高中数学必修第二册(19讲，Word，含教师版和学生版)

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空间几何体的结构特征、直观图

1空间几何体的结构特征
① 空间几何体
多面体 由若干个平面多边形围成的几何体;
旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体.
② 棱柱

(1)概念
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
(2)性质
u 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
u 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
u 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
u 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形.
(3)分类
① 按底面多边形的边数分为：三棱柱，四棱柱等.
② 按侧棱是否垂直低面分为斜棱柱，直棱柱(底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体)
③ 棱锥

(1)概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.
如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.
(2)性质
u 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
u 正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
u 正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形.)
(3)常见棱锥
正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥. 　
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥，正四面体是特殊的正三棱锥.
(4)侧面展开图
正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的.
4 棱台

(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
(2)棱台的分类:由三棱锥、四棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台…….
(3)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰梯形.
5 圆柱

(1)概念
以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
(2)性质
上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
(3)侧面展开图
圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.
6 圆锥

(1)概念
以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
(2)性质
u 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
u 轴截面是等腰三角形；如右图:三角形SAB
u 如上图：l2=h2+r2.
(3)侧面展开图
圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形.
7圆台

(1)概念
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
8 球体

(1)概念
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
(2)性质
u 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
u R2=r2+d2(其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r).
2 空间几何体的直观图
① 空间几何体的直观图
用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图，常用斜二测画法画它们的直观图.
② 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，一般步骤如下：
u 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.
u 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的x'轴和y'轴, 两轴相交于点O',且使∠x'O'y' =45度(或135度), 它们确定的平面表示水平平面.
u 画对应图形: 在已知图形平行于x轴的线段, 在直观图中画成平行于x'轴, 长度保持不变.在已知图形平行于y轴的线段, 在直观图中画成平行于y'轴, 且长度为原来一半.
u 对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段.
u 擦去辅助线: 图画好后,要擦去x'轴,y'轴及为画图添加的辅助线.

③ 斜二测画法口诀
平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚.
④ 斜二侧画法的面积是原来图形面积的24倍.
(原来的高变成了45°的线段，且长度是原高的一半，因此新图形的高是这个一半线段的22倍，故新高是原来高的24，而横向长度不变，所以面积变为原面积的24.)


【题型一】空间几何体的结构特征
【典题1】 给出下列命题：
① 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
② 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③ 一个棱锥可以有两个侧棱和底面垂直；
④ 一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；
⑤ 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.
其中正确的命题是( )
A.① ② ③ B.①③ C.②③④ D.④





【典题2】 如图所示,在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状也不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,水面的形状,水的形状有何变化?





巩固练习
1(★) 给出下列三个命题
①有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；
②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；
③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
其中真命题的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
2(★) 一个棱柱是正四棱柱的条件是 ( )
A、底面是正方形，有两个侧面是矩形
B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱
3(★★) 在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为 (　　)
A．64 B．65 C．66 D．67
4(★★) 如图是由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60°，一个半径为1的球放在支架上，则球心O到点P的距离为 (　　)
A．2 B．3 C．2 D．32


【题型二】空间几何体的折叠和展开
【典题1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1, AA1=3，点E为棱AB上的动点，则D1E+CE的最小值为(　　)
A. 22 B. 10 C. 2+2 D. 5+1




【典题1】 小红去礼品店给大毛买了一盒生日礼物，礼盒是长、宽、高分别为20cm、20cm、5cm的长方体．为美观起见，礼品店服务员用彩绳做了一个新颖的捆扎．如图所示，彩绳以A为起点，现沿着AB→BC→CD→DE→EF→FG→GH→HA环绕礼盒进行捆扎，其中A、B、E、F分别为下底面各棱的中点，C、D、G、H分别为上底面各棱上一点，则所用包装彩绳的最短长度为(　　)

A．(40+152)cm B．(40+302)cm C．(40+155)cm D．(40+305)cm





巩固练习
1(★) 下面图形中是正方体展开图的是 (　　)
A． B． C． D．
2(★★) 如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字1、2、3对面的数字是 (　　)

A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、6、4 D．5、4、6
3(★★) 北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖” 在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层) 如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)(　　)
A．14 B．14π C．1+4π21+4π2 D．1+16π21+16π2

4(★★) 如图，把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高是 (　　)

A．133+23 a B．133-3 a C．132+3 a D．133+33a
5(★★) 如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:

(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;
(2)从B经M到C1的最短路线长及此时A1MAM的值.


【题型三】 斜二测画法
【典题1】 如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中A'B'=A'C'，A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，那么△ABC是(　　)

A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形

【典题2】 梯形A1B1C1D1(如图)是一水平放置的平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥y'轴，A1B1∥x'轴，A1B1=23C1D1=2，A1D1=1，则平面图形ABCD的面积是(　　)

A.5 B.10 C.52 D.102





巩固练习
1(★) 如图所示的是水平放置的三角形直观图，D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点，且D'离B'比D'离C'近，又A'D'∥y'轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中(　　)

A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AD
C．最长的是AD，最短的是AC D．最长的是AB，最短的是AD
2(★) 利用斜二测画法画出△ABO的直观图(如图)，已知O'B'=2，A'B'∥y'轴，过A'作A'C'⊥x轴于C'，若△ABO的面积为4，则A'C'的长为(　　)

A．82 B．42 C．22 D．2
3(★) 正三角形ABC的边长为2cm，如图，△A'B'C'为其水平放置的直观图，则△A'B'C'的周长为(　　)

A．8cm B．6cm C．(2+6)cm D．(2+23)cm