2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高一（下）段考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市创新发展联盟高一（下）段考数学试卷（6月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  六一儿童节，某商场计划从位男员工、位女员工中选调人加强前台服务工作，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女员工人数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若的面积等于，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在矩形中，，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图为四边形，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料甲、乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙都中奖”，则与互为对立事件的是(    )

A. 甲、乙恰有一人中奖 B. 甲、乙都没中奖
C. 甲、乙至少有一人中奖 D. 甲、乙至多有一人中奖

5.  关于空间中两条不同的直线，与两个不同的平面，，下列说法正确的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

6.  已知点在的内部，，分别为边，的中点，且，则
(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知集合，且，，则关于的方程无实数根或的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周、东汉、魏、西晋、北魏、隋、唐、后梁、后唐个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按：比例仿制的中国青铜时代的象征西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅太极河图如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度参考数据：取(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若，则(    )

A. 的虚部为 B. 为纯虚数
C. 为实数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限

10.  若向量满足，，则(    )

A.  B.
C.  D.

11.  年至年全国快递业务量及其年增长速度如图所示，则(    )


 

A. 年至年全国快递业务量逐年增长
B. 年至年全国快递业务量的年增长速度的分位数为
C. 年至年全国快递业务量的年增长速度的分位数为
D. 年全国快递业务量小于亿件

12.  如图，在正方体中，，点为线段上的一动点，则(    )

A. 三棱锥的体积为定值
B. 当时，直线与平面所成角的正切值为
C. 直线与直线所成角的余弦值可能为
D.  的最小值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，则 ______ ．

14.  已知数据，，，，，的极差为，平均数小于，请写出一个满足条件的的值______ ．

15.  的内角，，的对边分别为，，，，，则 ______ ， ______ ．

16.  在正四棱柱中，，，，分别为和的中点则三棱锥外接球的表面积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，为抛物线的顶点与关于原点对称．
求线段的中点坐标；
求向量在上的投影向量的坐标．

18.  本小题分
如图，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且．
证明：平面，
作出二面角的平面角，并求其大小．

19.  本小题分
河南省地处中原地区，是我国的主要粮食产区，素有“中原粮仓”之称近年来，随着科技的发展，越来越多的农民采用无人播种机、无人旋耕机、无人植保车等一系列“智慧农机”耕种田地，极大地提高了耕作效率某地区对名使用了“智慧农机”的农民耕种的田地面积单位：亩进行统计，将数据按，，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示．
估计这名农民耕种田地面积的中位数结果保留小数点后一位；
估计这名农民耕种田地面积的平均数及标准差同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表，结果保留整数．

20.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，．
求的大小；
若，点满足，求的面积．

21.  本小题分
如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
证明：平面平面．
若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的表面积．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向上、向下移动的概率都是，向左移动的概率为，向右移动的概率为．
若，点移动两次后，求点位于的概率；
点移动三次后，点位于的概率为，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：按照性别进行分层抽样，应抽取的女员工人数为：
．
故选：．
根据分层随机抽样原理，计算即可．
本题考查了分层随机抽样原理应用问题，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意有，
则有，
即，则．
故选：．
根据三角形面积公式和向量数量积定义，比较即可得出．
本题考查三角形面积公式及平面向量数量积定义，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据斜二测画法画出的直观图四边形中，
，，
所以四边形的周长为．
故选：．
根据斜二测画法画出的直观图中，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的倍，由此求解即可．
本题考查了斜二测画法画出的直观图应用问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：甲乙两名同学都购买这种饮料，
则样本空间甲中，乙中，甲中，乙不中，甲不中，乙中，甲不中，乙不中，
由对立事件的定义可知，若“甲、乙都中奖”，则“甲、乙至多有一人中奖”，即D正确．
故选：．
根据对立事件的定义直接判定即可．
本题考查对立事件的定义，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，直线、可以平行、相交，也可以异面，A错误；
对于，若，，，则，B错误；
对于，若，，，则可以与平面相交，C错误；
对于，若，，则，又由，则，D正确．
故选：．
根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查空间直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直、平行的判断和性质的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可知：，
，
，
故．
故选：．
根据、为中点，结合向量的线性运算，可找出与的关系，从而得到模的关系．
本题考查向量的线性运算和模的概念，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
若方程无实数根，则
即，则满足不等式的实数对，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
若，则，满足题意的实数对有，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
统上，满足方程无实数根或的实数对有，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共个，
而所有的组合有个，
则对应的概率．
故选：．
求出方程无实数根和不等式对应的解集，利用列举法进行求解即可．
本题主要考查概率的计算，根据古典概型的概率公式，利用列举法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，
设，则，，
在中，由余弦定理得，
即，解得或不合题意，舍去，
故九龙鼎的高度．
故选：．
由题意得，设，则，，利用余弦定理，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：若，
则，
故A错误，
，是纯虚数，故B正确，
，是实数，故C正确，
在复平面内对应的点是，
位于第四象限，故D错误．
故选：．
根据复数的运算，求出，判断，计算，判断．
本题考查了复数的运算及其相关定义，考查转化思想，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由可得：，
整理得，即，故A正确；
又，则有，即，
，，故B正确；
由，可得，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据平面向量数量积的性质，把向量的模转化为向量平方进行计算，即可判定各选项．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对选项A：年至年全国快递业务量逐年增长，正确；
对选项B：，故分位数为，错误；
对选项C：，故分位数为，正确；
对选项D：年全国快递业务量为，错误．
故选：．
根据图像和百分位数的计算公式依次判断每个选项即可．
本题考查频率分布直方图的性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，根据等体积法可知，点在线段上运动时，
的面积为定值，，此时即为三棱锥的高，
所以，
即点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，即A正确；
对于，当时，即可知，为线段的中点，
取的中点为，连接，，如下图所示：

