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2023年山东省淄博市博山区中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省淄博市博山区中考数学三模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省淄博市博山区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国航天科技的蓬勃发展，已在世界航天领域占据重要地位.中国航天的下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列各组数中互为相反数的是( )
A. 3和|−3| B. −|−3|和−(−3)
C. −3和3−27 D. −3和13
3. 若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是( )
A. 23 B. 32 C. 33 D. 3
4. 下列计算正确的是( )
A. x3−x=x2 B. (−2x2)3=−6x5
C. (x+2)2=x2+4 D. (2x2y)÷(2xy)=x
5. 如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，灯泡能发光的概率为( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 23
6. 如图，△ABC中，_____，AC=9cm，BC=3cm，要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm，则横线上加的条件为( )
A. CD是AB边上的中线
B. CD是∠ACB的平分线
C. CD是AB边上的垂线
D. CD是△ABC的中位线
7. 下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是a，中位数是b，则a−b的值是( )
成绩(分)
30
25
20
15
人数
2
x
y
1
A. −5 B. −2.5 C. 2.5 D. 5
8. 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为( )
A. 10
B. 12
C. 15
D. 20
9. 如图，函数y=ax2−a2x与y=ax−a2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点均在格点处，点A的坐标为(4,−1)，点D的坐标为(6,3)，以原点O为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点B的对应点B′的坐标为( )
A. (4,−32) B. (−4,−32)
C. (4,−32)或(−4,−32) D. (4,−32)或(−4,32)
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 计算：(−13)−2−(π−2)0= ______ ．
12. 两个最简二次根式 a2+a与 a+25可以合并，则a= ．
13. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足如表：
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−5
0
3
4
3
m
−5
…
根据表格内容，该二次函数的m值为______ ．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)．
15. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，EF是过点A的一条直线，若记∠BAF=α(0°<α≤120°)，作点B关于直线EF的对称点P，则下列选项正确的有______ ．
①当30°<α<45°时，2
④当BP=2 3时，α=60°或120°．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
定义一种新的运算x*y=x+2yx，如3*1=3+2×13=53，求(2*3)*2的值．
17. (本小题5.0分)
解方程：2xx−3+1=63−x．
18. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF．
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
19. (本小题10.0分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(2,4)．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为______ ；
(3)在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小，并直接写出P点坐标.(注：不写作法，只保留作图痕迹)
20. (本小题10.0分)
某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：
(1)九年级接受调查的同学共有多少名，并补全条形统计图；
(2)九年级共有500名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名；
(3)若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率．
21. (本小题12.0分)
在博山区红叶柿岩景区，一座美丽壮观的“圆梦塔”屹立于山顶之上，非常引人注目(如图1).某数学小组在研学活动中为测量塔的高度，在A处(如图2)测得塔顶C的仰角为45°，然后沿着斜坡AB前进13m到达B处，在B处测得到塔脚的距离BD=15m，已知tan∠BAF=512，∠E=90°，求塔的高度CD．
22. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO=5，sin∠AOD=45，B点的坐标为(−6,n)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象直接写出不等式mx
23. (本小题13.0分)
如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
(1)求证：△AFG∽△DFC；
(2)求证：AG=AE；
(3)若正方形ABCD的边长为5，AE=2，求∠EAF的正切值和⊙O的半径．
