2022-2023学年江苏省百校联考高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省百校联考高二（下）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，，，若三个向量，，共面，则实数等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从，，，，，中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  习近平总书记强调：“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创造性劳动”这一重要论述，突出了劳动教育对于新时代立德树人的重要意义，是我们开展劳动教育工作的重要遵循为了积极落实习近平总书记讲话的精神，高中课程中安排劳动课，我校高二班本周星期五下午要上节课，若把语文、数学、劳动、体育这门课安排在星期五下午，劳动课必须比数学课先上，则不同的排法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4.  的展开式中的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  随机变量的分布列如表，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  设函数，对任意，，若，则下列式子成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  春天来了，万物复苏，为了加深学生对农作物的理解，让学生更加深刻地感受幸福生活的来之不易，现从江苏省范围内种植的种农作物中抽取种进行调查研究，其中水稻和小麦必须至少选择一种进行调查研究，则不同的抽取方法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若是函数的极值点，则下列结论正确的有(    )

A.  B. 在上单调递减
C. 的极小值点为 D. 当时，取得最大值

11.  在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质如图，这是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的个碳原子以完全相同的方式连接从立体几何的角度来看，可以认为个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这个碳原子距离都相等的位置，如图所示这就是说，图中有，若正四面体的棱长为，则
(    )

A.  B.
C.  D.

12.  关于多项式的展开式，下列结论正确的是(    )

A. 各项系数之和为 B. 各项系数的绝对值之和为
C. 存在常数项 D. 的系数为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，分别是直线和平面的方向向量和法向量，若，，则直线与平面所成角的大小为______ ．

14.  的展开式中的系数等于______ ．

15.  某种品牌手机的使用寿命单位：年服从正态分布，且使用寿命不少于年的概率为，使用寿命不少于年的概率为某人同时购买了部该种品牌的手机，则在年内这部手机至少有部手机能正常使用的概率为______ ．

16.  从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，一共可以组成______ 个没有重复数字的四位数，______ 个没有重复数字的能被整除的四位数．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
求解下列方程和不等式．
；
．

18.  本小题分
若，求下列各式的值．
；
；
．

19.  本小题分
在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，．
求证：．
求平面和平面所成角的大小．

20.  本小题分
某幼儿园决定在年“六一“”儿童节来临之际举行“我和祖国一起成长”的主题活动，活动中有一个环节是抽奖为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该幼儿园面向该市某高中学生征集活动方案，某中学高二班数学兴趣小组提供的方案获得了征用方案如下，将一个的正方体各面均涂上红色，再把它分割成个相同的小正方体经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖一次中奖的礼品价值为．
求．
凡是“六一”当天在幼儿园的家长和儿童均可参加抽奖记抽取的两个小正方体着色面数之和为，设为特等奖，获得价值元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为，设为一等奖，获得价值元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为，设为二等奖，获得价值元的礼品；其他情况不获奖求某家长或儿童抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．

21.  本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
函数，若，，，求实数的取值范围．

22.  本小题分
在生产、生活中产生的大量垃圾，正在严重侵蚀我们的生存环境，垃圾分类是实现垃圾减量化、资源化、无害化，避免“垃圾围城“的有效途径垃圾分类是一项“利国利民”的民生工程，需要全社会的共同参与为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在吾悦广场举办了“垃圾分类，从我做起”的生活垃圾分类大型宣传活动，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．
为调查志愿者是否与文化水平有关，现随机选取了一部分居民进行调查，其中被调查的具有大专及以上文化的居民和大专文化以下的居民人数相同，大专文化以下的居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者的人数占其总数的，大专及以上文化的居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者的人数占其总数的，若研究得到在犯错误概率不超过的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与文化程度有关，则被调查的大专及以上文化的居民至少有多少人？
附：，．

