高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时课后测评，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.3　4.3.2　第2课时

A组·素养自测
一、选择题
1．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 022＝(　A　)
A．1 011　　 B．－1 011
C．2 022　　 D．－2 022
[解析]　S2 022＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 019＋2 020)＋(－2 021＋2 022)＝1 011.
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　B　)
A．192里　　 B．96里
C．48里　　 D．24里
[解析]　设第1天走a1里，公比为，
则＝＝378.解得a1＝192.
∴a2＝192×＝96(里)．
3．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝－2n＋1＋2，则a＋a＋…＋a＝(　B　)
A．－8(2n＋1)3　　 B．
C．8(－2n－1－1)3　　 D．
[解析]　因为a1＋a2＋…＋an＝－2n＋1＋2，①
所以a1＋a2＋…＋an－1＝－2n＋2，②
①－②，得an＝－2n，所以a＝－23n＝－8n，
∴{a}的首项为－8，公比为8，所以a＋a＋…＋a＝＝.故选B．
4．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 016等于(　A　)
A．1 008　　 B．2 016　　
C．504　　 D．0
[解析]　∵函数y＝cos的周期T＝＝4，且第一个周期四项依次为0，－1，0，1.
∴可分四组求和：
a1＋a5＋…＋a2 013＝0，
a2＋a6＋…＋a2 014＝－2－6－…－2 014＝＝－504×1 008，
∴a3＋a7＋…＋a2 015＝0，
a4＋a8＋…＋a2 016＝4＋8＋…＋2 016
＝＝504×1 010.
∴S2 016＝0－504×1 008＋0＋504×1 010＝504×(1 010－1 008)＝1 008，故选A．
5．(2022·黑龙江大庆一中高二联考)在等比数列{an}中，a2＋a3＋…＋a8＝8，＋＋…＋＝2，则a5的值是(　A　)
A．±2　　 B．2　　
C．±3　　 D．3
[解析]　若该等比数列{an}的公比为1，a2＋a3＋…＋a8＝7a5＝8，a5＝，＋＋…＋＝≠2，不合题意，舍去；
所以该等比数列的公比不为1，设为q，则
两式作商得·＝4，
即aq6＝4，a＝4，所以a5＝±2.故选A．
6．(2022·山东省实验中学高二检测)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝9，a1a2…a8＝81，则＋＋…＋的值为(　A　)
A．3　　 B．6　　
C．9　　 D．27
[解析]　＋＋…＋＝＋＋＋.①
∵a8a1＝a7a2＝a6a3＝a5a4，
∴①式＝＝.
又∵a1a2a3…a8＝81，得(a4a5)4＝81，∴a4a5＝3，
∴＝＝3，∴＋＋…＋＝3.故选A．
二、填空题
7．数列，，，…，，…前n项的和为__4－__．
[解析]　设Sn＝＋＋＋…＋①
Sn＝＋＋＋…＋②
①－②得
Sn＝＋＋＋＋…＋－＝2－－.
∴Sn＝4－.
8．已知各项都为正数的等比数列{an}，若a8·a12＋5a10＝14，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a19＝__19__．
[解析]　∵各项都为正数的等比数列{an}，a8·a12＋5a10＝14，
∴，解得a10＝2，
∴log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a19
＝log2(a1·a2·a3·…·a19)
＝log2a＝log2219＝19.
三、解答题
9．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2a3＝8a1，且a4，36，2a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)因为a2a3＝8a1，
所以a1a4＝8a1，所以a4＝8，
又a4，36，2a6成等差数列，所以a4＋2a6＝72，所以a6＝32，q2＝＝4，q>0，
所以q＝2，所以an＝8·2n－4＝2n－1.
(2)bn＝＝＝n·，
Tn＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·
·Tn＝1·＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·
两式相减得：
·Tn＝＋＋＋…＋－n·，
·Tn＝－n·，
所以Tn＝8－(n＋2)·.
10．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，
所以an＝.
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.
所以T1＝b1＝；
当n≥2时，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]．
两式相减，得
2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
＝＋－(n－1)×31－n＝－.
∴Tn＝－.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝(　A　)
A．　　 B．
C．6　　 D．7
[解析]　∵
＝＝
＝＝，
又∵＝＝，
∴＝＝.∴＝.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于(　D　)
A．13　　　　　 B．10　　　　　
C．9　　　　　 D．6
[解析]　∵an＝＝1－，
∴Sn＝＋＋＋…＋
＝n－
＝n－＝n－1＋，
令n－1＋＝＝5＋，∴n＝6.
3．(多选题)在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　BC　)
A．q＝1
B．数列{Sn＋2}是等比数列
C．S8＝510
D．数列{lg an}是公差为2的等差数列
[解析]　由题意，可得a2a3＝a1a4＝32>0，
a2＋a3＝12>0，故a2>0，a3>0.
根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根．
解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4.
故必有公比q>0，所以a1＝>0.
因为等比数列{an}是递增数列，所以q>1.
所以a2＝4，a3＝8满足题意．所以q＝2，a1＝＝2.
故选项A不正确．an＝a1·qn－1＝2n.
因为Sn＝＝2n＋1－2.
所以Sn＋2＝2n＋1＝4·2n－1.
所以数列{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．
S8＝28＋1－2＝512－2＝510.故选项C正确．
因为lg an＝lg 2n＝nlg 2.
所以数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列．
故选项D不正确．
4．(多选题)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　AC　)
A．Sn<500　　 B．Sn≤500
C．Sn的最小值为　　 D．Sn的最大值为400
[解析]　由题可知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200×；
第三次着地时，S3＝100＋200×＋200×；…；
第n次着地时，Sn＝100＋200×＋200×＋…＋200×，
则Sn＝100＋200×＝100＋400×，显然Sn<500，又Sn是关于n的增函数，n≥2，故当n＝2时，Sn的最小值为100＋＝.综上所述，AC正确．故选AC．
二、填空题
5．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1＋a(a为常数)，bn＝，则数列{bn}的前n项和为__×__．
[解析]　∵Sn为等比数列{an}的前n项和，
且Sn＝3.
∴＝－1，∴a＝－3，∴Sn＝3n＋1－3，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1－3)－(3n－3)＝2×3n　①，
又∵a1＝S1＝6符合①式，∴an＝2×3n，
∴bn＝＝＝·，
∴{bn}的前n项和为Tn＝
＝×.
6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若{an}的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，若a1＝1，则a2 022＝__2－__．
[解析]　根据题意，an＋1－an＝，
则a2 022＝(a2 022－a2 021)＋(a2 021－a2 020)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋1＝2－.
三、解答题
7．(2022·全国甲卷理)记Sn为数列{an}的前n项和．
已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
[解析]　(1)因为＋n＝2an＋1，即2Sn＋n2＝2nan＋n①，
当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，
①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)，
即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1，
即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，
所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*，
所以{an}是以1为公差的等差数列．
(2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8，
又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4·a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)·(a1＋8)，解得a1＝－12，
所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝－，
所以，当n＝12或n＝13时(Sn)min＝－78.
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，数列{bn}满足bn＝.
(1)证明数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
[解析]　(1)由bn＝得bn＋1＝，由an＋1－2an＝2n得an＋1＝2an＋2n，
∴bn＋1－bn＝－＝－＝，
∴{bn}是等差数列，首项为b1＝，公差为，
∴bn＝＋(n－1)＝，∴an＝·2n＝n·2n－1.
(2)Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
两式相减得－Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.