高考数学二轮专题学与练 17 概率与统计（高考押题）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 17 概率与统计（高考押题）（含解析），共20页。

高考押题专练
1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况，
∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝＝，故选A.
2．在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】这是一个几何概型问题，测度是长度，此问题的总体长度为5，使得“X≤1”的长度为3，故P(X≤1)＝.
3．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．① B．②④ C．③ D．①③
【答案】C　
【解析】从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．
4．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P＝＝.
5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种，∴所求概率P＝＝.
6．设k是一个正整数，已知的展开式中第四项的系数为，函数y＝x2与y＝kx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，则点(x，y)恰好落在阴影部分内的概率为(　　)

A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由题意得C＝，解得k＝4.因为函数y＝x2与y＝4x的交点坐标为(4，4)，所以阴影部分的面积S1＝(4x－x2)dx＝|＝，
∵任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，
∴以x，y为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S2＝4×16＝64，所以所求概率P＝＝，故选C.
7．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)

A．1－ B.－1 C．2－ D.
【答案】A　
【解析】依题意，有信号的区域面积为×2＝，矩形的面积为2，故所求概率为P＝＝1－.
8．已知数列{an}是等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，则剩下三项构成等差数列的概率为(　　)
A. B.
C．1或 D．1或
【答案】C　
【解析】当等差数列{an}的公差为0时，剩下三项一定构成等差数列，故概率为1.
当等差数列{an}的公差不为0时，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，剩下三项的总数有C＝35(种)，剩下三项构成等差数列，则符合条件的有(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，(a3，a4，a5)，(a4，a5，a6)，(a5，a6，a7)，(a1，a3，a5)，(a2，a4，a6)，(a3，a5，a7)，(a1，a4，a7)9种情况，故剩下三项构成等差数列的概率为.
9．在不等式组所表示的平面区域内任取一点P，若点P的坐标(x，y)满足y≥kx的概率为，则实数k＝(　　)
A．4 B．2 C. D.
【答案】D　
【解析】如图，满足不等式组的区域是边长为2的正方形，面积是4，假设满足不等式y≥kx的区域如图阴影部分，其面积为4－×2×2k，由几何概型的概率公式得点P的坐标(x，y)满足y≥kx的概率为＝，解得k＝.

10．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.若AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝B1F，在长方体ABCD­A1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFE­D1DCGH内的概率为(　　)

A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】在等腰直角三角形B1EF中，因为斜边EF＝a，所以B1E＝B1F＝a.
根据几何概型概率公式，得
P＝
＝
＝1－
＝1－＝1－
＝1－·a·a＝1－＝.故选D.
11．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】记两个零件中恰有一个一等品的事件为A，则P(A)＝P(A1)＋ P(A2)＝×＋×＝.
12．某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】B　
【解析】1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，
∴不发芽的种子数ξ～B(1 000，0.1)，
∴1 000粒种子中不发芽的种子数的数学期望E(ξ)＝1 000×0.1＝100(粒)，又每粒不发芽的种子需补种2粒，
∴需补种的种子数的数学期望E(X)＝2×100＝200(粒)．
13．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2<ξ≤4)等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】由分布列的知识得P(2＜ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝.
14．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)分别是(　　)
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
【答案】B　
【解析】若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)，D(X)时，则E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.
因此，E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
15．设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1 A. B. C．3 D.
【答案】C　
【解析】由E(ξ)＝，D(ξ)＝，得
解得或
由于x1 ∴x1＋x2＝3.
16．一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则样本中在[40，60)内的数据个数为(　　)

A．15 B．16 C．17 D．19
【答案】A　
【解析】因为样本中数据在[20，60)上的频率为0.8，由图知，样本中数据在[20，40)上的频率为4＋5＝9，所以样本中数据在[20，40)上的频率为9÷30＝0.3.所以样本在[40，50)，[50，60)内的数据的频率和为0.8－0.3＝0.5，所以样本在[40，50)，[50，60)内的数据的个数和为30×0.5＝15.
17．有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程＝－2.352x＋147.767，根据以上信息，判断下列结论中正确的是(　　)