24. (本小题13.0分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)与x轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，顶点为C，点P为线段AB上的动点(不与A、B重合)，过P作PQ//BC交抛物线于点Q，交AC于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求△CPD面积的最大值；
(3)连接CQ，当CQ⊥PQ时，求点Q的坐标；
(4)点P在运动过程中，是否存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的定义解答即可．
本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：A.3和|−3|=3不互为相反数，不符合题意；
B.−|−3|=−3和−(−3)=3互为相反数，符合题意；
C.−3和3−27=−3不互为相反数，不符合题意；
D.−3和13不互为相反数，不符合题意．
故选：B．
根据求一个数的绝对值，化简多重符号，求一个数的立方根，逐项化简各数，分析判断即可求解．
本题考查了求一个数的绝对值，化简多重符号，求一个数的立方根，判断相反数，分别化简各数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据按键顺序可知算式为 3．
故选：D．
根据按键的顺序即可得出算式．
本题考查了科学计算器的使用与平方根，掌握“2ndF”与“平方根”键组合表示求一个数的平方根是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、x3与−x不能合并，故A不符合题意；
B、(−2x2)3=−8x6，故B不符合题意；
C、(x+2)2=x2+4x+4，故C不符合题意；
D、(2x2y)÷(2xy)=x，故D符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
由电路图可知，当同时闭合开关S1和S2，或S1和S3，或S1和S4时，灯泡能发光，画树状图得出所有等可能的结果数和灯泡能发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】
解：由电路图可知，当同时闭合开关S1和S2，或S1和S3，或S1和S4时，灯泡能发光，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中随机闭合两个开关灯泡能发光的结果有6种，
∴灯泡能发光的概率为612=12．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：△ACD的周长的为：AC+CD+AD，
△BCD的周长的为：BC+CD+BD，
∵AC=9cm，BC=3cm，要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm，
∴AC+CD+AD−(BC+CD+BD)=6，
即：9+CD+AD−(3+CD+BD)=6，
则有：AD−BD=0，
∴AD=BD，
故CD是AB边上的中线．
故选：A．
先表示出△ACD和△BCD的周长，再根据其差为6，可得9+CD+AD−(3+CD+BD)=6，进而可得AD=BD，问题得解．
本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的角平分线、中线和高，三角形的三边关系，掌握三角形中位线定理是解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵平均数为23，
∴30×2+25x+20y+1510=23，
∴25x+20y=155，
即：5x+4y=31，
∵x+y=7，
∴x=3，y=4，
∴中位数b=20+252=22.5，众数a=20，
∴a−b=20−22.5=−2.5，
故选：B．
首先根据平均数求得x、y的值，然后利用中位数及众数的定义求得b和a的值，从而求得a−b的值即可．
本题考查了众数及中位数的定义，求得x、y的值是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数=360°36∘=10，
故选：A．
根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=36°，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵y=ax2−a2x=ax(x−a)，
∴抛物线经过原点和点(a,0)，
∵y=ax−a2=a(x−a)，
∴函数y=ax−a2经过点(a,0)，
∴函数y=ax2−a2x与y=ax−a2(a≠0)交于x轴同一点(a,0)，
①当a>0时，二次函数y=ax2−a2x的图象开口向上、对称轴在y轴的右侧，一次函数y=ax−a2(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点；
②当a<0时，二次函数y=ax2−a2x的图象开口向下、对称轴在y轴的左侧，一次函数y=ax−a2(a≠0)的图象经过第二、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点．
故选项B不可能．
故选：B．
分a>0与a<0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点A作x轴的垂线EF，过点B作BE⊥EF于E，过点D作DF⊥EF于F，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
在△DAF和△ABE中，
∠AFD=∠BEA∠DAF=∠ABEAD=AB，
∴△DAF≌△ABE(AAS)，
∴AF=BE，AE=DF，
∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(4,−1)，点D的坐标为(6,3)，
∴点B的坐标为(8,−3)，
∵以原点O为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，
∴点B的对应点B1的坐标是(8×12,−3×12)或(8×(−12),3×(−12))，即(4,−32)或(−4,32)，
故选：D．
先根据图形求出点B的坐标，根据以原点O为位似中心的位似图形的性质计算．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
11.【答案】8
【解析】解：(−13)−2−(π−2)0
=9−1
=8．
故答案为：8．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：由题意得：
a2+a=a+25，
∴a2=25，
∴a=±5，
当a=−5时， a+25= −5+25= 20=2 5，
∴ a+25不是最简二次根式，
∴a=−5，不符合题意，舍去，
∴a=5，
故答案为：5．
