高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀第2课时复习练习题

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第2课时　分数指数幂、无理数指数幂学习目标　通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．知识点一　分数指数幂1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．思考　分数指数幂可以理解为个a相乘吗？答案　不可以．分数指数幂不可以理解为个a相乘．事实上，它是根式的一种新写法．知识点二　有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．知识点三　无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．(a>0)化为根式的形式为________．答案　解析　＝＝ .2．＋(－1)0＝________.答案　m2＋1解析　＋(－1)0＝m2＋1.3．化简 的结果是________．答案　解析　原式＝＝＝.4．下列等式一定成立的是________．(填序号，a>0)① ·＝a；②·＝0；③(a3)2＝a9；④÷＝.答案　④一、根式与分数指数幂的互化例1　将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)(a>0)；(2)(x>0)；(3)(b>0)．解　(1)原式 ＝＝ ＝.(2)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝ .(3)原式＝＝ ＝.反思感悟　根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练1　用分数指数幂表示下列各式：(1)；(2)(a>0，b>0)．解　(1)＝.(2)＝ ＝ ＝ ＝.二、利用分数指数幂的运算性质化简求值例2　计算下列各式：(1)0＋2－2× －(0.01)0.5；(2)0.5＋0.1－2＋ －3π0＋；(3)－＋＋－π0.解　(1)原式＝1＋×－＝.(2)原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.(3)原式＝－＋＋－1＝－＋＋－1－1＝3.反思感悟　指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．跟踪训练2　化简求值：(1)－＋＋－3－1＋π0；(2)(a－2b－3)×(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(3)2÷4×3.解　(1)原式＝－＋＋－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.(3)原式＝÷× ＝× ＝.三、整体代换法求分数指数幂例3　(1)已知＋＝，则x2＋x－2＝________.答案　7解析　将＋＝，两边平方得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.(2)已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2.解　①设m＝＋，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，因为m>0，所以m＝3，即＋＝3.②设n＝－，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，因为n∈R，所以n＝±，即－＝±.所以x－x－1＝(＋)(－)＝±3，x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.(教师)延伸探究本例(2)的条件不变，求x3＋x－3的值．解　由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2.跟踪训练3　已知a2x＝＋1，求的值．解　令ax＝t，则t2＝＋1，所以＝＝＝t2＋t－2－1＝＋1＋－1＝＋1＋－1－1＝2－1.1．化简的结果为(　　)A．5  B.  C．－  D．－5答案　B解析　＝＝＝.2.(a>0)的值为________．答案　解析　原式＝a3··＝＝.3．若α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.答案　　解析　由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝.4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.答案　解析　∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝＝.5．计算：0.25×－4－4÷20－＝________.答案　－4解析　原式＝×16－4÷1－－1＝4－4－4＝－4.1．知识清单：(1)根式与分数指数幂的互化．(2)分数指数幂的运算．2．方法归纳：整体代换法．3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
1．若有意义，则x的取值范围是(　　)A．R   B.∪C.   D.答案　D解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<.2．将化为分数指数幂为(　　)A．   B．C．   D．答案　B解析　＝＝＝.3．计算·(－3a－1b)÷ 得(　　)A．－b2   B.b2C．   D.答案　A解析　原式＝＝－b2.4．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)A．和   B．0－2和C．和   D．和－3答案　C解析　选项A中，和均不符合分数指数幂的定义，且＝＝－1，＝＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，＝，＝＝＝，满足题意．故选C.5．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　)A．2  B．0  C．－2  D．±2答案　B解析　由题意知ab<0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0.6．计算 ＝________.答案　 解析　＝.7．化简 ＝________.答案　1解析　原式＝＝＝＝1.8．已知－＝3，则＋＝________.答案　解析　因为＝a＋a－1＋2＝＋4＝9＋4＝13.又因为＋>0，所以＋＝.9．计算下列各式：(1)；(2) ÷ ．解　(1) ＝[－1×3×(－2)] ＝6x0y1＝6y.(2) ÷＝[2×(－3)÷(－6)] ＝x2y.10．计算：(1)7－3－6＋；(2) －－1× －10× .解　(1)原式＝7× －3××2－6×＋＝－6×＋＝2×－2×3×＝2×－2×＝0.(2)原式＝ －(3×1)－1× －10×＝－1－× －10×0.3＝－－3＝0.11．()4()4(a>0)等于(　　)A．a16  B．a8  C．a4  D．a2答案　C解析　原式＝＝a2a2＝a2＋2＝a4.12．已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)A.  B．10  C．20  D．100答案　A解析　由题意得m>0，∵2a＝m,5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝·＝，∴m2＝10，∴m＝.13．已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.答案　27解析　由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.①由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9.②由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.14．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a>0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．答案　4解析　因为所以①×②得a3m＝26，所以am＝22.将am＝22代入②得22·a－n＝28，所以an＝2－6，所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6＝22＝4.15．已知m＝2，n＝3，则3的值是________．答案　解析　m＝2，n＝3，则原式＝＝＝m·n－3＝2×3－3＝.16．对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．解　∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴＝，∴＝.同理，可得＝，＝.∴··＝··，即＝.又＋＋＝，a，b，c为正整数，∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.