拓展课　匀速圆周运动规律的应用

拓展点一　匀速圆周运动的多解问题

匀速圆周运动多解问题的解题思路

分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。

[试题案例]

[例1] 如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体的质量为m，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。

解析　速度相同即速度大小、方向都相同，B水平向右运动，A一定要在最低点才能保证速度水平向右。由题意可知，当A从M点运动到最低点时

t＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，线速度v＝ωr

对于B(初速度为0)：

v＝at＝＝

解得F＝(n＝0，1，2，…)。

答案　(n＝0，1，2，…)

方法总结

解答有关圆周运动的问题时，常出现的错误是没有考虑到圆周运动的周期性而漏解。因此，在解答此类问题时要特别注意可能会出现的符合题意的多种情况，防止漏解。

[针对训练1] (多选)如图所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角，当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是(　　)

A.600 r/min  B.900 r/min

C.1 200 r/min   D.3 000 r/min

解析　风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T灯内，风扇转过的角度是120°的整数倍，即圈的整数倍，而T灯＝ s，所以风扇的最小转速nmin＝＝10 r/s＝600 r/min。故满足题意的可能转速为n＝knmin＝600k r/min(k＝1，2，3…)。选项A、C、D正确。

答案　ACD

拓展点二　匀速圆周运动与其他运动综合问题

圆周运动经常与平抛运动和直线运动等不同的运动相结合，虽然运动具有独立性，并遵循各自的运动规律，但不同的运动规律在解决同一问题时，必然有一个物理量起“桥梁”作用，将两种不同的运动联系起来，这个“桥梁”常常是“时间”。分析求解具体问题时，也要特别注意由圆周运动而引起的多解的情况。

[试题案例]

[例2] 如图所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动，O轴离地面高为2R，轮上a、b两点与O点连线相互垂直，a、b两点均粘有一小物体。当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上。

隐含：b处的小物体一定做竖直下抛运动

(1)试判断圆轮的转动方向；

(2)求圆轮转动的角速度(重力加速度为g)。

解析　(1)由题意知，a、b两点处的物体脱离圆轮后在空中的运动时间相等，因hb＞ha，所以脱离时b点处物体的速度方向应竖直向下，即圆轮的转动方向为逆时针方向。

(2)a、b两点处的物体脱落前分别随圆盘做匀速圆周运动v0＝ωR

脱落后a点处物体做平抛运动竖直方向R＝gt2

b点处物体做竖直下抛运动2R＝v0t＋gt2

联立以上各式可得ω＝。

答案　(1)逆时针　(2)

[针对训练2] 如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求：

(1)小球的初速度；

(2)圆盘转动的角速度ω。

解析　(1)小球做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，则运动时间t＝。又因为水平位移为R，

所以小球的初速度

v＝＝R。

(2)在时间t内圆盘转过的角度

θ＝n·2π(n＝1，2，3，…)，

又因为θ＝ωt，则圆盘角速度

ω＝＝2nπ(n＝1，2，3，…)。

答案　(1)R　(2)2nπ(n＝1，2，3，…)

1.为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距l＝2 m，轴杆的转速为n＝3 600 r/min。子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示。则该子弹的速度可能是(　　)

A.360 m/s   B.720 m/s

C.1 440 m/s   D.108 m/s

解析　子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πk＋(k＝0，1，2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝ m/s(k＝0，1，2，…)，k＝0时，v＝1 440 m/s；k＝1时，v≈110.77 m/s；k＝2时，v＝57.6 m/s；……，C正确。

答案　C

2.如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘的水平距离为L。将飞镖对准A点以初速度v0水平抛出，在飞镖抛出的同时，圆盘以角速度ω绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动。要使飞镖恰好击中A点，则飞镖的初速度和圆盘的角速度应满足(　　)

A.v0＝L，ω＝nπ(n＝1，2，3，…)

B.v0＝L，ω＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)

C.v0＞0，ω＝2nπ(n＝1，2，3，…)

D.只要v0＞L，就一定能击中圆盘上的A点

解析　飞镖平抛有L＝v0t，d＝gt2，则v0＝L，在飞镖运动的时间内圆盘转过角度Δθ＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)，又Δθ＝ωt，得ω＝(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)。B项正确。

答案　B

3.如图所示，光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，已知角速度为6 rad/s，圆周半径为0.5 m，桌面离地高度为0.8 m。求：(g取10 m/s2)

(1)小球的线速度大小；

(2)某时刻细线突然断了，小球离开桌面后做平抛运动所用的时间；

(3)小球落地前瞬间的速度大小。

解析　(1)根据v＝ωr，得v＝3 m/s。

(2)小球平抛运动时间t＝得t＝0.4 s。

(3)小球平抛运动的竖直分速度vy＝gt＝4 m/s，小球落地前的速度v＝，得v＝5 m/s。

答案　(1)3 m/s　(2)0.4 s　(3)5 m/s

4.如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，可绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方h处有一个正在不断滴水的容器，每当一滴水落在盘面时恰好下一滴水离开滴口。某次一滴水离开滴口时，容器恰好开始水平向右做速度为v的匀速直线运动，将此滴水记作第一滴水。不计空气阻力，重力加速度为g。求：

(1)相邻两滴水下落的时间间隔；

(2)要使每一滴水在盘面上的落点都在一条直线上，圆盘转动的角速度；

(3)第二滴和第三滴水在盘面上落点之间的距离最大可为多少？

解析　(1)相邻两滴水离开滴口的时间间隔就是一滴水下落的时间

由h＝gΔt2，

可得Δt＝。

(2)每一滴水在盘面上的落点都在一条直线上，Δt时间内圆盘转过的弧度为kπ

ω＝＝＝kπ(k＝1，2，…)。

(3)第二滴和第三滴水的落点恰能在一条直径上且位于O点两侧时，距离最大

s1＝v·2Δt，s2＝v·3Δt

所以s＝s1＋s2＝5vΔt

s＝5v。

答案　(1)　(2)kπ(k＝1，2，…)　(3)5v