统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练7二次函数与幂函数文

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练7二次函数与幂函数文，共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．若幂函数y＝f(x)的图像过点(5， eq \f(1,5))，则f(21－lg23)为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(3,2) D．－1
2．幂函数y＝f(x)的图像经过点(3， eq \r(3))，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
3．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠ eq \f(1±\r(5),2)
4．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a满足的条件是( )
A．a≥8 B．a≤8
C．a≥4 D．a≥－4
5．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(0)B．f(0)C．f(2)D．f(－2)6．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3).若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
7．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则 eq \f(9,a)＋ eq \f(1,c)的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
8．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)( )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－ eq \r(2))
B．(－ eq \r(2)，0)
C．(－∞，0)∪( eq \r(2)，＋∞)
D．(－∞，－ eq \r(2))∪( eq \r(2)，＋∞)
二、填空题
10．已知a∈{－2，－1，－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________．
11．已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________．
[能力提升]
13．对于任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( )
A．{x|13}
C．{x|12}
14．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；
②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；
④5a其中正确的是( )
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
15．[2022·北京卷，14]设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－ax＋1，x16．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围是________．
专练7 二次函数与幂函数
1．C ∵幂函数y＝f(x)的图像过点(5， eq \f(1,5))，
∴可设f(x)＝xα，
∴5α＝ eq \f(1,5)，解得α＝－1，
∴f(x)＝x－1.
∴f()＝f()＝f( eq \f(2,3))＝( eq \f(2,3))－1＝ eq \f(3,2).
2．D 设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3， eq \r(3))代入解析式得3α＝ eq \r(3)，解得α＝ eq \f(1,2)，∴f(x)＝x eq \f(1,2).∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
3．A 因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝2.
4．A 函数图像的对称轴为x＝ eq \f(a,2)，由题意得 eq \f(a,2)≥4，解得a≥8.
5．A 由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图像的对称轴为x＝ eq \f(1,2)，而抛物线的开口向上，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))＝ eq \f(1,2)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝ eq \f(3,2)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－2－\f(1,2)))＝ eq \f(5,2)，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(－2)>f(2)>f(0).
6．B 因为f(x)>0的解集为(－1，3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(c,2)＝－1×3，,\f(b,2)＝－1＋3))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝6，))
令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1，0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，故m≥4.
7．B 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－4ac＝0，))
∴ac＝1，又a>0，∴c>0.
∴ eq \f(9,a)＋ eq \f(1,c)≥2 eq \r(\f(9,ac))＝6(当且仅当 eq \f(9,a)＝ eq \f(1,c)，即a＝3，c＝ eq \f(1,3)时等号成立).
8．A ∵f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
9．A 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，
∴f(x)＝x3(x∈R)，
易知f(x)在R上是增函数，
结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，
知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝16－8m2<0))
⇒m∈(－∞，－ eq \r(2)).
10．答案：－1
11．答案：f(x)＝x2
解析：幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)0，∴－112．答案： eq \f(36,5)
解析：设g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，即g(5)＝0，可以解得k＝ eq \f(36,5)(经检验满足题意).
13．B 原题可转化为关于a的一次函数y＝a(x－2)＋x2－4x＋4>0在a∈[－1，1]上恒成立，
只需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－1）（x－2）＋x2－4x＋4>0，,1×（x－2）＋x2－4x＋4>0))
⇒ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>3或x<2，,x>2或x<1))⇒x<1或x>3.
14．B 因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．
对称轴为x＝－1，即－ eq \f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②错误．
结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a15．答案：0(答案不唯一) 1
解析：当a<0时，f(x)＝－ax＋1(x16．答案：( eq \f(1,2)，＋∞)
解析：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1，4)，得a>－ eq \f(2,x2)＋ eq \f(2,x)在(1，4)上恒成立．令g(x)＝－ eq \f(2,x2)＋ eq \f(2,x)＝－2( eq \f(1,x)－ eq \f(1,2))2＋ eq \f(1,2)，因为 eq \f(1,x)∈( eq \f(1,4)，1)，所以g(x)max＝g(2)＝ eq \f(1,2)，所以要使f(x)>0在(1，4)上恒成立，只要a> eq \f(1,2)即可，故实数a的取值范围是( eq \f(1,2)，＋∞).