某垃圾站的日垃圾分拣量千克与垃圾分类志愿者人数满足回归直线方程，数据统计如下：

已知，，，，根据所给数据求和回归直线方程，附：，．
某小区对垃圾投放实行视频监控，经大数据分析，日均垃圾投放约人次，能将垃圾分类投放的约人次，将此频率视为概率，现随机抽取人次调查，记表示“垃圾进行分类投放”的次数，求的分布列和数学期望．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为向量，，，且向量，，共面，
所以，、；
即，
解得，，．
故选：．
根据空间向量的共面定理列方程组即可求出的值．
本题考查了空间向量的共面定理应用问题，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，从，，，，，中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，
则，，
故．
故选：．
根据题意，由古典概型公式求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，属于条件概率的计算公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：把把语文、数学、劳动、体育这门课程任意排列，共有种情况，
因为劳动课必须比数学课先上，则不同的排法有种．
故选：．
先求出门课程任意排列有种情况，从而求出劳动课必须比数学课先上的排法有种．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：的展开式中的通项为，
令，得，
常数项为．
故选：．
由题意，利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据随机变量的对应概率之和为可知，，则，
则，解得，
所以，
所以．
故选：．
根据随机变量的对应概率之和为计算，进而求出，再结合期望和方差公式，计算即可．
本题考查离散型随机变量的期望和方差，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：不等式 在区间上恒成立 在上恒成立，
令 ，
．
在区间上，，函数为减函数；
在区间上，，函数为增函数．
时，函数取得极小值，
则，
解得，
实数的取值范围是．
故选：．
不等式 在区间上恒成立 在上恒成立，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值及最值即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．

在棱长为的正方体中，是棱的中点，
则，，，．
所以，
，
．
，，
因为异面直线和所成角的余弦值为，
所以，解得舍去
有，．
，，则，
故异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再结合向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查异面直线及所成的角，考查转化能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，故函数为偶函数，
当时， ，
则  
   
  ．
故在区间上单调递增，
据此可得：．
故选：．
根据函数的单调性和奇偶性解不等式求出答案即可．
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项A，若在水稻或者小麦中选种，有种选法，若水稻和小麦种都选，有种选法，所以A正确；
选项B，先在水稻和小麦中选择种，有种选法，再从剩余的种农作物中选择种，有种选法，
两种农作物都被选中出现重复计算，所以B错误；
选项C，在种农作物中任选种，有种选法，除去水稻和小麦被选中的方法数，所以C正确；
选项D，是在剔除答案B重复的部分，即水稻和小麦都被选中的情况，所以D正确．
故选：．
利用排列组合知识，结合计数原理判断即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
是函数的极值点，，
即，解得，
此时，
令，解得，，
由可得或；由可得，
在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极小值点为，的极小值为，
的极大值点为，的极大值为，
AB正确，CD错误．
故选：．
求出函数的导数，根据，求出的值判断，再代入的值，解关于导函数的不等式求出函数的不等式，判断，从而判断．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图所示，是顶点在下底面的射影，是斜高，是四面体的高，
是下底面外接圆的半径，是下底面内切圆的半径，
则，，，．
对于，由于，所以，故A错误；
对于，因为为正四面体中心，故有，
所以，故B正确；
对于，在正四面体中，因为底面，底面，所以，所以，故C正确；
对于，，，故D正确．
故选：．
沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体，计算所需线段长度，即可计算相关向量的模长，数量积等，由此求得结果．
本题考查命题真假的判断，空间中的线线、线面关系及向量的数量积运算，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在多项式的中，令，得各项系数之和为，故A错误．
依题意，各项系数的绝对值之和，即的展开式各项系数和，
令，可得的展开式各项系数和为，故B正确．
由，易知该多项式的展开式的通项公式，
故展开式中一定存在常数项，故C正确．
由题中的多项式可知，若出现，可能的组合只有 及 ，
故的系数为，故D正确．
故选：．
由题意，根据二项展开式的通项公式，通过给变量赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，是给变量赋值的问题，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于，，所以，，所以直线与所成的角为．
故答案为：．
利用已知条件，真假求解直线与平面所成角，即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：的展开式中的系数为：
．
故答案为：．
所给式子的展开式中的系数是，再利用二项式系数的性质化简为，运算求得结果．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
所以，
所以正态分布曲线的对称轴为，即，
即部该种品牌的手机在年内能正常使用的概率为．
所以这部手机中至少有部手机能正常使用的概率为．
故答案为：．
根据题意可知，进而得到正态分布的对称轴，再结合二项分布，求解即可．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
 

