统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练57高考大题专练六概率与统计的综合运用文

专练57　高考大题专练（六）　概率与统计的综合运用

1.[2022·全国甲卷（文），17]甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：K2＝，

2.[2023·全国甲卷（文）]一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1

32.6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2

19.8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5

（1）计算试验组的样本平均数；

（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表

（ⅱ）根据（ⅰ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？

附：K2＝，

3.[2023·全国乙卷（文）]某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…，10）.试验结果如下：

记zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.

（1）求，s2；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

4.[2022·全国乙卷（文），19]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：

并计算得＝0.038，＝1.615 8，iyi＝0.247 4.

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数r＝，≈1.377.

专练57　高考大题专练(六)　概率与

统计的综合运用

1．解析：(1)A公司一共调查了260个班次，其中有240个班次准点，故A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率是＝.

B公司一共调查了240个班次，其中有210个班次准点，故B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率是＝.

(2)因为K2＝＝≈3.205>2.706，

所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．

2．解析：(1)试验组的样本平均数为×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝19.8.

(2)(ⅰ)将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体重的增加量的中位数m＝＝23.4.

列联表如下：

(ⅱ)K2＝＝＝6.4＞3.841.

故有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．

3．解析：(1)由题意，求出zi的值如表所示，

则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，

s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.

(2)因为2＝2＝，＝11＝>，

所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

4．解析：(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积＝＝0.06(m2)，

平均一棵的材积量＝＝0.39(m3).

(2)由题意，得(xi－)2＝x－102＝0.038－10×0.062＝0.002，

(yi－)2＝y－102＝1.615 8－10×0.392＝0.094 8，

(xi－)(yi－)＝xiyi－10＝0.247 4－10×0.06×0.39＝0.013 4，

所以相关系数r＝＝≈≈0.97.

(3)因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以比例系数k＝＝＝6.5，

所以该林区这种树木的总材积量的估计值为186×6.5＝1 209(m3).