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新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第2章 §2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式(含解析)
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这是一份新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第2章 §2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式(含解析)，共12页。
§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
知识点一 一元二次不等式的概念
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
思考 a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？
答案 可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式．
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
思考 二次函数y＝x2－4的零点是什么？
答案 令y＝x2－4＝0，解得x＝±2，所以二次函数y＝x2－4的零点是2和－2.
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
∅
思考 一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？
答案 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．
1．不等式x2<2的解集是________．
答案 {x|－
即(x－)(x＋)<0，
所以－
答案
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴不等式的解集为.
3．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
答案 ∅
解析 原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，
3x2－5x＋4<0的解集为∅.
4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2
解析 不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2
一、一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；
(2)－x2＋6x－9≥0；
(3)x2－2x－3>0.
解 (1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.
因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．
观察图象可得，原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，
根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．
(3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.
函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．
(学生)
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0.
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
二、含参数的一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2
当a>0时，不等式的解集为；
当－2
当a<－2时，不等式的解集为.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
跟踪训练2 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
解 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小．
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x
例3 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
由根与系数的关系可知＝－5，＝6.
由a<0知c<0，＝－，
故不等式cx2＋bx＋a<0，
即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，
解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
延伸探究
1．若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解得－
2．若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
知a<0.
又×2＝<0，则c>0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
故所求不等式的解集为.
方法二 由已知得a<0 且＋2＝－，×2＝知c>0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，
－＝＝＝－，
∴x1＝＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为
.
(学生)
反思感悟 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号．
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．
(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
跟踪训练3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
解 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为( )
A. B.
C．∅ D．R
答案 D
解析 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，
所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D．R
答案 C
解析 3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0
⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－.
3．已知集合U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，∁UA等于( )
A．{x|1
答案 C
解析 ∵U＝{x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵01>m，
故原不等式的解集为.
5．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，则不等式ax2＋bx－1>0的解集为________．
答案
解析 ∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，由根与系数的关系可得
∴a＝－2，b＝3，
ax2＋bx－1>0可变为－2x2＋3x－1>0，
即2x2－3x＋1<0，解得
1．知识清单：
(1)一元二次不等式的概念．
(2)二次函数的零点．
(3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C．∅ D.
答案 D
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 方法一 取x＝1检验，满足，排除A；
取x＝4检验，不满足，排除B，C.
方法二 原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1.
3．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案 B
解析 (2x＋1)(x－3)<0，∴－
4．如果关于x的不等式x2
C．－64 D．64
答案 B
解析 不等式x2
解得a＝4，b＝－3，所以ba＝(－3)4＝81.
5．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n
解析 方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n
答案 {x|x≠2}
解析 原不等式可化为(x－2)2>0，∴x≠2.
7．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________．
答案
解析 因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)·>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为.
8．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
答案
解析 由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得
9．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
解 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当a>0时，x1>x2，
不等式的解集为{x|－a
③当a<0时，x1
当a<0时，原不等式的解集为{x|2a
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以不等式的解集为.
11．(多选)下列不等式的解集为R的有( )
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
答案 AC
解析 A中Δ＝12－4×1<0.满足条件；
B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
C中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0
解析 根据给出的定义得，
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)
＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2
答案 {m|m<0}
解析 由题意知m<0，∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，
∴m的取值范围是{m|m<0}．
14．不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论：
①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0.
其中正确结论的序号是________．
答案 ③⑤
解析 由ax2－bx＋c>0的解集为知a<0，∵＝－×2＝－1<0，∴c>0.
又＝－＋2>0，∴b<0.
∵－1∉，∴a＋b＋c≤0，
又1∈，
∴a－b＋c>0，故③⑤正确．
15．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．
答案 －1
因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，
且A⊆{x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0.
若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，
解得－1
即所以2≤a≤.
综上，a的取值范围为－1
解 因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}．
当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实数，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1
当－
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a>或a<－时，
原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
知识点一 一元二次不等式的概念
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
思考 a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？
答案 可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式．
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
思考 二次函数y＝x2－4的零点是什么？
答案 令y＝x2－4＝0，解得x＝±2，所以二次函数y＝x2－4的零点是2和－2.