根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得：a2+a=a+25，然后进行计算即可解答．
本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握同类二次根式和最简二次根式的定义是解题的关键．
13.【答案】0
【解析】解：由表格可得抛物线经过(−2,3)，(0,3)，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
∴(−3,0)，(1,m)关于对称轴对称，
∴m=0，
故答案为：0．
由表格个可得抛物线对称轴，再由抛物线对称性求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数对称性．
14.【答案】23π− 3
【解析】
【分析】
连接CE，由扇形CBE面积−三角形CBE面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接CE，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°−∠A=60°，
∵CE=CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB=60°，BE=BC=2，
∴S扇形CBE=22×60π360=23π
∵S△BCE= 34BC2= 3，
∴阴影部分的面积为23π− 3．
故答案为：23π− 3．
15.【答案】①②④
【解析】解：过B作BH⊥EF交EF于H，延长BH到P，使PH=BH，则P点就是B点关于EF的对称点，且BP=2BH．
∴BP=2BH=2×AB×sina=4sinα，
∵30°<α<45°，
∴12
∵60°
特别说明：在△ABC中，
∠A=90°，∠ACB=30°，延长AC到D，使CD=BC，连结BD，
∴sin75°=sin∠ABD=ADBD=(2+ 3)α( 6+ 2)α= 6+ 24，
∴②正确；
∵BP=1，
∴BH=12，
∴sina=BHAB=12 2=14，
∴sin15°= 6− 24≠14，
∴③不正确；
∵BP=2 3，
∴BH= 3，
∴sinα=BHAB= 32，
∴a=60°或120°，
∴④正确；
故正确的有：①②④
首先作B点关于EF的对称点P，BP=4sinα，然后根据α取值范围，即可判定①②正确；再根据正弦定义可以对③④进行判断．
本题考查菱形性质、轴对称性质、三角函数定义，解题关键是熟练掌握三角函数定义．
16.【答案】解：根据题中的新定义得：(2*3)*2=(2+2×32)*2=4*2=4+44=2．
【解析】根据新定义运算列式子计算即可．
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17.【答案】解：2xx−3+1=63−x，
方程两边都乘x−3，得2x+x−3=−6，
解得：x=−1，
检验：当x=−1时，x−3≠0，
所以x=−1是分式方程的解，
即分式方程的解是x=−1．
【解析】方程两边都乘x−3得出2x+x−3=−6，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠ADF=∠CBEDF=BE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)；
(2)由(1)知：△ADF≌△CBE，
∴AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴∠AFE=∠FEC，
∴AF//EC，
又∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质得出∠ADF=∠CBE，进而证明△ADF≌△CBE(SAS)；
(2)根据△ADF≌△CBE，得出AF=CE，∠AFD=∠CEB，进而得出∠AFE=∠BEC，可得AF//EC，进而即可得证．
本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)4;
(3)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点P，如图，则A′(−1,1)，
设直线BA′的解析式为y=kx+b，
把A′(−1,1)，B(4,2)代入得−k+b=14k+b=2，
解得k=15b=65,
∴直线BA′的解析式为y=15x+65，
当x=0时，y=15x+65=65，
∴P(0,65).
【解析】(1)见答案；
(2)△A1B1C1的面积=3×3−12×3×1−12×3×1−12×2×2=4．
故答案为：4；
(3)见答案。
(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算)△A1B1C1的面积；
(3)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点P，如图，则A′(−1,1)，利用待定系数法求出直线BA′的解析式为y=15x+65，然后求出直线与y轴的交点坐标即可．
本题考查了作图−轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．也考查了最短路径问题．
20.【答案】解：(1)九年级接受调查的同学总数为10÷20%=50(人)，
则“听音乐”的人数为50−(10+5+15+8)=12(人)，
补全图形如下：
(2)估计该校九年级听音乐减压的学生约有500×1250=120(人)．
(3)画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出同学是都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率为220=110．
【解析】(1)利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可求得总人数，求出听音乐的人数即可补全条形统计图；
(2)用总人数乘以样本中“听音乐”人数所占比例即可得；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：由题意得：BD=EF=15m，BF=DE，
在Rt△ABF中，tan∠BAF=BFAF=512，
∴设BF=5x m，则AF=12x m，
∴AB= AF2+BF2= (5x)2+(12x)2=13x(m)，
∵AB=13m，
∴13x=13，
解得：x=1，
∴AF=12m，BF=5m，
∴AE=AF+EF=27(m)，DE=BF=5m，
在Rt△AEC中，∠CAE=45°，
∴CE=AE⋅tan45°=27(m)，
∴CD=CE−DE=27−5=22(m)，
∴塔的高度CD为22m．
