高中数学人教A版 (2019)选择性必修第三册7.3 离散型随机变量的数字特征同步训练题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修第三册7.3 离散型随机变量的数字特征同步训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第七章　7.3　7.3.2

A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)已知0 ξ
－1
0
1
P

－a
a
当a增大时，(　AD　)
A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小
C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大
[解析]　0 ∴当a增大时，E(ξ)增大；
D(ξ)＝2×＋2×＋2×a＝－a2＋a＋＝
－2＋，
∵0 2．(2022·浙江宁海中学月考)小智参加三次投篮比赛，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D(|ξ|)为(　B　)
A． B．
C． D．3
[解析]　由题意可得ξ＝－3，3，－1，1，其中P(ξ＝－3)＝P(ξ＝3)＝0.53，P(ξ＝－1)＝P(ξ＝1)＝C(0.5)3＝3×0.53
故随机变量|ξ|的分布列为
|ξ|
1
3
P
6×0.53
2×0.53
故E(|ξ|)＝6×0.53＋3×2×0.53＝1.5
D(|ξ|)＝(1.5－1)2×6×0.53＋(3－1.5)2×2×0.53＝0.75
故选B．
3．(2022·浙江东阳中学月考)已知随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝(　B　)
A． B．
C． D．1
[解析]　设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a，从而随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P

a
－a
所以E(X)＝0×＋1×a＋2×＝－a，因为E(X)＝1，所以－a＝1，所以a＝，故D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，故选B．
4．(2022·浙江省台州中学高三月考)已知某8个数据的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数据的期望记为E(X)，方差记为D(X)，则(　B　)
A．E(X)＝5，D(X)>3 B．E(X)＝5，D(X)<3
C．E(X)<5，D(X)>3 D．E(X)<5，D(X)<3
[解析]　由题意可知，E(X)＝＝5，D(X)＝＝<3，故选B．
5．已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为
ξ1
1
3
5
P
a

b

ξ2
1
2
4
5
P
b

a
则下列说法一定正确的是(　D　)
A．E(ξ1)>E(ξ2) B．E(ξ1) C．D(ξ1)>D(ξ2) D．D(ξ1) [解析]　由题可得a＋b＝，E(ξ1)＝1×a＋3×＋5×b＝a＋5b＋＝4－4a＝2＋4b，
E(ξ2)＝1×b＋2×＋4×＋5×a＝5a＋b＋＝4a＋2，
则E(ξ1)和E(ξ2)的大小不确定．
又因为D(ξ1)＝(1－2－4b)2a＋(3－2－4b)2×＋(5－2－4b)2×b＝－(4b－1)2≤0，
又∵D(ξ1)≥0，∴b＝，
把b＝代入a＋b＝得a＝可得D(ξ1)＝2，D(ξ2)＝2.5，∴D(ξ1) 二、填空题
6．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为_0.5__.
[解析]　事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
7．(2022·浙江宁波高三联考)已知随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c>0.若X的方差D(X)≤对所有a∈(0，1－b)都成立，则b的范围为_≤b<1__.
[解析]　由X的分布列，可得X的期望为E(X)＝－a＋c，a＋b＋c＝1，
所以X的方差D(X)＝(－1＋a－c)2a＋(a－c)2b＋(1＋a－c)2c＝(a－c)2(a＋b＋c)－2(a－c)2＋a＋c＝－(a－c)2＋a＋c＝－(2a－1＋b)2＋1－b＝－42＋1－b.
因为a∈(0，1－b)，
所以当且仅当a＝时，D(X)取最大值1－b.
又D(X)≤对所有a∈(0，1－b)都成立，
所以只需1－b≤，解得b≥，所以≤b<1.
8．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝___.
[解析]　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
三、解答题
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的方差．
[解析]　由题意，X的可能取值为0，1，2，
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，X的分布列为：
X
0
1
2
P

所以X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.所以X的方差为D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：
环数
5
6
7
8
9
10
次数
1
1
1
1
2
4
乙射击的概率分布如下表：
环数
7
8
9
10
概率
0.2
0.3
p
0.1
(1)若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；
(2)比较甲、乙射击水平的优劣．
[解析]　(1)由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4.
设甲，乙击中的环数分别为X1，X2，则
P(X1＝8)＝＝0.1，P(X1＝9)＝＝0.2，
P(X1＝10)＝＝0.4，
P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，
所以甲，乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：
P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.
(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，
乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，
甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，
乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.
因为D(X1)>D(X2)，所以乙比甲技术稳定．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选)已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P

a
则下列式子正确的是(　ABC　)
A．P(X＝0)＝ B．a＝
C．E(X)＝－ D．D(X)＝
[解析]　由分布列可知，P(X＝0)＝，a＝1－－＝，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
2．(多选)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则(　BCD　)
A．ξ的所有取值是1，2，3 B．P(ξ＝1)＝
C．E(ξ)＝1 D．D(ξ)＝1
[解析]　ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝.所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P

E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.
D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
3．随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(X)＝，则D(X)等于(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　由题意知，
∴
∴D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
4．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机取出小球，当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则(　B　)
A．E(ξ1) B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1) D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
[解析]　ξ1的可能取值为0，1，2，ξ2的可能取值为0，1.
P(ξ1＝0)＝，P(ξ1＝2)＝，
P(ξ1＝1)＝1－－＝，
故E(ξ1)＝，D(ξ1)＝2×＋2×＋2×＝.
P(ξ2＝0)＝＝，P(ξ2＝1)＝1－＝，
故E(ξ2)＝，D(ξ2)＝2×＋2×＝，
故E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)．故选B．
二、填空题
5．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为_0.4__0.1__0.5__.
[解析]　由题意知，－p1＋p3＝0.1，
1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.
又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.
6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝_3.36__.
[解析]　由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12.
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，
P(X＝12)＝＝，则E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8，D(X)＝×(6－7.8)2＋×(9－7.8)2＋×(12－7.8)2＝3.36.
7．变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是___.
[解析]　由条件可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，
∴b＝，a＋c＝.
又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝，故ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P

∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
三、解答题
8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.2
0.3
0.3
0.1
0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列、期望和方差．
[解析]　(1)“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，P()＝(1－0.2)3＝0.512，
∴P(A)＝1－P()＝1－0.512＝0.488.
(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件的概率，P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.2，
P(η＝300)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＋0.3＝0.6，
P(η＝400)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝ 0.1＋0.1＝0.2，
故η的分布列为
η
200
300
400
P
0.2
0.6
0.2
∴期望E(η)＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴方差D(η)＝(200－300)2×0.2＋(300－300)2×0.6＋(400－300)2×0.2＝4 000.
9．设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，且规定：取出一个红球得a分，取出一个白球得b分，取出一个黑球得c分，其中a，b，c都为正整数．
(1)当a＝1，b＝2，c＝3时，从该盒子中依次任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)当a＝1时，从该盒子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数，若E(η)＝，D(η)＝，求b和c.
[解析]　(1)由题意，得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P

(2)由题意知η的分布列为
η
1
b
c
P

因为E(η)＝，D(η)＝，
所以
解得

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