江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题5分，共40分）
1．设全集，，则）等于（ ）
A．B．C． D．
2．已知，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知平面向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是（ ）
A．y＝sin(2x＋)B．y＝sin(2x＋)C．y＝sin(2x－)D．y＝sin(2x－)
5．已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）.
A．B．
C．D．
6．若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下面命题中是假命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则是第一象限角或第二象限角
C．若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为8
D．若角的顶点是原点，始边是轴的非负半轴，终边过点，且，则
10．下列命题正确的是（ ）
A．“平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线”是全称量词命题；
B．命题“，都有”的否定是“”；
C．“”是“”成立的必要不充分条件；
D．幂函数的图象与坐标轴没有公共点的充要条件是．
11．某市举行高中英语演讲比赛，已知12位评委对某位选手评分具体如下（满分10分）：7.0，7.5，7.8，7.8，8.2，8.3，8.5，8.7，9.1，9.2，9.9，10，则下列说法正确的是（ ）
A．中位数为8.3
B．极差为3
C．的分位数为9.15
D．去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分
12．在等腰直角中，角A，B，C所对的边分别为，，，，，是边上一个动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若是三等分点，则B．若，则
C．对任意的，D．对任意的，
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若，则____________．
14．已知幂函数满足，则______.
15．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.
16．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1．设，则________；是平面图形边上的动点，则的取值范围是________．
四、解答题（70分）
17．平面内给定三个向量
(1)求满足的实数的值；
(2)若，求实数的值.
18．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求；
（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．
19．已知函数，
求；
判断并证明函数的奇偶性；
已知，求的值．
20．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在内的零点.
21．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后与之间的函数关系式；
(2)进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．
22．已知函数的图像在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.
(1)若满足性质，且，求的值；
(2)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）
(3)若函数满足性质，求证：函数存在零点.
2022-2023江西省宜丰中学期末考试数学参考答案：
1．C【详解】由题意，则，故，
2．B【详解】由，得，当，均为负数时，显然不成立，充分性不成立.
由，得，即，必要性成立.故选:B
3．A【详解】由知：，可得，
所以在上的投影向量为.故选：A
4．D【详解】对于：，当时，，不是最值，不满足题意；对于：，当时，，不是最值，不满足题意；对于：，当时，不是最值，不满足题意；对于D：，当时，，且最小正周期，符合题意，故选：D．
5．A【详解】由题意知函数为定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则，且在上单调递增，所以，因为，所以，即；故选：A
6．A【详解】令，则函数为减函数，又函数为增函数，所以函数是减函数，故在区间上的最大值是，最小值是，
由题设得，则，所以，解得，
故实数的取值范围是.故选：A.
7．C【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率
.
8．A【详解】对于函数，，因为在上单调，所以，即.又，所以为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，因为，所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，即，所以，所以，
又为的一个对称中心，则，，则，，当时，.故选：A.
9．ABD【详解】A选项，若，满足，但，A为假命题；B选项，若，满足，但此时不是象限角，而是轴线角，B为假命题；C选项，若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的弧长为，故扇形周长为，C为真命题；
D选项，由题意得：，则，则，D为假命题.故选：ABD
10．AC【详解】A. “平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线”这里的圆包含所有的圆，是全称量词命题，故A正确；B. 命题“，都有”的否定是“”，故B错误；C. “”推不出“”成立，而 “”能推出“”成立，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
D. 幂函数的图象与坐标轴没有公共点的充要条件是，故D错误．故选：AC
11．BCD【详解】由题意可知中位数为，A错误；极差为，B正确；
由于，故的分位数为，C正确；
这位同学的平均分为，
去掉最高分和最低分后的平均分为，
即去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分，D正确；故选：BCD
12．ABD【详解】因为等腰直角中，角，，所对的边分别为，，，，，所以，即，如图，以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，则，对于A，因为是三等分点，所以或，所以或，
所以，即，所以A正确，
对于B，因为，所以，
由，得，所以，即，所以B正确，对于C，因为，所以，
所以，当时取等号，所以C错误，对于D，因为，所以，
所以，当时取等号，所以D正确，故选：ABD
13．【详解】因为，所以，.
14．【详解】因为函数为幂函数，则，解得或，
又因为，所以，故答案为：.
15．6【详解】设矩形空地的长为m，则宽为m，依题意可得，试验区的总面积，当且仅当即时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为.故答案为：6
16． 1 【详解】建立以为原点，如图所示的平面直角坐标系，连接，因为六边形为正六边形，所以，，作于，所以，，所以，，，所以，，
设，，，所以，
所以
如图所示，在平面直角坐标系中，其中，
作直线，平移使之经过多边形内每一个点，当直线经过线段时，取得最大值，当当直线经过线段时，取得最小值.
17．（1）解：由向量，因为，可得，所以，解得.
（2）解：由题意可得，
因为，可得，解得.
18．解：（1）根据频率分布直方图得：
（2）根据频率分布直方图得：，
（3）由于，和的频率之比为：1∶2∶2，故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，
故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，故概率．
19．；要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为；
，函数为奇函数．
，，且，解得．．
20．（1）由图象可得，，则，即，∴，
由图象得，即，∴，，则，，
又，∴，故；
（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函，∴，
令，则或，解得，，或，，
又，∴或，即函数在内的零点为0与.
21．（1）解：当时，设函数的解析式为，将点的坐标代入得，此时；
当时，函数的解析式为，将点的坐标代入得，所以．综上，. （2）解：当时，由，可得；当时，由，可得.所以，不等式的解集为.
因为，服药一次治疗疾病的有效时间为小时．
22．（1）因为满足性质，所以对于任意的x，恒成立.，又因为，
所以，，，由可得，由可得，所以，.
（2）若正数满足，等价于，记， 显然，，因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，所以存在，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
（3）若，则1即为零点；因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，可得.取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，若，则由，可得，由，可得， 由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，所以，当时，函数在上存在零点，当时，函数在上存在零点，综上，函数存在零点.