2023届陕西省安康中学高三下学期5月学业质量检测（二）数学（文）试题含解析

2023届陕西省安康中学高三下学期5月学业质量检测（二）数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先计算出全集，再根据补集，求出集合M,分别判断各个选项即可.

【详解】由题意得，从而，故A正确，B，C，D都错误.

故选：A.

2．已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【分析】根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解.

【详解】因为 ，所以，

由，得 ，即 ；

故选：B.

3．已知向量，满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由求得，再根据向量夹角公式即可求解.

【详解】因为.又，所以.

所以，

因为，所以与的夹角为.

故选：C

4．某高中体育教师从甲、乙两个班级中分别随机抽取女生各15名进行原地投掷铅球测试，并将每名学生的测试成绩制成如图所示的茎叶图.以样本估计总体，下列说法错误的是（    ）

A．甲班女生成绩的中位数与乙班女生成绩的中位数大致相同

B．从甲班女生中任取1人，她的成绩不低于8.2的概率大于0.2

C．乙班女生成绩的极差大于甲班成绩的极差

D．乙班女生成绩不低于7.5的概率约为0.6

【答案】C

【分析】根据茎叶图结合中位数、极差的概念判断AC，利用古典概型的概率公式判断BD.

【详解】由茎叶图可知甲班女生样本的成绩的中位数为7.7，乙班女生样本的成绩的中位数为7.6，因为两者很接近，所以A说法正确；

甲班女生样本的成绩不低于8.2的有5人，所以甲班女生样本的成绩不低于8.2的概率为，所以B说法正确；

乙班女生样本的成绩的极差为，甲班女生样本的成绩的极差为，

因为两者样本极差很接近，所以乙班女生成绩的极差和甲班成绩的极差大小不一定，所以C说法不正确；

乙班女生样本的成绩不低于7.5的有9人，所以乙班女生样本的成绩不低于7.5的概率为，所以D说法正确.

故选：C

5．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．0 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出不等式组，表示的平面区域，如图所示（阴影部分）.

作直线，直线中，表示直线的纵截距，直线向上平移时，增大，

平移直线，当直线过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，即目标函数取得最大值.解方程组，可得，

故目标函数的最大值为.

故选：C．

6．设F为抛物线的焦点，准线为l，O为坐标原点，点A在C上，，点A到准线l的距离为3，则的面积为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义和几何性质以及标准方程即可求解.

【详解】由题意得，.

因为，

所以点A的横坐标为.

因为点A到l的距离为3，所以.

解得，所以C的方程为.

不妨设点A在x轴的上方，则，

所以.

故选：B.

7．执行如图所示的程序框图，输出的（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】模拟执行程序，即可计算输出值.

【详解】执行第一次循环，，，，；

执行第二次循环，，，，；

执行第三次循环，，，，；

执行第四次循环，，，，.

因为，所以结束循环，输出.

故选：B

8．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据图象经过的点的坐标可求及，从而可得答案.

【详解】由图象可知.因为，所以，

又及结合图象可知.

因为，

所以由五点法作图可知，解得.

因为，所以，且.

又，所以，从而，因此.

故选：C.

9．在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（    ）

A． B．平面平面

C．平面 D．平面

【答案】B

【分析】由面面垂直的判定定理判断B，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面的位置关系判断ACD．

【详解】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；

以点D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，.

设，则，.设平面的法向量为，

则有可取，得.

又，

则，故A不正确；

因为，所以，故D不正确；

因为，所以，故C不正确．

故选：B．

10．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解.

【详解】由 得，所以，或（舍去），

由，得，所以，

由，得，所以，即n的最小值为9；

故选：C.

11．已知函数，若，则（    ）

A．将的图象向右平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象

B．图象的对称中心的坐标为

C．直线是图象的一条对称轴

D．的一个单调递增区间为

【答案】D

【分析】先根据题意求出解析式，选项A由图象平移后得到新的函数解析式并判断奇偶性即可；选项B、C、D可先考虑的相关性质整体代换后即可得出判断.

【详解】因为，所以，则.

因为，所以.从而，所以.

将的图象向右平移个单位长度后，

得到的图象，是奇函数，所以A不正确.

由，可知的对称中心为，所以B不正确.

由，可知的对称轴为.

由，得，与矛盾，所以C不正确.

由得的单调递增区间为，

令，得的一个单调递增区间为，所以D正确.

故选：D.

12．已知球O的半径为2，三棱锥底面上的三个顶点均在球O的球面上， ，，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出三棱锥的高，对于等价于BC边在外接圆上固定不动，A点在劣弧上运动，求三棱锥体积的最大值就是求面积的最大值.

【详解】记球O的半径为R，所在外接圆的半径为r，由，得，，设三棱锥的高为h，则，所以；

在中，如图：

等价于BC边在外接圆上固定不到，A点在劣弧上运动，显然当A点为的中点时，高AD最大，

AD的最大值，面积的最大值，

三棱锥体积的最大值；

故选：A.

二、填空题

13．已知等差数列的前n项和为，，，则公差为______.

【答案】

【分析】根据等差数列公式求解.

【详解】设数列的公差为d，则解得；

故答案为：-3.

14．从甲、乙、丙等6名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙、丙3人中恰好有两人入选的概率为______.

【答案】

【分析】根据计数原理求出样本空间，再求出甲乙丙三人中刚好有2人入选的事件数，按照古典概型求解.