【解析】根据题意可得：BD=EF=15m，BF=DE，然后在Rt△ABF中，根据已知可设BF=5x m，则AF=12x m，从而利用勾股定理求出AB的长，进而求出AF，BF的长，最后可求出AE，DE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出CD的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AD⊥x轴于点D，AO=5，sin∠AOD=45，
∴ADOA=45，
∴AD=4，
∴OD= OA2−AD2=3，
∴点A(3,4)，
∵反比例函数y=mx的图象过点A，
∴m=3×4=12，
故反比例函数的表达式为：y=12x，
把(−6,n)代入得，n=12−6=−2，
∴B(−6,−2)，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得3k+b=4−6k+b=−2，
解得k=23b=2，
故一次函数的表达式为：y=23x+2；
(2)把y=0代入y=23x+2，求得x=−3，
∴C(−3,0)，
∴△AOB的面积S=S△AOC+S△BOC=12×3×(4+2)=9；
(3)观察图象，不等式mx3．
【解析】(1)解直角三角形求得AD，利用勾股定理求得OD，即可求得点A(3,4)，故反比例函数的表达式为：y=12x，从而求得B(−6,2)，将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
(2)首先求得C点的坐标，然后利用△AOB的面积S=S△AOC+S△BOC求得即可；
(3)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了解直角三角形，反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
23.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AD=CD
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠AGF=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．
(2)证明：∵△AFG∽△DFC，
∴AFDF=AGDC，
∵tan∠ADE=AFDF=AEAD，
∴AEAD=AGDC，
∴AG=AE；
(3)解：如图，连接CG．
∵正方形ABCD的边长为5，AE=2，
∴AG=AE=2，AD=DC=5，
∴DG=AD−AG=3，
∴CG= CD2+DG2= 32+52= 34，
∵∠ADE=∠EAF=90°−∠DAF
∴tan∠EAF=tan∠ADE=AEAD=25
∵∠ADC=90°，
∴CG是直径，
∴⊙O的半径为12CG= 342．
【解析】(1)利用同角的余角相等证明∠FAG=∠FDC，利用圆内接四边形的性质证明∠AGF=∠FCD即可；
(2)由△AFG∽△DFC可得AFDF=AGDC，由tan∠ADE=AFDF=AEAD可得AEAD=AGDC，即可得到AG=AE；
(3)利用tan∠ADE=tan∠EAF=AEAD求出∠EAF的正切值，再证明CG是直径，求出CG即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，
∴1+b+c=09−3b+c=0，
解得：b=2c=−3，
∴该抛物线的表达式为y=x2+2x−3；
(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴顶点C(−1,−4)．
∵A(1,0)，B(−3,0)，
∴OA=1，OB=3．
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
则CE=4，OE=1，
∴AE=OA+OE=2．
设OP=t，则AP=1+t，AB=OA+OB=4，
∵PQ//BC，
∴△APD∽△ABC，
∴ADAC=APAB=1+t4．
∵CE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴CE//DF，
∴△ADF∽△ACE，
∴DFCE=ADAC=1+t4，
∴DF4=1+t4，
∴DF=1+t．
∴S△CPD=S△ACP−S△ADP
=12×AP⋅CE−12×AP⋅DF
=12×(1+t)×4−12×(1+t)2
=−12t2+t+32
=−12(t−1)2+2，
∵−12<0，
∴当t=1时，△CPD面积的最大值为2；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴−3k+n=0−k+n=−4，
解得：k=−2n=−6，
∴直线BC的解析式为y=−2x−6，
∵CQ⊥PQ，PQ//BC，
∴CQ⊥BC．
∴设直线CQ的解析式为y=12x+m，
∴−12+m=−4，
∴m=−72，
∴直线CQ的解析式为y=12x−72．
∴y=12x−72y=x2+2x−3，
解得：x=−1y=−4或x=−12y=−154．
∴Q(−12,−154)；
(4)点P在运动过程中，存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形，理由：
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
AC= CE2+AE2= 42+22=2 5．
①当AD=AO=1时，
∵PQ//BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴APAB=ADAC，
∴AP4=12 5，
∴AP=2 55，
∴P(1−2 55,0)；
②当AD=DO时，
∵DF⊥x轴，
∴FO=FA=12．
∴D的横坐标为12．
设直线AC的解析式为y=ax+d，
∴a+d=0−a+d=−4，
解得：a=2d=−2，
∴直线AC的解析式为y=2x−2．
当x=12时，y=−1，
∴D(12,−1)．
由(3)知：直线BC的解析式为y=−2x−6，
∵PQ//BC，
∴设直线PQ的解析式为y=−2x+e，
∴−2×12+e=−1，
∴e=0，
∴直线PQ的解析式为y=−2x，
∴P(0,0)；
③当AO=DO=1时，则∠OAD=∠ODA，
由题意：CE垂直平分AB，
∴CB=CA，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠OAD=∠ODA=∠CAB=∠CBA，
∴△OAD∽△CBA，
∴OAAC=ADAB，
∴12 5=AD4，
∴AD=2 55．
∵CE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴CE//DF，
∴△AFD∽△AEC，
∴AFAE=ADAC，
∴AF2=2 552 5．
∴AF=25，
∴OF=1−AF=35．
∴D的横坐标为35．
当x=35时，y=2×35−2=−45．
∴D(35,−45).
