高中数学竞赛专题大全竞赛专题12复数50题竞赛真题强化训练含解析

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竞赛专题12 复数（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2021·全国·高三竞赛）已知z为复数，且关于x的方程有实数根，则的最小值为__________．【答案】1【解析】【详解】解析： x为实数根，若，则，矛盾；故，故，于是我们可以得，当且仅当时等号成立，故所求的最小值为1．故答案为：1.2．（2018·辽宁·高三竞赛）设、b均为实数，复数与的模长相等，且为纯虚数，则+b=_____.【答案】【解析】【详解】由题设知，且为纯虚数，故.因此或解得或，故.故答案为3．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数满足，则的最大值为__________．【答案】3【解析】【详解】解析：由题意可得，则表示复平面上点到的距离．如图所示，，由此可得．故的最大值为3．故答案为：3.4．（2018·山东·高三竞赛）若复数满足，则的最小值为______．【答案】1【解析】【详解】设，，，则点的轨迹为线段．因此为原点到的距离，即．5．（2019·甘肃·高三竞赛）在复平面内，复数对应的点分别为．若，，则的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】因为，所以，因为，所以，从而6．（2018·福建·高三竞赛）设复数满足，则的最大值为______．（为虚数单位，为复数的共轭复数）【答案】6       【解析】【详解】设，则，，，由，知，．所以，．所以．当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为6．7．（2018·全国·高三竞赛）已知定义在复数集上的函数（p、q为复数）.若与均为实数，则的最小值为__________．【答案】【解析】【详解】设，.由，为实数知，.则.故当（即，）时，取最小值.8．（2021·全国·高三竞赛）设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为，则复数所对应的不同的点的个数是_______________．【答案】4【解析】【详解】因为，故考虑的不同个数.由，则，可知只有4个取值，而的取值不会增加，故应为4个不同的点的个数．故答案为：4.9．（2021·全国·高三竞赛）设，其中为虚数单位，.设，则的实部为___________.【答案】【解析】【详解】，故，故，故，从而实部为.故答案为：.10．（2021·全国·高三竞赛）设复数､､满足，则___________.【答案】2【解析】【详解】解析：.故答案为：2.11．（2021·浙江·高三竞赛）复数，满足，，则______.【答案】【解析】【分析】【详解】如图所示，设在复平面内对应的点分别为,由已知得,由余弦定理得向量所成的角为,不妨设,,,,,,,.故答案为：.12．（2021·浙江·高二竞赛）设复数的实虚部，所形成的点在椭圆上.若为实数，则复数______.【答案】或.【解析】【分析】【详解】由，所以，则，所以或.故答案为：或.13．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】【详解】设，则：．故，解得，即．故答案为：.14．（2021·全国·高三竞赛）已知复数（i虚数单位），则______________．【答案】36【解析】【分析】【详解】由已知，故，再结合，及，知所求式子为．又，是8次单位根．当时，．当时，．当时，，所以．故答案为：36.15．（2021·全国·高三竞赛）已知复数a、b、c满足则_________．【答案】i【解析】【分析】【详解】由题意有，三式相加有，代入第一个式中有，与联立，即有a、c均不为0且，故有，所以或i．当时，有，此时原式为i．当时，有，此时原式为i．当时，有，又，所以，得，矛盾．综上所述，原式仅有i一个值．故答案为：i.16．（2021·全国·高三竞赛）若复数满足条件，则______．【答案】0【解析】【分析】【详解】对取共轭，．再与相加，并结合得：．若，则所求式为0．否则，．则，从而．代入条件二，得．即．故是纯虚数，有．从而，所求式也为0．故答案为：0.17．（2021·全国·高三竞赛）若复数满足，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】【详解】.设，则：.若，则，而矛盾.同理，亦不可能，所以.设，则:，所求取值范围是.故答案为：.18．（2021·全国·高三竞赛）若非零复数x､y满足，则的值是________.【答案】1【解析】【分析】【详解】得或.（1）当时，原式.（2）当时，同理可得原式.故答案为：1.19．（2020·全国·高三竞赛）设z为复数．若为实数（i为虚数单位），则的最小值为______．【答案】．【解析】【分析】设，由已知条件计算出的数量关系，然后运用不等式求解出结果；【详解】设，由条件知，故．从而，即．当时，取到最小值．故答案为：．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是紧扣已知条件，计算出满足条件的数量关系，继而可以求出结果.20．（2019·浙江·高三竞赛）设为复数，且满足(其中i为虚数单位)，则取值为____________.【答案】【解析】【详解】由，设，由得，于是，.故答案为：．21．（2019·贵州·高三竞赛）已知方程的五个根分别为，f(x)=x2+1，则____________ .