易知，由正方体性质可得平面，所以可得平面，
即直线与平面所成角的平面角为，易知且，，
所以，所以B错误；
对于，在上取一点，使，取中点为，连接，如下图所示：

则可得，异面直线与直线所成的角的平面角即为，
易知，所以可得，因此，
若直线与直线所成角的余弦值为，即，可得，
又，可得符合题意，所以C正确；
对于：易知，所以，
 即当取最小时，的值最小；
将正方体展开使得，，在同一平面内，如下图所示，

易知，当且仅当，，三点共线时，取最小值，
所以
，
即的最小值为，所以D正确．
故选：．
依据正方体的性质，结合每个选项的条件进行计算可判断每个选项的正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查运算求解能力，属中档题．
 

13.【答案】． 

【解析】解：设，
则，
故，即，解得，
所以．
故答案为：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】答案不唯一，满足即可 

【解析】解：因为，所以．
又由，得，所以．
故答案为：答案不唯一，满足即可．
根据题意求出的范围，即可得出答案．
本题考查平均数与极差，属于基础题．
 

15.【答案】   

【解析】解：因为，
所以由正弦定理，可得，
所以，
又，
所以由余弦定理可得．
故答案为：，．
由已知利用正弦定理可求的值，进而利用余弦定理可求的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，的，，，
，，，所以和是直角三角形，
所以外接球心在的中点上，即半径，所以外接球表面积为．
故答案为：．
找出三棱锥中为直角三角形的面，则外接球球心在过直角三角形斜边中点的该面的法线上，而后找出球心的位置，求出半径算出表面积即可．
本题主要考查棱锥外接球半径的求法，属中档题．
 

17.【答案】解：由题意，，
抛物线的顶点坐标为，即，
与关于原点对称，
，
又，
线段的中点坐标为，即；
由知，，
，，
向量在上的投影向量的坐标为：
． 

【解析】由题意求出点，的坐标，再由中点坐标公式直接求得；
求出的坐标，再由投影向量的定义求出投影向量的坐标．
本题考查中点坐标公式和投影向量，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：因为，为的中点，
所以，，
所以，
又，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又面，面，
所以面．
连接，则四边形是矩形，
所以，
取中点，连接，，

由知，，，
所以，
，
所以，，
所以二面角的平面角为，
由，
所以，
所以． 

【解析】根据题意可得，，则，又，进而可得四边形是平行四边形，则，再由线面平行的判定定理，即可得出答案．
连接，则四边形是矩形，则，取中点，连接，，推出二面角的平面角为，再由余弦定理，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角的计算，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

19.【答案】解：根据频率分布直方图可得组距为，
所以，解得；
易知，两组数据所占概率为，第三组数据概率也为，所以中位数在区间内，
设中位数为，所以，解得，
所以这名农民耕种田地面积的中位数为．
利用频率分布直方图可得，
其平均数为，
其方差为，
因此标准差，
这名农民耕种田地面积的平均数为，标准差约为． 

【解析】由频率分布直方图中所有矩形面积为即可得，利用中位数计算公式可得其中位数；
根据频率分布直方图计算平均数即可求解，再代入标准差公式可得标准差．
本题考查根据频率分布直方图求中位数、平均数、方差，是基础题．
 

20.【答案】解：由题意，可得，
，
，
即，
化简可得，即，
，即，
，即；
如图：

由可设，则，
，可得，
由余弦定理可得，即，
解得，
，，，
在中，由正弦定理可得，，
，
在中，由余弦定理可得，解得，
，
的面积． 

【解析】由题意结合正弦定理将边化角可得，再结合辅助角公式和三角函数图像即可求得角；
由由可设，则，，可得，再结合正弦定理求得，再在中结合余弦定理即可求得，，最后利用面积公式即可求出答案．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】证明：正三棱柱中，连接，因为，所以侧面是正方形，
所以，因为，分别为，的中点，所以，，
因为是正三角形，所以，因为平面，平面，
，，，平面，所以平面，
平面，所以，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面．

解：连接交于，取的中点，过作，分别交，于，，
连接，，，，，易得，，因为，平面，
，平面，所以平面，平面，
因为，且都在面内，所以平面平面，
所以的轨迹为线段，因为，所以，
，因为，所以，
所以，，
故三棱柱的表面积为．
 

【解析】由题意可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面．
连接交于，取的中点，由面面平行的判定定理可证得平面平面，所以的轨迹为线段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面积．
本题考查线面垂直，面面垂直，几何体的表面积，轨迹问题，属于中档题．
 

22.【答案】解：点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，概率．
可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，
故，
． 

【解析】点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，计算概率得到答案．
可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，确定，计算最值得到答案．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．