设直线PQ的解析式为y=−2x+f，
∴−2×35+f=−45．
∴f=25．
∴直线PQ的解析式为y=−2x+25，
令y=0，则−2x+25=0，
∴x=15．
∴P(15,0)．
综上，点P在运动过程中，存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(1−2 55,0)或(0,0)或(15,0)．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)利用配方法求得点C的坐标，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OP=t，则AP=1+t，AB=OA+OB=4，利用相似三角形的判定与性质求得线段DF，利用S△CPD=S△ACP−S△ADP求得△CPD面积，再利用配方法和二次函数的性质解答即可；
(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式，再利用平行线的性质和待定系数法求得直线CQ的解析式，将直线CQ的解析式与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论；
(4)利用分类讨论的思想方法，分3种情形讨论解答：①当AD=AO=1时，利用相似三角形的判定与性质求得线段AP即可；②当AD=DO时，利用等腰三角形的性质和待定系数法解答即可；③当AO=DO=1时，利用抛物线的性质，相似三角形的判定与性质和待定系数法解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2023年山东省淄博市博山区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国航天科技的蓬勃发展，已在世界航天领域占据重要地位.中国航天的下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列各组数中互为相反数的是( )
A. 3和|−3| B. −|−3|和−(−3)
C. −3和3−27 D. −3和13
3. 若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是( )
A. 23 B. 32 C. 33 D. 3
4. 下列计算正确的是( )
A. x3−x=x2 B. (−2x2)3=−6x5
C. (x+2)2=x2+4 D. (2x2y)÷(2xy)=x
5. 如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，灯泡能发光的概率为( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 23
6. 如图，△ABC中，_____，AC=9cm，BC=3cm，要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm，则横线上加的条件为( )
A. CD是AB边上的中线
B. CD是∠ACB的平分线
C. CD是AB边上的垂线
D. CD是△ABC的中位线
7. 下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是a，中位数是b，则a−b的值是( )
成绩(分)
30
25
20
15
人数
2
x
y
1
A. −5 B. −2.5 C. 2.5 D. 5
8. 如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为( )
A. 10
B. 12
C. 15
D. 20
9. 如图，函数y=ax2−a2x与y=ax−a2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点均在格点处，点A的坐标为(4,−1)，点D的坐标为(6,3)，以原点O为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点B的对应点B′的坐标为( )
A. (4,−32) B. (−4,−32)
C. (4,−32)或(−4,−32) D. (4,−32)或(−4,32)
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 计算：(−13)−2−(π−2)0= ______ ．
12. 两个最简二次根式 a2+a与 a+25可以合并，则a= ．
13. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足如表：
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−5
0
3
4
3
m
−5
…
根据表格内容，该二次函数的m值为______ ．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)．
15. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，EF是过点A的一条直线，若记∠BAF=α(0°<α≤120°)，作点B关于直线EF的对称点P，则下列选项正确的有______ ．
①当30°<α<45°时，2
④当BP=2 3时，α=60°或120°．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
定义一种新的运算x*y=x+2yx，如3*1=3+2×13=53，求(2*3)*2的值．
17. (本小题5.0分)
解方程：2xx−3+1=63−x．
18. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF．
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
19. (本小题10.0分)
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(2,4)．
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)△A1B1C1的面积为______ ；
(3)在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小，并直接写出P点坐标.(注：不写作法，只保留作图痕迹)
20. (本小题10.0分)
某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：
(1)九年级接受调查的同学共有多少名，并补全条形统计图；
(2)九年级共有500名学生，请你估计该校九年级听音乐减压的学生有多少名；
(3)若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生，心理老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用画树状图或列表的方法求同时选出的两名同学都是女生的概率．
21. (本小题12.0分)
在博山区红叶柿岩景区，一座美丽壮观的“圆梦塔”屹立于山顶之上，非常引人注目(如图1).某数学小组在研学活动中为测量塔的高度，在A处(如图2)测得塔顶C的仰角为45°，然后沿着斜坡AB前进13m到达B处，在B处测得到塔脚的距离BD=15m，已知tan∠BAF=512，∠E=90°，求塔的高度CD．
22. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO=5，sin∠AOD=45，B点的坐标为(−6,n)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象直接写出不等式mx