【答案】37【解析】【详解】设，则.又f(x)=x2+1=(x－i)(x+i)，所以.故答案为：37．22．（2019·四川·高三竞赛）满足(a+bi)6=a－bi(其中a，b∈R，i2=－1)的有序数组(a，b)的组数是_____ .【答案】8【解析】【详解】令z=a+bi，则，从而.于是或者.当时，z=0，即a=b=0，显然(0，0)符合条件；当时，由知，注意到z7=1有7个复数解.即有7个有序实数对(a，b)符合条件.综上可知，符合条件的有序实数对(a，b)的对数是8.故答案为：8．23．（2019·福建·高三竞赛）已知复数满足，且，则____________ .【答案】【解析】【详解】先求复数的平方根.设，则.故有，解得或.由，知为复数的两个平方根.由对称性，不妨设.于是，，复数对应的点构成边长为4的正三角形.又复数对应的点关于原点O对称，所以OZ为△ZZ1Z2的高，故.故答案为：．24．（2019·山东·高三竞赛）已知虚数z满足为实数，且，那么的最小值是______ .【答案】1【解析】【详解】设z=x+yi(x，y∈R)，易知，则，当x=0时等号成立.故答案为：1．25．（2019·重庆·高三竞赛）已知复数使得为纯虚数，，，则的最小值是_______ .【答案】【解析】【详解】设，则，由已知，所以.所以.所以.所以.当时，最小值能取到.故答案为：．26．（2019·上海·高三竞赛）若复数z满足，则的最大值为________.【答案】【解析】【详解】由复数的几何意义知，z在复平面上对应的曲线是椭圆：.设，则，所以，当，即时等号成立，故最大值为.故答案为：．27．（2019·江苏·高三竞赛）在复平面中，复数3－i、2－2i、1+5i分别对应点A、B、C，则△ABC的面积是________ .【答案】4【解析】【详解】如图所示，△ABC的面积为：，即△ABC的面积是.故答案为：4．28．（2018·河南·高三竞赛）已知为虚数单位，则在的展开式中，所有奇数项的和是______．【答案】512       【解析】【详解】易知的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部．又．故填512．29．（2018·全国·高三竞赛）设复数，.则的最小值为__________．【答案】2【解析】【详解】令，则且此时有.故当，即时，的最小值为2.30．（2019·全国·高三竞赛）设方程的10个复根分别为.则______.【答案】850【解析】【详解】设.则.由于方程的10个复根分别为，不妨设其为、、、、、、、、、.由，知.于是，.故.31．（2019·全国·高三竞赛）若为大于1的正整数，则______.【答案】0【解析】【详解】.32．（2018·全国·高三竞赛）已知复数满足，.则的最大值是______.【答案】【解析】【详解】注意到.则.当时，取最大值.33．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，复数对应的点在联结1和两点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上运动．则复数对应的点所在区域的面积为______．【答案】【解析】【详解】设（），．则．故为圆心在上的一组圆，该区域面积为．34．（2018·广西·高三竞赛）设、为正整数，且.则=______.【答案】8.【解析】【详解】由题意得.又因为与为奇偶性相同的整数，所以，或解得，.故.35．（2019·全国·高三竞赛）化简______.【答案】【解析】【详解】令，，则有.从而，，故.36．（2019·全国·高三竞赛）复数列满足，.若，则可以有_________种取值.【答案】【解析】【详解】显然，对任意的非负整数均有.设.则.由，得，即.由，得.因此，满足条件的共有（个）.故答案为37．（2019·全国·高三竞赛）设复数.则的最小值是________.【答案】【解析】【详解】，其等号成立的条件是，化简得，即.因此的最小值是.38．（2021·全国·高三竞赛）若e为自然对数的底，则满足，且的复数z的个数为________．【答案】32【解析】【分析】【详解】记i为虚数单位．设z是一个满足题意的复数，且首先，容易直接验证．由，知．若，则．但，则，矛盾．若，则．但，则，矛盾．故只能有，于是，．注意到z满足题意当且仅当满足题意，故不妨设，下求满足的正实数y的个数．由以上讨论，知与在复平面中所对应的点都在单位圆上，故y应使两者的辐角主值相等．当y从0连续递增变动到时，的辐角主值从连续递减变到的辐角主值从0连续递增变到故的辐角主值从连续递减变到另一方面，对于，考察在时的变化情况．当y从连续递增变动到时，的辐角主值从0连续递增变到；当y从连续递增变动到时，的辐角主值从连续递增变到．由以上分析，知对每个在上恰有一个解，在上无解．那么，注意到，且．故在上有16个解，故答案为32．故答案为：32.39．（2019·上海·高三竞赛）设a是实数，关于z的方程(z2－2z+5)(z2+2az+1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是________.【答案】{a|－1<a<1}∪{－3}【解析】【详解】由z2－2z+5=0，得.因为z2+2az+1=0有两个不同的根，所以△=4(a2－1)≠0，故a≠±1.若△=4(a2－1)<0，即－1<a<1时，.因为在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，满足条件.