【暑假提升】浙教版数学八年级（八升九）暑假-专题第01讲《二次函数》预习讲学案

第01讲 二次函数

1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.

　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

要点：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

要点：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中a≠0；

    第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

    第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

    第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

要点：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

考点一：二次函数的概念

例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（       ）

A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+

例2．函数是关于x的二次函数，则m的值是（       ）

A．3 B． C． D．或3

例3．下列函数关系中，是二次函数的是（       ）

A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系

B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系

C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系

D．半圆面积S与半径R之间的关系

例4．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（        ）

A． B． C． D．

例5．当函数是二次函数时，a的取值为（　　）

A． B． C． D．

例6．二次函数，当函数值为2时，自变量的值是（ ）

A．x=-2 B．x="2" C．x=1 D．x=-1

例7．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是(       )

A．a≠0，b≠0，c≠0 B．a<0，b≠0，c≠0

C．a>0，b≠0，c≠0 D．a≠0

考点二：待定系数法

例8．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（       ）

A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2

C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1

例9．已知二次函数的与的部分对应值如下表：

当时，的值是（       ）A． B． C．2 D．6

例10．若抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（   ）

A． B． C． D．

例11．抛物线过三点，求抛物线的解析式__________．

例12．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为________________．

一、单选题

1．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（　　）

A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1

2．以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（       ）

A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④

3．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　）

A．正比例函数 B．一次函数

C．二次函数 D．以上均不正确

4．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　）

A．125个 B．100个 C．48个 D．10个

5．下列结论正确的是（　   ）

A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数

C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数

6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　）

A． B．

C． D．

7．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（   ）

A．1或－1   B．1  C．－1    D．0

8．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格：

由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）

A．-11 B．-2 C．1 D．-5

9．二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中(       )

A．(－1，1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(1，1)

10．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（   ）

A．5 B．7 C．12 D．﹣7

二、填空题

11．已知二次函数，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y=_____．

12．已知函数y=(k+2)是关于x的二次函数，则k=________．

13．有下列函数：①y=1﹣x2；②y=；③y=x（x﹣3）；④y=ax2+bx+c；⑤y=2x+1．其中，是二次函数的有______（填序号）

14．点是二次函数图像上一点，则的值为__________

15．关于的二次函数，当时，它是______函数；当时，它是______函数.

16．一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为________________．

17．抛物线过两点，与y轴的交点为，则抛物线的解析式__________．

18．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：

经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据_____．（只填序号）

三、解答题

19．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？

．

20．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多．

（1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？

（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？

21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：

（1）y是x的一次函数；

（2）y是x的二次函数．

22．y＝(m2－2m－3) x2＋(m－1)x＋m2是关于x的二次函数，则m满足的条件是什么？

23．证明：对于任何实数m，y=（m2+2m+3）x2+2012x﹣1都是y关于x的二次函数．

24．已知二次函数图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，求该函数图象的关系式

25．根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

26．（1）已知二次函数的图象经过与两点，求这个二次函数的表达式；

（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数表达式的题目，使所求得的二次函数与第（1）题相同．

27．已知y＝y1+y2，其中y1与x﹣3成正比例，y2与x2+1成正比例，且当x＝0时，y＝﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣6．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）判断点A（1，﹣4）是否在此函数图象上，并说明理由．