黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

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2022—2023学年度下学期高二期末考试数学试题
时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.
2．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，，所以.
故选：C.
2. 命题“”的否定是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
3. 设函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.
【详解】因为在上单调递增，
所以由复合函数的单调性可知，，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 若，且，则（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用换元法求函数解析式即可.
【详解】因为,,则
设即
则,即
所以
故选:.
5. 幂函数在R上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A. （1，1） B. （1，2） C. （-3，1） D. （-3，2）
【答案】D
【解析】
【分析】由函数为幂函数且在R上单调递增，可得，再由指数函数过定点，即可得函数所过的定点.
【详解】解：因为为幂函数且在R上单调递增，
所以，解得，
所以，
又因为指数函数恒过定点，
所以恒过定点.
故选：D.
6. 设为正实数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为为正实数，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
7. 已知函数是定义在的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A. B. 0 C. D. 2019
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求出，再根据已知条件得出是以4为周期的函数，即可求出.
【详解】因为是定义在奇函数，且当时，，
所以，解得，
又，则，
所以，所以是以4为周期的函数，
所以.
故选：A.
8. 已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（       ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合即可求出结果.
【详解】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
作出在上的图象，如图：
由图可知要使有3个不同的实根，则.

故选：D.
二、多项选择题：每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）
A. 若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].
B. 函数的单调递减区间是
C. 若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.
D. 、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由于的定义域为[0，2]，则由可求出的定义域；对于B，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C，举反例可判断；对于D，利用单调性的定义判断即可
【详解】解：对于A，因为的定义域为[0，2]，则函数中的，，所以的定义域为，所以A错误；
对于B，反比例函数的单调递减区间为和，所以B错误；
对于C，当定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，而在R上不一定是单调增函数，如下图，显然，

所以C错误；
对于D，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，
故选：ABC
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】由可判断A；由基本不等式可判断B、C、D.
【详解】当时，，故A错误；
当时，，则，故B错误；
当，时，，，相加可得，故C正确；
当，时，，故D正确.
故选：CD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的定义域为R
B. 一定存在最小值
C. 的图象关于直线对称
D. 当时，的值域为R
【答案】AC
【解析】
【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.
【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，
即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；
对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；
对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，
将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，
此时对称轴为直线，故C正确；
对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.
故选：AC
12. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】构造函数，由其单调性得出，进而由指数和对数函数的单调性判断即可.
【详解】不等式可化为.
构造函数，易知函数在上单调递减.
由可知，.
因，所以，.
故选：BC
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 函数的值域为____________
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数,由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.
【详解】设,则,
所以原函数可化为:,
由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.
所以值域为:.
故答案为:.
14. 已知是定义域为的奇函数，且时，，当时，的解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，则，所以，再利用函数奇偶性代换得到答案.
【详解】设，则，所以.
是奇函数，所以，
因此当时，.
故答案为：
15. 已知函数，的最大值为，最小值为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果.
【详解】令，且，
，
所以为奇函数，且在上连续，
根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，
则，故.
故答案为：
16. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围.
【详解】函数是上的增函数，
所以，
解得.
故答案为：
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知不等式的解集为或（其中）．
（1）求实数，的值；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据不等式与对应方程的根的关系求解；(2)分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意可得的解集为或，
则且1和为方程两个根．
则，解得．
【小问2详解】
不等式化为，
转化为，即
所以，解集为．
18. 已知函数且．
求函数的定义域；
若函数的最小值为，求实数a的值．
【答案】 定义域为；．
【解析】
【分析】由对数式的真数大于0联立不等式组求解；利用导数的运算性质化简函数，结合的最小值为可得，由此求得a值．
【详解】解：要使函数有意义，必有，得．定义域为；，，，即，解得或．又且，
．
【点睛】本题考查对数型函数的定义域及其值域的求法，训练了利用配方法求函数的最值，是基础题．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.
（2）求出导函数，分情况求解不等式和即可得解.
【小问1详解】
当时，，，
，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
，
当，令得，由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
当，令得，
当时，由得或，由得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；
当时，由得或，由得，
所以的单调增区间为和，单调递减区间为.
20. 已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设(，且)，再代入求解可得，再根据奇函数满足求解即可；
（2）根据函数的单调性与奇偶性可将不等式转化为对任意的，恒成立，再根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.
【小问1详解】
设(，且)，则，所以 (舍去)或，
所以，．
又为奇函数，且定义域为R，
所以，即，所以，所以．
【小问2详解】
设，则．
因为，所以，所以，
所以，即，所以函数在R上单调递减．
要使对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立．
因为为奇函数，所以恒成立．
又因为函数在R上单调递减，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立．
令，，二次函数对称轴为.
时，成立；
‚时，所以，．
ƒ，，无解．
综上，．
21. 2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x
10
20
25
30

110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
【答案】（1）
（2）选择②，，（，）
（3）121元
【解析】
【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；
（2）由表中数据的变化可确定描述该商品的日销售量与时间x的关系，代入表述数据可求得其解析式；
（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.
【小问1详解】
因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得；
【小问2详解】
由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:
代入数据可得：，解得，，
所以，（，）
【小问3详解】
由（2）可得，，
所以，，
所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，且为121；
当，时，为单调递减函数，
所以当时，有最小值，且为124，
综上，当时，有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
22. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在单调递增单调递减
（2）
【解析】
【分析】（1）求导之后，根据导数的符号即可求得的单调区间（2）对恒成立的不等式恒等变形后，利用切线不等式放缩求得必要条件，再证明也是充分条件，即得所求
【小问1详解】

当时，；当时，
所以在单调递增，在单调递减．
【小问2详解】
设，
则，
且当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以
所以
由得
即 ①
由得，等号当成立．
设，则，所以在上单调递增
又，
所以有唯一零点，记为
所以是根，将代入①式得

当时，显然成立．
综上：
故的取值范围为