤2，
所以ω＝13，1，53.