高中数学4.1 指数优秀学案

这是一份高中数学4.1 指数优秀学案，共10页。学案主要包含了n次方根的概念，利用根式的性质化简或求值，根式与分数指数幂的互化等内容，欢迎下载使用。

4．1 指 数


4．1.1 n次方根与分数指数幂


学习目标 1.理解n次方根、n次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化．








知识点一 n次方根、n次根式


1．a的n次方根的定义


一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.


2．a的n次方根的表示





3.根式


式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．


知识点二 根式的性质


1.eq \r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．


2．(eq \r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．


3.eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．


4.eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．


知识点三 分数指数幂的意义





知识点四 有理数指数幂的运算性质


整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：


(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；


(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；


(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．





1．当n∈N*时，(eq \r(n,－3))n都有意义．( × )


2．( × )


3．a2·＝a.( × )


4．分数指数幂可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．( × )





一、n次方根的概念


例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.


答案 7或－11


解析 81的平方根为－9或9，


即a＝－9或9，


－8的立方根为－2，即b＝－2，


∴a＋b＝－11或7.


(2)若eq \r(4,x－2)有意义，求实数x的取值范围．


解 ∵eq \r(4,x－2)有意义，


∴x－2≥0，


∴x≥2，


即x的取值范围是[2，＋∞)．


反思感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．


(2)符号：根式eq \r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定．


①当n为偶数，且a≥0时，eq \r(n,a)为非负实数；


②当n为奇数时，eq \r(n,a)的符号与a的符号一致．


跟踪训练1 (1)已知x7＝8，则x等于( )


A．2eq \r(2) B.eq \r(7,8) C．－eq \r(7,8) D．±eq \r(7,8)


答案 B


解析 因为7为奇数，8的7次方根只有一个eq \r(7,8).


(2)若eq \r(4,2x＋5)有意义，则x的取值范围是________；


若eq \r(5,2x＋5)有意义，则x的取值范围是________．


答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，＋∞)) R


二、利用根式的性质化简或求值


例2 化简：


(1)eq \r(4,3－π4)；


(2)eq \r(a－b2)(a>b)；


(3)(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3).


考点 根式的化简


题点 根据根式的意义进行化简


解 (1)eq \r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.


(2)∵a>b，∴eq \r(a－b2)＝|a－b|＝a－b.


(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.


反思感悟 (1)n为奇数时eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n＝eq \r(n,an)＝a，a为任意实数．


(2)n为偶数时，a≥0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n才有意义，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n,a)))n＝a；


而a为任意实数时eq \r(n,an)均有意义，且eq \r(n,an)＝|a|.





跟踪训练2 化简：


(1)eq \r(7,－27)；


(2)eq \r(4,3a－34)(a≤1)；


(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4).


考点 根式的化简


题点 根据根式的意义进行化简


解 (1)eq \r(7,－27)＝－2.


(2)∵a≤1，∴eq \r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.


(3)eq \r(3,a3)＋eq \r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))


三、根式与分数指数幂的互化


例3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )


A．－eq \r(x)＝(x>0)


B.eq \r(6,y2)＝(y<0)


C．＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3)(x>0)


D．＝－eq \r(3,x)(x≠0)


答案 C


解析 －eq \r(x)＝(x>0)；


eq \r(6,y2)＝＝(y<0)；


＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3)(x>0)；


＝eq \r(3,\f(1,x))(x≠0)．


(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a>0，b>0)．


①eq \r(3,a)·eq \r(4,a)；


② eq \r(a\r(a\r(a)))；


③(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3).


解 ①eq \r(3,a)·eq \r(4,a)＝


②原式＝


③原式＝


反思感悟 根式与分数指数幂的互化


(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．


(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．


跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：


(1)(a>b)； (2)eq \r(3,x－15)；


(3)eq \f(1,\r(3,a2))； (4)


解 (1)＝eq \f(1,\r(4,a－b3))；


(2)eq \r(3,x－15)＝


(3)eq \f(1,\r(3,a2))＝


(4)＝eq \r(7,a－b3).





1．已知eq \r(a－b2)＝a－b，则( )


A．a>b B．a≥b


C．a

答案 B


解析 eq \r(a－b2)＝|a－b|＝a－b，


所以a－b≥0，所以a≥b，故选B.





2．在①eq \r(4,－42n)；②eq \r(4,－42n＋1)，③eq \r(5,a4)，④eq \r(4,a5)中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是( )


A．①② B．①③


C．①②③④ D．①②④


答案 B


3．化简eq \r(3,－a)·eq \r(6,a)的结果为( )


A．－eq \r(a) B．－eq \r(－a) C.eq \r(－a) D.eq \r(a)


考点 根式与分数指数幂的互化


题点 根式化为分数指数幂


答案 A


解析 显然a≥0.


∴eq \r(3,－a)·eq \r(6,a)＝＝－eq \r(a).


4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1－4·(－2)－3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))0－＝________.


答案 eq \f(19,6)


解析 原式＝2－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)))＋1－eq \f(1,3)


＝2＋eq \f(1,2)＋1－eq \f(1,3)＝eq \f(19,6).


5．化简eq \r(1－a2)·eq \r(4,\f(1,a－13))＝________.