16.【答案】   

【解析】解：组成没有重复数字的四位数，分两种情况讨论：
若不取零，则排列数为；
若取零，则排列数为．
因此一共有个没有重复数字的四位数．
组成没有重复数字的能被整除的四位数，有三种情况：
四位数中包含不含时，则排列数为；
四位数中包含不含时，则排列数为；
四位数中既包含又包含时，则排列数为
因此一共有个．
故答案为：；．
空：组成没有重复数字的四位数，分两种情况进行讨论：不取零和取零；
空：组成没有重复数字的能被整除的四位数，分三种情况进行讨论：四位数中包含不含；四位数中包含不含；四位数中既包含又包含．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：由题意得，
化简得，解得
又所以
由及得．
，则，
即，
解得舍去或．
故方程的解为． 

【解析】由已知结合排列数公式即可求解；
由已知结合组合数公式进行化简即可求解．
本题主要考查了排列数及组合数公式的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：令，则，
所以．
故，当时，．
令，得，令，得，
所以．
因为，
两边对求导得，
令，得． 

【解析】直接利用二项项展开式的应用求出结果；
利用赋值法求出结果；
利用函数的求导和赋值法求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：平面平面，
且，平面平面，平面，
平面，又平面，
．
解：不妨令，由得平面，由是矩形，得，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，．
设平面的法向量为，
则，
令，得，，
平面的法向量为，
易知平面的一个法向量为．
又，，
两平面法向量的夹角为，
故平面和平面所成角的大小为． 

【解析】由已知可证平面，可证．
令，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求平面和平面所成角的大小．
本题考查线线垂直的证明，考查面面角的求法，属中档题．
 

20.【答案】解：在个小正方体中，三面着色的有个，两面着色的有个，一面着色的有个，另外个没有着色，
；
的所有可能取值为，，，，，，，
的取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：

故E． 

【解析】确定三面着色、两面着色、一面着色、没有面着色的小正方体的个数，然后求出事件含有的基本事件的个数，从而由概率公式计算概率；
由题意的所有可能取值为，，，，，，，的取值为，，，，求出各概率后得分布列，再由期望公式计算期望．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意得函数的定义域为，，
当时，由得，由得，
在内单调递减，在内单调递增，
当时，由得或，
当时，由得，由得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
当时，恒成立，
在内单调递增，
当时，由得，由得或，
在上单调递减，在和上单调递增；
综上所述，当时，在内单调递减，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在及内单调递增；
当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在及内单调递增；
由题意得的定义域为，则，
，
恒成立，即在内单调递增，
不妨设，则，
，
令，
则在内单调递减，
，
对恒成立，
即对恒成立，
，
又，
当且仅当，即时等号成立．
，故实数的取值范围为． 

【解析】由题意得函数的定义域为，，分类讨论，，，，利用导数与单调性的关系，即可得出答案；
由题意得的定义域为，则，结合题意可得在内单调递增，题意转化为，构造函数，则在内单调递减，即对恒成立，利用分离变量法可得对恒成立，即，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：设被调查的大专及以上文化的居民人数为，
大专文化以下的居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者的人数占其总数的，大专及以上文化的居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者的人数占其总数的，
则大专文化以下的居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者的人数为，
大专及以上文化的居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者的人数为，
列联表如下：

，
因为犯错误的概率不超过，所以，即，
因而被调查的大专及以上文化的居民至少有人．
由，解得，
又，
，
所以，
所以回归直线方程为；
日均垃圾投放约人次，能将垃圾分类投放的约人次，将此频率视为概率，
能将垃圾分类投放的概率，
则，由题意可知，的可能取值为，，，，，．
，，
，，
，，
所以的分布列为：

故E． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解；
根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的性质，即可求解；
根据已知调剂爱你，推得的可能取值为，，，，，，依次求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列，以及期望的求解，考查转化能力，属于中档题．