江苏省南通中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com期中数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.直线yx的倾斜角为（    ）

A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．

【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．

设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．

∴tanθ，

∴θ＝60°，

故选：B．

【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝2bsinA，则sinB的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理，把边化为角的正弦，再计算sinB的值．

【详解】△ABC中，a＝2bsinA，

由正弦定理得，sinA＝2sinBsinA，

又A∈（0，π），所以sinA≠0，

所以2sinB，

解得sinB．

故选：B

【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．

3.若直线过点和点，则该直线的方程为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

（法一）利用直线的两点式方程直接求解；

（法二）利用斜率公式知直线的斜率，再用点斜式写出直线方程．

【详解】解：（法一）因为直线过点和点，

所以直线的方程为，整理得；

（法二）因为直线过点和点，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，整理得；

故选：A．

【点睛】本题主要考查直线的两点式方程的应用，属于基础题．

4.已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．

【详解】∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），

∴tanθ＝2，

则.

故选：D

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式，属于基础题．

5.已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程(  )

A.  B.

C  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出圆心和半径，即得圆的方程.

【详解】由题得OC中点坐标为（3,4），

圆的半径为，

所以圆的方程为.

故选C

【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6.函数是（    ）

A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数

C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数

【答案】A

【解析】

【分析】

由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，即可得解．

【详解】函数，

故函数的最小正周期，且该函数为奇函数.

故选：A.

【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，考查了正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．

7.一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（      ）

A. 6海里 B. 12海里 C. 6海里或12海里 D. 海里

【答案】A

【解析】

【分析】

根据方位角可知，利用余弦定理构造方程可解得结果.

【详解】记轮船最初位置为，灯塔位置为，分钟后轮船位置为，如下图所示：

由题意得：，，

则，即：，解得：

即灯塔与轮船原来的距离为海里

本题正确选项：

【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，关键是能够利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.

8.已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设圆心，利用点到直线距离可构造方程求得，根据点的位置可确定圆心、半径，从而得到圆的标准方程.

【详解】圆的圆心在直线上，可设，

圆与轴正半轴相切与点，且圆的半径，.

到直线的距离，，解得：或，

或，

在直线的左上方，，，，

圆的标准方程为：.

故选：

【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，涉及到点到直线距离公式的应用；关键是能够采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得变量.

二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分）

9.点P是直线x+y﹣3＝0上的动点，由点P向圆O：x2+y2＝4作切线，则切线长可能为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据题意，设T为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT|，进而可得|PT|的最小值，分析选项即可得解．

【详解】根据题意，由点P向圆O：x2+y2＝4做切线，设T为切点，连接OP、OT，如图：

圆O：x2+y2＝4，其圆心为（0,0），半径r＝2；

则切线长，

当最小时，最小，

当PO与直线垂直时，取最小值，则，

所以，

分析选项：A、C、D都满足，符合题意.

故选：ACD．

【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题．

10.在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（    ）

A. a＝50，b＝30，A＝60° B. a＝30，b＝65，A＝30°

C. a＝30，b＝50，A＝30° D. a＝30，b＝60，A＝30°

【答案】AD

【解析】

【分析】

由已知结合正弦定理求解sinB，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案．

【详解】对于A，由a＝50，b＝30，A＝60°，

利用正弦定理可得：

则sinB，

∵a＞b，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；

对于B，由a＝30，b＝65，A＝30°，

利用正弦定理可得：

则sinB，此三角形无解；

对于C，由a＝30，b＝50，A＝30°，

利用正弦定理可得：

则sinB，

∵b＞a，且A为锐角，则角B有两解，故三角形有两解；

对于D，由a＝30，b＝60，A＝30°，

利用正弦定理可得：，

则sinB＝1，B＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解．

故选：AD

【点睛】本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．

11.在中,若,则的形状可能为(     )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

根据正弦定理,将化简为:,故,即可求得答案.

【详解】根据正弦定理

,

即.

,

或.

即或,

可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.

故选:ABCD.

【点睛】本题考查了判断三角形的形状,解题关键是掌握正弦定理和正弦的二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

12.已知圆M：，直线l：，下列四个选项，其中正确的是（    ）

A 对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点

B. 存在实数k与θ，直线l和圆M相离

C. 对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切

D. 对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切

【答案】AC

【解析】

【分析】

先确定圆的圆心坐标、直线所过的定点，根据直线与圆的位置关系，结合两点的距离公式、点到直线的距离公式、辅助角公式进行判断即可.

【详解】根据题意知圆M的圆心坐标为M（1+cosθ，2+sinθ），半径为1，

，直线l恒过定点N（1，2），

，所以定点N（1，2）在圆M上，

无论θ取何值，都由（1﹣1﹣cosθ）2+（2﹣2﹣sinθ）2＝1，

因此直线l和圆M有公共点，所以选项A正确，选项B错误；

圆心M到直线l的距离

，（其中sinβ，cosβ，tanβ＝k）

当时，，所以对任意实数k，

tanβ＝k，所以必存在实数θ，

使得直线l与圆M相切，所以C正确．

当θ＝0°时，，tanβ不存在，所以D不正确．

故选：AC

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分）

13.化简：_____．

【答案】-1

【解析】

【分析】

由诱导公式即可求解．

【详解】．

故答案为：﹣1．

【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

14.已知点（1，a）（a＞0）到直线l：x+y﹣2＝0的距离为1，则a的值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

利用点到直线距离公式，代入计算即可得到a的值．

【详解】由题可知，点 （1，a）（a＞0）到直线l：x+y﹣2＝0的距离为:

，解得：．

故答案：．

【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．

15.若，，则__________．

【答案】-1

【解析】

【分析】

根据,利用两角差的正切公式计算即可得结果.