23. (本小题13.0分)
如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
(1)求证：△AFG∽△DFC；
(2)求证：AG=AE；
(3)若正方形ABCD的边长为5，AE=2，求∠EAF的正切值和⊙O的半径．
24. (本小题13.0分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)与x轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，顶点为C，点P为线段AB上的动点(不与A、B重合)，过P作PQ//BC交抛物线于点Q，交AC于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求△CPD面积的最大值；
(3)连接CQ，当CQ⊥PQ时，求点Q的坐标；
(4)点P在运动过程中，是否存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的定义解答即可．
本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：A.3和|−3|=3不互为相反数，不符合题意；
B.−|−3|=−3和−(−3)=3互为相反数，符合题意；
C.−3和3−27=−3不互为相反数，不符合题意；
D.−3和13不互为相反数，不符合题意．
故选：B．
根据求一个数的绝对值，化简多重符号，求一个数的立方根，逐项化简各数，分析判断即可求解．
本题考查了求一个数的绝对值，化简多重符号，求一个数的立方根，判断相反数，分别化简各数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据按键顺序可知算式为 3．
故选：D．
根据按键的顺序即可得出算式．
本题考查了科学计算器的使用与平方根，掌握“2ndF”与“平方根”键组合表示求一个数的平方根是关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、x3与−x不能合并，故A不符合题意；
B、(−2x2)3=−8x6，故B不符合题意；
C、(x+2)2=x2+4x+4，故C不符合题意；
D、(2x2y)÷(2xy)=x，故D符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
由电路图可知，当同时闭合开关S1和S2，或S1和S3，或S1和S4时，灯泡能发光，画树状图得出所有等可能的结果数和灯泡能发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】
解：由电路图可知，当同时闭合开关S1和S2，或S1和S3，或S1和S4时，灯泡能发光，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中随机闭合两个开关灯泡能发光的结果有6种，
∴灯泡能发光的概率为612=12．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：△ACD的周长的为：AC+CD+AD，
△BCD的周长的为：BC+CD+BD，
∵AC=9cm，BC=3cm，要使△ACD和△BCD的周长的差是6cm，
∴AC+CD+AD−(BC+CD+BD)=6，
即：9+CD+AD−(3+CD+BD)=6，
则有：AD−BD=0，
∴AD=BD，
故CD是AB边上的中线．
故选：A．
先表示出△ACD和△BCD的周长，再根据其差为6，可得9+CD+AD−(3+CD+BD)=6，进而可得AD=BD，问题得解．
本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的角平分线、中线和高，三角形的三边关系，掌握三角形中位线定理是解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵平均数为23，
∴30×2+25x+20y+1510=23，
∴25x+20y=155，
即：5x+4y=31，
∵x+y=7，
∴x=3，y=4，
∴中位数b=20+252=22.5，众数a=20，
∴a−b=20−22.5=−2.5，
故选：B．
首先根据平均数求得x、y的值，然后利用中位数及众数的定义求得b和a的值，从而求得a−b的值即可．
本题考查了众数及中位数的定义，求得x、y的值是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB=18°，
∴∠AOB=2∠ADB=36°，
∴这个正多边形的边数=360°36∘=10，
故选：A．
根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=36°，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵y=ax2−a2x=ax(x−a)，
∴抛物线经过原点和点(a,0)，
∵y=ax−a2=a(x−a)，
∴函数y=ax−a2经过点(a,0)，
∴函数y=ax2−a2x与y=ax−a2(a≠0)交于x轴同一点(a,0)，
①当a>0时，二次函数y=ax2−a2x的图象开口向上、对称轴在y轴的右侧，一次函数y=ax−a2(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点；
②当a<0时，二次函数y=ax2−a2x的图象开口向下、对称轴在y轴的左侧，一次函数y=ax−a2(a≠0)的图象经过第二、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点．
故选项B不可能．
故选：B．
分a>0与a<0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过点A作x轴的垂线EF，过点B作BE⊥EF于E，过点D作DF⊥EF于F，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
在△DAF和△ABE中，
∠AFD=∠BEA∠DAF=∠ABEAD=AB，
∴△DAF≌△ABE(AAS)，
∴AF=BE，AE=DF，
∵四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(4,−1)，点D的坐标为(6,3)，
∴点B的坐标为(8,−3)，
∵以原点O为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，
∴点B的对应点B1的坐标是(8×12,−3×12)或(8×(−12),3×(−12))，即(4,−32)或(−4,32)，
故选：D．
先根据图形求出点B的坐标，根据以原点O为位似中心的位似图形的性质计算．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
11.【答案】8
【解析】解：(−13)−2−(π−2)0
=9−1
=8．
故答案为：8．
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】5
【解析】解：由题意得：
a2+a=a+25，
∴a2=25，
∴a=±5，
当a=−5时， a+25= −5+25= 20=2 5，
∴ a+25不是最简二次根式，
∴a=−5，不符合题意，舍去，
∴a=5，
故答案为：5．
根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得：a2+a=a+25，然后进行计算即可解答．