若△=4(a2－1)>0，即|a|>1时，是实根，在复平面上对应的点在实轴上，仅当z1、z2对应的点在以对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为，整理得，即x2+2ax+1+y2=0，将点(1，±2)代入得a=－3.综上所述，满足条件的实数a的取值范围是{a|－1<a<1}∪{－3}.故答案为：{a|－1<a<1}∪{－3}.二、解答题40．（2021·全国·高三竞赛）设，复数.求所有的，使得､､依次成等比数列.【答案】答案见解析【解析】【详解】因为，所以：，整理得：，所以（1）或，时，代入得；时，代入得；（2）若，则有：，故，故的值为或或或，对于的分别为、、、，故所有的为：.41．（2021·全国·高三竞赛）设点Z是单位圆上的动点，复数W是复数Z的函数：，试求点W的轨迹．【答案】．【解析】【分析】【详解】因为，所以设．令，则：．所以①，②．②÷①得③．由②得．所以，代入③得．所以轨迹方程为：．42．（2021·全国·高三竞赛）已知，存在唯一的，使得，求．【答案】0【解析】【分析】【详解】由，得，得．所以．由a的值唯一，故，即，所以，即，所以．43．（2021·全国·高三竞赛）求证：存在非零复数c与实数d，使得对于一切模长为1的复数均有【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】对于满足的复数z．设．则不难计算得．设，则．由，得，即       ①①即在复平面中对应的点的轨迹方程．可以看到，此轨迹是双曲线，其焦点为.由双曲线的定义，知取满足题意．44．（2021·全国·高三竞赛）若关于z的整系数方程的三个复数根在复平面内恰好成为一个等腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的最小值.【答案】1【解析】【分析】【详解】设该等腰直角三角形斜边中点对应的复数为，直角顶点对应的复数为，则另外两个顶点对应的复数分别为和，依题意有：，化简得，所以.进而，与联立就有.再由知，于是，所以等腰直角三角形的面积最小为1.另一方面，的三个复数根恰是面积为1的等腰直角三角形的顶点.45．（2021·全国·高三竞赛）已知实数．若方程的三个复数根在复平面上构成边长为的正三角形，求的值．【答案】，．【解析】【分析】【详解】设方程三根为，正三角形中心对应的复数为，则有．进一步可设．其中是三次单位根．由定理知：．因此方程是实系数三次方程，必有实根，不妨设．由且0不是方程的根知．进一步地，．由得．进一步地，．46．（2019·全国·高三竞赛）为多项式的三个根，满足，且复平面上的三点恰构成一个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度.【答案】【解析】【详解】由韦达定理得以两为顶点的三角形的重心为原点.不妨设为两条直角边.由于顶点与重心的距离等于该顶点所对应的中线长的， .类似地，..则=.47．（2019·全国·高三竞赛）设、、是正实数，.证明：.【答案】见解析【解析】【详解】注意到，.于是，可构造复数，，.易得.故要证不等式的左边.48．（2021·全国·高三竞赛）设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】用表示对所有数组的求和，下面用数学归纳证明如下的等式：                       ①(1)当时，①式显然成立；当时，，即①式成立．（2）假设时，①式成立，则时，我们有，即时①式成立．由（1）（2）可得：．回到原题，由，可得，即，所以存在数组（其中，使得，即．49．（2019·全国·高三竞赛）设复数数列{zn}满足：，且对任意正整数n，均有.证明：对任意正整数m，均有.【答案】证明见解析【解析】【分析】很明显，复数列恒不为零，且.据此结合递推关系分类讨论m为偶数和m为奇数两种情况即可证得题中的结论.【详解】由于，且对任意正整数n，均有,故.由条件得，解得.因此，故 ①进而有 ②当m为偶数时，设m=2s(s∈N+).利用②可得.当m为奇数时，设m=2s+1(s∈N).由①､②可知，故.综上结论获证.【点睛】本题主要考查复数列的递推关系，复数的运算法则，放缩法证明不等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.50．（2021·全国·高三竞赛）设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：（1）；（2）数列恒为常数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意和韦达定理可得，取模得，若，结论显然成立，否则，由于数列恒为常数，则，即结论也成立；（2）由（1）和题意知，数列恒为常数，则只有互为共轭的两种取值，不妨设为和，依据题意即可证明.【详解】由题意和韦达定理得,则，即．               ①（1）由①取模得，若，结论显然成立；否则，由于数列恒为常数，则，即有．（2）由（1）知，对任意的，又数列恒为常数，因此只有互为共轭的两种取值和．若存在，使得，不妨设，则．若，则，即或2；若，则，且．因此，要么，要么呈、周期．故显然是常数，即证数列恒为常数.【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列不等式的证明，解题关键在于利用韦达定理得出，再取模，对这种特殊情形和一般情形讨论即可证明结论成立；（2）本题主要考查常数列的证明，解题关键在于的取值情况和的假设，由（1）和题意知，数列恒为常数，则只有互为共轭的两种取值，不妨记为和，若存在，使得，不妨设，则，对分类讨论即可证明.