2024全国一轮数学（基础版）第14讲 导数的几何意义和四则运算课件PPT

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1. 已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝0，则x0等于(　 　)
2. 下列求导运算正确的是(　 　)
3. (人A选必二P70习题5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(　 　)
【解析】 考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
1. 导数的几何意义(1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．(2) 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为____________________________.
2. 基本初等函数的导数公式
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
f′(g(x))·g′(x)
6. 常用结论(1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．(3) 熟记以下结论：
【解析】 因为f(x)＝ax3＋2ax2＋x＋2，所以f′(x)＝3ax2＋4ax＋1，由f′(－1)＝3a－4a＋1＝4，解得a＝－3.
例1　(1) 已知f(x)＝(ax2＋1)(x＋2)，若f′(－1)＝4，则a的值为________.
【解析】 由函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x求导得，f′(x)＝2f′(0)e2x＋e－x，当x＝0时，f′(0)＝2f′(0)＋1，解得f′(0)＝－1，因此(x)＝－e2x－e－x，所以f(0)＝－2.
(3) (2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，则f(0)＝________.
　已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f(1)＝1，f′(x)＋2x>0，其中f′(x)是f(x)的导数，写出满足上述条件的一个函数___________________________.
【解答】 f′(x)＝(x2＋2x－1)′e1－x＋(x2＋2x－1)(e1－x)′＝(2x＋2)e1－x＋(x2＋2x－1)(－e1－x)＝(－x2＋3)e1－x.
求下列函数的导数：(1) f(x)＝(x2＋2x－1)e1－x；
【解析】因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
例2　(1) (2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　 　)A. y＝－2x－1 B. y＝－2x＋1　　C. y＝2x－3　 D. y＝2x＋1
【解析】 因为f(x)为偶函数，设x<0，则－x>0，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)－e1＋x，所以f(－1)＝－1. 
(2) (2022·秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝lnx－e1－x，则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为(　 　)A. y－e2＋1＝0 B. y＋1＝0C. (e2－1)x－y＋e2－2＝0 D. 2x＋y＋3＝0
【解析】 对于曲线C1，y′＝ex，若ex＝1，则x＝0，y＝1，切线方程为y－1＝1×(x－0)，y＝x＋1，A正确． 若ex＝e，则x＝1，y＝e，切线方程为y－e＝e(x－1)，y＝ex，C正确．
(2022·莆田二检)下列直线中，既不是曲线C1：y＝ex的切线，也不是曲线C2：y＝ln x的切线的是(　 　)A. y＝x＋1 B. y＝x－1C. y＝ex D. y＝e(x－2)
求曲线f(x)经过点P(x0，y0)的切线方程的方法：设切点坐标为(a，f(a))，则切线方程为y－f(a)＝f′(a)(x－a)，代入点P(x0，y0)的坐标，求出a的值，可得切线方程．注：在做此类题目时，需仔细审题，若求曲线在某点处的切线方程，则该点即为切点；若求曲线过某点处的切线方程，则该点不一定是切点．
【解析】 y′＝exsinx＋excsx，k＝y′|x＝0＝1.
1. 曲线y＝exsinx在x＝0处的切线斜率为(　 　)A. 0 B. 1 C. 2 D. －2
2. (2022·潮州期末)若曲线y＝lnx＋ax与直线y＝2x－1相切，则a＝______.
y＝4x－4或y＝x＋2
4. (2022·新高考Ⅱ卷) 曲线y＝ln|x|过坐标原点的切线方程为____________，______________.
曲线y＝lnx上的点到直线y＝x＋2的最短距离是(　 　)
1. 曲线y＝xex＋2x－2在x＝0处的切线方程是(　 　)A. 3x＋y＋2＝0 B. 2x＋y＋2＝0C. 2x－y－2＝0 D. 3x－y－2＝0
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【解析】 y＝xex＋2x－2，则y′＝(x＋1)ex＋2，当x＝0时，y＝－2，y′＝3，所以切线方程为y＋2＝3×(x－0)，即3x－y－2＝0.
2. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于(　 　)A. －e B. －1 C. 1 D. e
所以f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1.
3. (2022·衡阳一模)若曲线y＝ex－1＋lnx在点(1,1)处的切线与直线ax＋y＝0平行，则a等于(　 　)A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
因为曲线y＝ex－1＋lnx在点(1,1)处的切线与直线ax＋y＝0平行，所以－a＝2⇒a＝－2.
5. (2022·福州质检)某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位：亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么当t＝10时，GDP增长的速度大约是____________.(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年，附：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln(1＋x)≈x)
【解析】 由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，所以P′(t)＝2×1.1tln1.1，所以P′(10)＝2×1.110ln1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，即GDP增长的速度大约是0.52.