【详解】从6名同学中随机选3名的方法数为 ，甲、乙、丙3人中恰好有两人人选的方法数为 ，因此所求概率；

故答案为：.

15．圆心在直线上，且与直线相切的一个圆的方程为______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】依题意可得直线与直线平行，则两平行线之间的距离即为圆的半径，再取一个点确定圆心，即可得到圆的方程.

【详解】因为直线与直线平行，

设圆心坐标为，因为圆心到直线的距离等于圆的半径r，

所以，取，则圆的方程为.

故答案为：（答案不唯一）

16．若不等式 对恒成立，则a的取值范围是______.

【答案】

【分析】观察解析式的结构，用同构思路构造函数，运用导数判断单调性求解.

【详解】令 ，则

，

令，，则 ,

当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，

令，，，则，

当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，

若恒成立，即恒成立，所以，所以；

故答案为：.

【点睛】观察函数的解析式的结构是问题的核心，如果是直接求导，则很难计算，一般来说，当导函数的结构很复杂的时候，应该考虑是否存在其他方式解决问题.

三、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求；

(2)若，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)运用正弦定理求解；

(2)运用正弦定理和余弦定理求解.

【详解】（1）因为，由正弦定理得，       

因为 ，所以，

所以，

所以，

所以，        

因为如，所以，

又 ，所以；

（2）在中，由正弦定理得，由（1）知， ，又，所以，

所以，        

由余弦定理得，所以，

即；

综上，.

18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形，，.

(1)证明：平面平面；

(2)点在侧棱上（异于点），，若过，，三点的平面与侧棱交于点，求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由棱长利用勾股定理证得，结合证得平面，再由面面垂直判定定理证明即可；

（2）由∽可得出为中点，则可知为中点，结合已知证明平面，再求四棱锥的体积即可.

【详解】（1）∵为等边三角形，四边形是正方形，

∴，

又∵，∴，∴，

由∵四边形是正方形，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴平面平面.

（2）由第（1）问知，∵平面，，∴平面，

又∵平面，∴，∴，

又∵，，∴易知∽，

∴，即，∴，∴为中点.

∵，平面，平面，∴平面.

又∵平面平面，平面，

∴，∴，∴是的中点，且，

又∵平面，平面，∴，

∴四边形为直角梯形.

又∵，∴，且，

由第（1）问，，∵，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面，即是四棱锥的高.

∴四棱锥的体积.

19．某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：

并计算得，，.

(1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；

(2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）；

(3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性.

附：样本相关系数，.

【答案】(1)平均每袋出厂价格为（元），平均月销售量为（万袋），平均月销售收入为（万元）

(2)

(3)该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性

【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可；

（2）将样本相关系数公式转化为，利用表中数据和参考数据进行计算即可；

（3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可.

【详解】（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：

（元），

平均月销售量为（万袋），

平均月销售收入为（万元）.

（2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：

.

（3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性.

20．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若在区间上有两个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增

(2)

【分析】（1）求导后，根据的取值范围，分类讨论的正负情况，即可得出的单调性；

（2）由已知，，结合单调性，求出使在区间上有且只有一个零点的实数的取值范围即可.

【详解】（1）∵，∴，

①当时，恒成立，此时在上单调递增；

②当时，令，解得，

当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）∵，∴，即是的一个零点.

由第（1）问的单调性知，

①当时，在上单调递增，有且只有一个零点，不合题意；

②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

i）当，即时，在区间上单调递增，

∴在区间上有且只有一个零点，不合题意；

ii）当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，取得极小值，也是最小值，

且由的单调性知，

又∵，∴，

，

令，则，

当时，，单调递增，，

∴，

∴由零点存在定理知，在区间有零点，

∴结合的单调性及知，在区间上有两个不同的零点，

综上所述，若在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：本题第（2）问解题的关键是发现，然后只需利用零点存在定理，确定在区间上有且只有一个零点的实数的取值范围即可.

21．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过点，.

(1)求E的方程；

(2)已知，是否存在过点的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，l的方程为.

【分析】（1）设出椭圆E的方程，利用待定系数法求解作答.

（2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，借助斜率坐标公式求解作答.

【详解】（1）设椭圆E的方程为，

由点，在E上，得，解得，，

所以E的方程为.

（2）存在，理由如下.

显然直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为，，，

由消去x得：，

则，得，

，

因此

，解得，

所以存在符合要求的直线l，其方程为.

【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 (A>0，B>0，A≠B)．

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为.

(1)写出l的直角坐标方程和C的普通方程；

(2)若l与C有两个交点，求k的取值范围.

【答案】(1)l的直角坐标方程为，C的普通方程为

(2)

【分析】（1）利用化极坐标方程为直角坐标方程，用消参法化参数方程为普通方程；

（2）直线与曲线的直角坐标方程联立方程组，由方程组有两个解可得参数范围．

【详解】（1）因为，

所以.

将，，代入上式，化简得，

即l的直角坐标方程为.        

因为，，消去参数t，得.

又，所以C的普通方程为.

（2）联立当时，，，所以l与C只有一个交点，不符合题意；

当时，，将代人，得.

若l与C有两个交点，因为，所以，解得.

综上可知，k的取值范围为.

23．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式证明；

（2）利用柯西不等式证明．

【详解】（1）证明：

，        

当且仅当，，时，等号成立.

所以.

（2）证明：由柯西不等式得：

，

当且仅当，即，，时，等号成立.    

所以.