【详解】 .

【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目.

16.在平面直角坐标系xOy中， 已知圆C1 : x2  y 2＝8与圆C2 : x2y 22xya＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______.

【答案】

【解析】

【分析】

先求得直线为：,再分别讨论或和的情况,根据几何性质求解即可

【详解】由题,则直线为：,

当或时,设到的距离为,

因为等腰直角三角形,

所以,即,所以,

所以,解得,

当时,经过圆心,则,即,

故答案为：

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想

四、解答题（本小题共6小题，共70分）

17.已知函数f（x）＝cos2x+2sinxcosx﹣sin2x．

（1）求函数f（x）的最小正周期

（2）求函数f（x）单调增区间．

【答案】（1）Tπ；（2）[kπ，kπ]，k∈Z．

【解析】

【分析】

（1）利用辅助角二倍角公式化简，即可求函数f（x）的最小正周期

（2）根据三角函数的性质即可求出函数f（x）单调增区间．

【详解】函数f（x）＝cos2x+2sinxcosx﹣sin2x．

化简可得：f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx

＝cos2xsin2x

＝2sin（2x），

（1）∵ω＝2，

∴f（x）的最小正周期为Tπ；

（2）令2kπ2x2kπ（k∈Z），

解得：kπx≤π，k∈Z，

则f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．

18.已知直线且．

（1）求直线之间的距离；

（2）已知圆C与直线相切于点A，且点A的横坐标为，若圆心C在直线上，求圆C的标准方程．

【答案】（1）（2）．

【解析】

【分析】

先由两直线平行解得，再由平行直线间的距离公式可求得；

代得，可得AC的方程，与联立得，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．

【详解】解：，，解得，

：，：，

故直线与的距离．

当代入，得，

所以切点A的坐标为，

从而直线AC的方程为，得，

联立得．

由知的半径为，

所以所求圆的标准方程为：．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．

19.如图，在一条海防警戒线上的点处各有一个水声监测点，两点到的距离分别为20千米和50千米，某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1．5千米/秒．

（1）设到距离为千米，用表示到的距离，并求的值；

（2）求到海防警戒线的距离．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）依题意，有=，，根据余弦定理，列出方程，即可求解的值；（2）作于，在中，由，得，即可求解点到海防警戒线的距离．

试题解析：（1）依题意，有=，．

在中，，，

同理在中，，．

∵，∴，解得：．

（2）作于，在中，由，

得，∴千米．

故静止目标到海防警戒线的距离为千米．

考点：解三角形的实际应用．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理于余弦定理的应用以及三角形的高线的应用等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于基础题，此类问题的解答中关键在于灵活运用正弦定理和余弦定理找到解决问题的途径．

20.已知圆E经过M（﹣1，0），N（0，1），P（，）三点．

（1）求圆E的方程；

（2）若过点C（2，2）作圆E的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程．

【答案】（1）x2+y2＝1；（2）2x+2y﹣1＝0．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，设圆E的圆心E坐标为（a，b），半径为r，结合题意可得，解可得a、b、r的值，由圆的标准方程的形式分析可得答案.

（2）设以C为圆心，CA为半径的圆C，其半径为R，由切线长公式计算可得R的值，分析可得圆C的方程，又由直线AB为圆E与圆C的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，变形分析可得答案．

【详解】（1）根据题意，设圆E的圆心E坐标为（a，b），半径为r，

则有，解可得，

则圆E的方程为x2+y2＝1；

（2）根据题意，过点C（2，2）作圆E的两条切线，切点分别是A，B，

设以C为圆心，CA为半径的圆C，其半径为R，

则有R＝|CA|，

则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝7，即x2+y2﹣4x﹣4y+1＝0，

又由直线AB为圆E与圆C的公共弦所在的直线，

则有，

解可得2x+2y﹣1＝0，

则AB的方程为：2x+2y﹣1＝0．

【点睛】本题考查直线与圆的方程，关键是求出圆E的方程，属于基础题．

21.已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：

①函数的周期为；

②是函数的对称轴；

③且在区间上单调.

（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；

（Ⅱ）若，求函数值域.

【答案】（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.

（Ⅱ）得到，得到函数值域.

【详解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；

由③得，，，；

若①②成立，则，，，

若①③成立，则，，不合题意，

若②③成立，则，，

与③中的矛盾，所以②③不成立，

所以只有①②成立，.

（Ⅱ）由题意得，，

所以函数的值域为.

【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

22.如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点.

（1）若，求△AMN的面积；

（2）过点P（）作圆O的两条切线，切点分别为E，F，求；

（3）若，求证：直线MN过定点.

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）直线AM的方程为，直线AN的方程为，由中位线定理知，，由此能求出的面积．（2）由已知条件推导出，，由此能求出．（3）设直线的方程，则直线的方程为，联立方程，得同理，由此能证明直线过定点．

试题解析：（1）由题知，得直线的方程为，直线的方程为

所以，圆心到直线的距离，所以，，由中位线定理知， AN=，由题知，所以⊥，=.

（2），，

所以.

所以，

所以

（3）由题知直线和直线的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线的的方程，则直线的方程为，所以，联立方程，所以，，得或，

所以， 同理，，

因为轴上存在一点D，

所以，=，同理，

所以，=，所以，直线过定点.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.