本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握同类二次根式和最简二次根式的定义是解题的关键．
13.【答案】0
【解析】解：由表格可得抛物线经过(−2,3)，(0,3)，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
∴(−3,0)，(1,m)关于对称轴对称，
∴m=0，
故答案为：0．
由表格个可得抛物线对称轴，再由抛物线对称性求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数对称性．
14.【答案】23π− 3
【解析】
【分析】
连接CE，由扇形CBE面积−三角形CBE面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接CE，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°−∠A=60°，
∵CE=CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB=60°，BE=BC=2，
∴S扇形CBE=22×60π360=23π
∵S△BCE= 34BC2= 3，
∴阴影部分的面积为23π− 3．
故答案为：23π− 3．
15.【答案】①②④
【解析】解：过B作BH⊥EF交EF于H，延长BH到P，使PH=BH，则P点就是B点关于EF的对称点，且BP=2BH．
∴BP=2BH=2×AB×sina=4sinα，
∵30°<α<45°，
∴12
∵60°
特别说明：在△ABC中，
∠A=90°，∠ACB=30°，延长AC到D，使CD=BC，连结BD，
∴sin75°=sin∠ABD=ADBD=(2+ 3)α( 6+ 2)α= 6+ 24，
∴②正确；
∵BP=1，
∴BH=12，
∴sina=BHAB=12 2=14，
∴sin15°= 6− 24≠14，
∴③不正确；
∵BP=2 3，
∴BH= 3，
∴sinα=BHAB= 32，
∴a=60°或120°，
∴④正确；
故正确的有：①②④
首先作B点关于EF的对称点P，BP=4sinα，然后根据α取值范围，即可判定①②正确；再根据正弦定义可以对③④进行判断．
本题考查菱形性质、轴对称性质、三角函数定义，解题关键是熟练掌握三角函数定义．
16.【答案】解：根据题中的新定义得：(2*3)*2=(2+2×32)*2=4*2=4+44=2．
【解析】根据新定义运算列式子计算即可．
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17.【答案】解：2xx−3+1=63−x，
方程两边都乘x−3，得2x+x−3=−6，
解得：x=−1，
检验：当x=−1时，x−3≠0，
所以x=−1是分式方程的解，
即分式方程的解是x=−1．
【解析】方程两边都乘x−3得出2x+x−3=−6，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠ADF=∠CBEDF=BE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)；
(2)由(1)知：△ADF≌△CBE，
∴AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴∠AFE=∠FEC，
∴AF//EC，
又∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质得出∠ADF=∠CBE，进而证明△ADF≌△CBE(SAS)；
(2)根据△ADF≌△CBE，得出AF=CE，∠AFD=∠CEB，进而得出∠AFE=∠BEC，可得AF//EC，进而即可得证．
本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)4;
(3)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点P，如图，则A′(−1,1)，
设直线BA′的解析式为y=kx+b，
把A′(−1,1)，B(4,2)代入得−k+b=14k+b=2，
解得k=15b=65,
∴直线BA′的解析式为y=15x+65，
当x=0时，y=15x+65=65，
∴P(0,65).
【解析】(1)见答案；
(2)△A1B1C1的面积=3×3−12×3×1−12×3×1−12×2×2=4．
故答案为：4；
(3)见答案。
(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算)△A1B1C1的面积；
(3)作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点P，如图，则A′(−1,1)，利用待定系数法求出直线BA′的解析式为y=15x+65，然后求出直线与y轴的交点坐标即可．
本题考查了作图−轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．也考查了最短路径问题．
20.【答案】解：(1)九年级接受调查的同学总数为10÷20%=50(人)，
则“听音乐”的人数为50−(10+5+15+8)=12(人)，
补全图形如下：
(2)估计该校九年级听音乐减压的学生约有500×1250=120(人)．
(3)画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出同学是都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率为220=110．
【解析】(1)利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可求得总人数，求出听音乐的人数即可补全条形统计图；
(2)用总人数乘以样本中“听音乐”人数所占比例即可得；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：由题意得：BD=EF=15m，BF=DE，
在Rt△ABF中，tan∠BAF=BFAF=512，
∴设BF=5x m，则AF=12x m，
∴AB= AF2+BF2= (5x)2+(12x)2=13x(m)，
∵AB=13m，
∴13x=13，
解得：x=1，
∴AF=12m，BF=5m，
∴AE=AF+EF=27(m)，DE=BF=5m，
在Rt△AEC中，∠CAE=45°，
∴CE=AE⋅tan45°=27(m)，
∴CD=CE−DE=27−5=22(m)，
∴塔的高度CD为22m．
【解析】根据题意可得：BD=EF=15m，BF=DE，然后在Rt△ABF中，根据已知可设BF=5x m，则AF=12x m，从而利用勾股定理求出AB的长，进而求出AF，BF的长，最后可求出AE，DE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出CD的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AD⊥x轴于点D，AO=5，sin∠AOD=45，
∴ADOA=45，
∴AD=4，
∴OD= OA2−AD2=3，
∴点A(3,4)，
∵反比例函数y=mx的图象过点A，
∴m=3×4=12，
故反比例函数的表达式为：y=12x，
把(−6,n)代入得，n=12−6=−2，
∴B(−6,−2)，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得3k+b=4−6k+b=−2，
解得k=23b=2，