知识点三 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
∅
思考 一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？
答案 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．
1．不等式x2<2的解集是________．
答案 {x|－
即(x－)(x＋)<0，
所以－
答案
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x<－或x>1，
∴不等式的解集为.
3．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
答案 ∅
解析 原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，
3x2－5x＋4<0的解集为∅.
4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2
解析 不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2
一、一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；
(2)－x2＋6x－9≥0；
(3)x2－2x－3>0.
解 (1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.
因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．
观察图象可得，原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，
根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．
(3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.
函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．
(学生)
反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
跟踪训练1 解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；
(2)(2－x)(x＋3)<0.
解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
二、含参数的一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当<－1，即－2
当a>0时，不等式的解集为；
当－2
当a<－2时，不等式的解集为.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
跟踪训练2 解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
解 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小．
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x
例3 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
由根与系数的关系可知＝－5，＝6.
由a<0知c<0，＝－，
故不等式cx2＋bx＋a<0，
即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，
解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
延伸探究
1．若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解得－
2．若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2
知a<0.
又×2＝<0，则c>0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，
故所求不等式的解集为.
方法二 由已知得a<0 且＋2＝－，×2＝知c>0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，
－＝＝＝－，
∴x1＝＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a<0(c>0)的解集为
.
(学生)
反思感悟 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
(1)根据解集来判断二次项系数的符号．
(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．
(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
跟踪训练3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1
解 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1
由根与系数的关系得得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为( )
A. B.
C．∅ D．R
答案 D
解析 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，
所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D．R
答案 C
解析 3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0
⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－.
3．已知集合U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，∁UA等于( )
A．{x|1
答案 C
解析 ∵U＝{x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1
B.
C.
D.
答案 D
解析 ∵0
故原不等式的解集为.
5．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，则不等式ax2＋bx－1>0的解集为________．
答案
解析 ∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，由根与系数的关系可得
∴a＝－2，b＝3，
ax2＋bx－1>0可变为－2x2＋3x－1>0，
即2x2－3x＋1<0，解得
1．知识清单：
(1)一元二次不等式的概念．
(2)二次函数的零点．
(3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C．∅ D.
答案 D
解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 方法一 取x＝1检验，满足，排除A；
取x＝4检验，不满足，排除B，C.
方法二 原不等式可化为2x2＋7x－9≤0，
即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1.
3．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3} B．{1,2}
C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案 B
解析 (2x＋1)(x－3)<0，∴－
4．如果关于x的不等式x2
C．－64 D．64
答案 B
解析 不等式x2
解得a＝4，b＝－3，所以ba＝(－3)4＝81.
5．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n
解析 方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n
答案 {x|x≠2}
解析 原不等式可化为(x－2)2>0，∴x≠2.
7．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________．
答案
解析 因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)·>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为.
8．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
答案
解析 由题意知，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故解得a＝c，b＝a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得
9．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
解 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当a>0时，x1>x2，
不等式的解集为{x|－a
③当a<0时，x1
当a<0时，原不等式的解集为{x|2a
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得a＝－6，c＝－1.
(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以不等式的解集为.
11．(多选)下列不等式的解集为R的有( )
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
答案 AC
解析 A中Δ＝12－4×1<0.满足条件；
B中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
C中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．{x|0
解析 根据给出的定义得，
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)
＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2
答案 {m|m<0}
解析 由题意知m<0，∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，
∴m的取值范围是{m|m<0}．
14．不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论：
①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0.
其中正确结论的序号是________．
答案 ③⑤
解析 由ax2－bx＋c>0的解集为知a<0，∵＝－×2＝－1<0，∴c>0.
又＝－＋2>0，∴b<0.
∵－1∉，∴a＋b＋c≤0，
又1∈，
∴a－b＋c>0，故③⑤正确．
15．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．
答案 －1
因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，
且A⊆{x|1≤x≤3}，
所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0.
若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，
解得－1
即所以2≤a≤.
综上，a的取值范围为－1
解 因为Δ＝4a2－8，所以当Δ<0，即－
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}．
当Δ>0，即a>或a<－时，原不等式对应的方程有两个不等实数，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1
当－
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a>或a<－时，
原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
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