答案 eq \r(4,a－1)


解析 要使原式有意义，则a－1>0.


eq \r(1－a2)·eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)))3)＝|1－a|·


＝(a－1)·＝＝eq \r(4,a－1).





1．知识清单：


(1)n次方根的概念、表示及性质．


(2)根式的性质．


(3)根式与分数指数幂的互化．


2．常见误区：


(1)根式中根指数要求n>1且n∈N*.


(2)对于eq \r(n,a)，当n为偶数时，a≥0.








1．已知m10＝2，则m等于( )


A.eq \r(10,2) B．－eq \r(10,2) C.eq \r(210) D．±eq \r(10,2)


考点 n次方根及根式概念


题点 n次方根及根式概念


答案 D


解析 ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．


又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．


∴m＝±eq \r(10,2).故选D.


2．若2

A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1


考点 根式的化简


题点 条件根式的化简


答案 C


解析 ∵20，a－3<0，


∴eq \r(2－a2)＋eq \r(4,3－a4)＝|2－a|＋|3－a|


＝a－2＋3－a＝1.


3．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )


A．和 B．0－2和


C．和 D．和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3


答案 C


解析 选项A中，和均符合分数指数幂的定义，但＝eq \r(3,－1)＝－1，＝eq \r(6,－12)＝1，故A不满足题意；


选项B中，0的负指数幂没有意义，故B不满足题意；


选项D中，和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；


选项C中，＝eq \r(2)，＝eq \r(4,22)＝＝eq \r(2)，满足题意．


故选C.


4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1\f(1,2)))0－(1－0.5－2)÷的值为( )


A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)


答案 D


解析 原式＝1－(1－22)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝1－(－3)×eq \f(4,9)＝eq \f(7,3).故选D.


5．设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂的形式，其结果是( )


A． B． C． D．


答案 C


解析 eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝＝＝


＝a2·＝＝.


6．若x≠0，则|x|－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),|x|)＝________.


答案 1


解析 ∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋eq \f(|x|,|x|)＝1.


7．若eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，则(x2 019)y＝________.


答案 －1


解析 因为eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，


所以eq \r(x＋12)＋eq \r(y＋32)＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，


所以x＝－1，y＝－3.


所以(x2 019)y＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1.


8.eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(3,0.125)的值为________．


答案 eq \f(3,2)


解析 原式＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2)－eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3)＋eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3)＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).


9．计算下列各式的值．


(1)；(2)；(3)；(4).


解 (1)11 (2)eq \f(7,8) (3)eq \f(1,1 000) (4)eq \f(9,25)


10．计算：


(1)eq \r(4,81×\r(9))；(2)2eq \r(3)×eq \r(3,3)×eq \r(6,3)；


(3)eq \r(5\f(4,9))－eq \r(3,2\f(10,27))＋eq \r(3,0.125－1)；


(4)eq \r(3,－83)＋eq \r(4,\r(3)－24)－eq \r(3,2－\r(3)3).


考点 根式的化简


题点 根据根式的意义进行化简


解 (1)原式＝eq \r(4,34×3)＝eq \r(4,3)＝eq \r(4,3)＝.


(2)原式＝2×××＝2×＝6.


(3)原式＝eq \r(\f(49,9))－eq \r(3,\f(64,27))＋eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))－1)


＝eq \f(7,3)－eq \f(4,3)＋2＝3.


(4)原式＝－8＋|eq \r(3)－2|－(2－eq \r(3))


＝－8＋2－eq \r(3)－2＋eq \r(3)


＝－8.





11.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq \r(4,a－b4)的值为( )





A．a＋b B．－(a＋b)


C．a－b D．b－a


答案 D


解析 由题图知f(－1)＝a－b＋0.1<0，


∴a－b<0.


∴eq \r(4,a－b4)＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.


12．若代数式eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，则eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,x－24)＝________.


答案 3


解析 ∵eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,2－x≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)，,x≤2，))


∴eq \f(1,2)≤x≤2.


∴eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,x－24)


＝eq \r(2x－12)＋2eq \r(4,x－24)


＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.


13．计算：eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,9))－\r(\f(2,9))))3)·(3eq \r(2)＋3)＋eq \f(\r(3)4－\r(2)4,\r(3)－\r(2)0)＝________.


答案 4


解析 原式＝eq \f(1－\r(2),3)·(3eq \r(2)＋3)＋eq \f(9－4,1)


＝(1－eq \r(2))(1＋eq \r(2))＋5＝4.


14．若eq \r(x－1)＋4eq \r(x＋y)＝0，则x＝________，x2 019＋y2 020＝________.


答案 1 2


解析 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝0，,x＋y＝0，))得x＝1，y＝－1，


∴x2 019＋y2 020＝2.





15．设f(x)＝eq \r(x2－4)，若0

考点 根式的化简


题点 条件根式的化简


答案 eq \f(1,a)－a


解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))2－4)＝eq \r(a2＋\f(1,a2)－2)


＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))，


因为0

故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))＝eq \f(1,a)－a.


16．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))的值．


解 因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,ab＝4，))


因为eq \r(a)>eq \r(b)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))))2＝eq \f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))


＝eq \f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，


所以eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5).n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
eq \r(n,a)
a∈R
n为偶数
±eq \r(n,a)
[0，＋∞)
分数指数幂
正分数指数幂
规定：＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义