故一次函数的表达式为：y=23x+2；
(2)把y=0代入y=23x+2，求得x=−3，
∴C(−3,0)，
∴△AOB的面积S=S△AOC+S△BOC=12×3×(4+2)=9；
(3)观察图象，不等式mx
【解析】(1)解直角三角形求得AD，利用勾股定理求得OD，即可求得点A(3,4)，故反比例函数的表达式为：y=12x，从而求得B(−6,2)，将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
(2)首先求得C点的坐标，然后利用△AOB的面积S=S△AOC+S△BOC求得即可；
(3)根据图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了解直角三角形，反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
23.【答案】(1)证明：∵正方形ABCD，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AD=CD
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠AGF=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．
(2)证明：∵△AFG∽△DFC，
∴AFDF=AGDC，
∵tan∠ADE=AFDF=AEAD，
∴AEAD=AGDC，
∴AG=AE；
(3)解：如图，连接CG．
∵正方形ABCD的边长为5，AE=2，
∴AG=AE=2，AD=DC=5，
∴DG=AD−AG=3，
∴CG= CD2+DG2= 32+52= 34，
∵∠ADE=∠EAF=90°−∠DAF
∴tan∠EAF=tan∠ADE=AEAD=25
∵∠ADC=90°，
∴CG是直径，
∴⊙O的半径为12CG= 342．
【解析】(1)利用同角的余角相等证明∠FAG=∠FDC，利用圆内接四边形的性质证明∠AGF=∠FCD即可；
(2)由△AFG∽△DFC可得AFDF=AGDC，由tan∠ADE=AFDF=AEAD可得AEAD=AGDC，即可得到AG=AE；
(3)利用tan∠ADE=tan∠EAF=AEAD求出∠EAF的正切值，再证明CG是直径，求出CG即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点，
∴1+b+c=09−3b+c=0，
解得：b=2c=−3，
∴该抛物线的表达式为y=x2+2x−3；
(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴顶点C(−1,−4)．
∵A(1,0)，B(−3,0)，
∴OA=1，OB=3．
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
则CE=4，OE=1，
∴AE=OA+OE=2．
设OP=t，则AP=1+t，AB=OA+OB=4，
∵PQ//BC，
∴△APD∽△ABC，
∴ADAC=APAB=1+t4．
∵CE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴CE//DF，
∴△ADF∽△ACE，
∴DFCE=ADAC=1+t4，
∴DF4=1+t4，
∴DF=1+t．
∴S△CPD=S△ACP−S△ADP
=12×AP⋅CE−12×AP⋅DF
=12×(1+t)×4−12×(1+t)2
=−12t2+t+32
=−12(t−1)2+2，
∵−12<0，
∴当t=1时，△CPD面积的最大值为2；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴−3k+n=0−k+n=−4，
解得：k=−2n=−6，
∴直线BC的解析式为y=−2x−6，
∵CQ⊥PQ，PQ//BC，
∴CQ⊥BC．
∴设直线CQ的解析式为y=12x+m，
∴−12+m=−4，
∴m=−72，
∴直线CQ的解析式为y=12x−72．
∴y=12x−72y=x2+2x−3，
解得：x=−1y=−4或x=−12y=−154．
∴Q(−12,−154)；
(4)点P在运动过程中，存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形，理由：
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图，
AC= CE2+AE2= 42+22=2 5．
①当AD=AO=1时，
∵PQ//BC，
∴△ADP∽△ACB，
∴APAB=ADAC，
∴AP4=12 5，
∴AP=2 55，
∴P(1−2 55,0)；
②当AD=DO时，
∵DF⊥x轴，
∴FO=FA=12．
∴D的横坐标为12．
设直线AC的解析式为y=ax+d，
∴a+d=0−a+d=−4，
解得：a=2d=−2，
∴直线AC的解析式为y=2x−2．
当x=12时，y=−1，
∴D(12,−1)．
由(3)知：直线BC的解析式为y=−2x−6，
∵PQ//BC，
∴设直线PQ的解析式为y=−2x+e，
∴−2×12+e=−1，
∴e=0，
∴直线PQ的解析式为y=−2x，
∴P(0,0)；
③当AO=DO=1时，则∠OAD=∠ODA，
由题意：CE垂直平分AB，
∴CB=CA，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠OAD=∠ODA=∠CAB=∠CBA，
∴△OAD∽△CBA，
∴OAAC=ADAB，
∴12 5=AD4，
∴AD=2 55．
∵CE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴CE//DF，
∴△AFD∽△AEC，
∴AFAE=ADAC，
∴AF2=2 552 5．
∴AF=25，
∴OF=1−AF=35．
∴D的横坐标为35．
当x=35时，y=2×35−2=−45．
∴D(35,−45).
设直线PQ的解析式为y=−2x+f，
∴−2×35+f=−45．
∴f=25．
∴直线PQ的解析式为y=−2x+25，
令y=0，则−2x+25=0，
∴x=15．
∴P(15,0)．
综上，点P在运动过程中，存在以A、O、D为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(1−2 55,0)或(0,0)或(15,0)．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)利用配方法求得点C的坐标，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OP=t，则AP=1+t，AB=OA+OB=4，利用相似三角形的判定与性质求得线段DF，利用S△CPD=S△ACP−S△ADP求得△CPD面积，再利用配方法和二次函数的性质解答即可；
(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式，再利用平行线的性质和待定系数法求得直线CQ的解析式，将直线CQ的解析式与抛物线的解析式联立，解方程组即可得出结论；
(4)利用分类讨论的思想方法，分3种情形讨论解答：①当AD=AO=1时，利用相似三角形的判定与性质求得线段AP即可；②当AD=DO时，利用等腰三角形的性质和待定系数法解答即可；③当AO=DO=1时，利用抛物线的性质，相似三角形的判定与性质和待定系数法解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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