摄氏温度
－5
0
4
7
12
15
19
23
27
31
36
热饮杯数
156
150
132
128
130
116
104
89
93
76
54
A.气温与热饮的销售杯数之间成正相关
B．当天气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮
C．当天气温为10℃时，这天恰卖出124杯热饮
D．由于x＝0时，的值与调查数据不符，故气温与卖出热饮杯数不存在线性相关性
【答案】B　
【解析】当x＝2时，＝－2×2.352＋147.767＝143.063，即这天大约可以卖出143杯热饮，故B正确．
18．一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为(　　)
A．9 B．3
C．17 D．－11
【答案】A　
【解析】设这个数为x，则平均数为，众数为2，若x≤2，则中位数为2，此时x＝－11；若2 19．下列四个命题：
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；
②某只股票经历了10个跌停(下跌10%)后需再经过10个涨停(上涨10%)就可以回到原来的净值；
③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为＋；
④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从1到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是7.
其中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C　
【解析】①∵样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，∴①正确；
②设股票数值为a，股票经历10个跌停(下跌10%)后，再经过10个涨停(上涨10%)，其数值为a×＝a.∴②错误．
③由题意得两个级部的数学总分为ma＋nb，故平均分为，故③错误．
④用系统抽样方法，从全体800名学生中抽50名学生的分段间隔为＝16，又从497～513这16个数中取得的学生编号是503，503＝16×31＋7，∴在第1小组1～16中随机抽到的学生编号是007号，∴④正确，所以真命题的个数是2，故选C.
20．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1 B．0
C. D．1
【答案】D　
【解析】因为所有样本点都在直线y＝x＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.
21．甲、乙两位歌手在“中国新歌声”选拔赛中，5次得分情况如图所示．记甲、乙两人的平均得分分别为甲，乙，则下列判断正确的是(　　)

A.甲＜乙，甲比乙成绩稳定
B.甲＜乙，乙比甲成绩稳定
C.甲＞乙，甲比乙成绩稳定
D.甲＞乙，乙比甲成绩稳定
【答案】B
【解析】甲＝＝85，
乙＝＝86，
s＝[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52，
s＝[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6，
所以甲＜乙，s＞s，故乙比甲成绩稳定，故选B.
22．若θ∈[0，π]，则sin>成立的概率为(　　)
A. B. C. D．1
【答案】B　
【解析】依题意，当θ∈[0，π]时，θ＋∈，由sin>得≤θ＋<，即0≤θ<.因此，所求的概率为＝.
23．将一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m，n，m为2或4时，m＋n>5的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】依题意得，先后抛掷两次骰子所得的点数对(m，n)为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，…，(6,5)，(6,6)，共有36组，其中当m＝2或4时，相应的点数对(m，n)共有12组．当m＝2时，满足m＋n>5，即n>3的点数对(m，n)共有3组；当m＝4时，满足m＋n>5，即n>1的点数对(m，n)共有5组，因此所求的概率为＝.
24．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A　
【解析】设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种，田忌马获胜有Ab，Ac，Bc，共3种，所以田忌的马获胜的概率为.
25．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】依题意得，不等式组表示的平面区域为如图所示的正方形ABCD的内部(含边界)，其面积为1×1＝1，不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)，其面积为××1＝，因此所求的概率为.

26．在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】若直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交，则圆心到直线的距离d＝<1，解得－ 27．已知样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)，若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝a＋(1－a)，其中0 A．nm
C．n＝m D．不能确定
【答案】A　
【解析】由题意可得，＝，
＝，
则＝＝·＋·＝·＋·＝a＋(1－a)，所以＝a，＝1－a，又0 28．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；
(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？

【解析】(1)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个．
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个，
故由古典概型概率公式得P(A)＝.
(2)由数据得，另3天的平均数＝12，＝27，3 ＝972，3 2＝432，xiyi＝977，x＝434，
所以＝＝，
＝27－×12＝－3，
所以y关于x的线性回归方程为＝x－3.
(3)依题意得，
当x＝10时，＝22，|22－23|＜2；
当x＝8时，＝17，|17－16|＜2，
所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．
29．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：

积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．
参考公式与临界值表：K2＝.
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【解析】(1)随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有24人，所以抽到积极参加班级工作的学生的抽法有24种，因此由古典概型概率的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1＝＝.
因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P2＝.
(2)K2＝≈11.538，
由于11.538>10.828，所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
30．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．

(1)已知[30，40)，[40，50)，[50，60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
(2)该电子商务平台将年龄在[30，50)内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X(单位：元)的分布列与数学期望．
【解析】(1)由题意可知
解得a＝0.035，b＝0.025.
(2)利用分层抽样从样本中抽取10人，易知其中属于高消费人群的有6人，属于潜在消费人群的有4人．
从该10人中抽取3人，此3人所获得代金券的总和为X(单位：元)，
则X的所有可能取值为150，200，250，300.
P(X＝150)＝＝，
P(X＝200)＝＝，
P(X＝250)＝＝，
P(X＝300)＝＝.
所以X的分布列为
X
150
200
250
300
P




E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝210.
31．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商)．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；
(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？
【解析】(1)女性平均使用微信的时间为：
0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76.
(2)2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.
由题设条件得列联表：
性别
微信控
非微信控
总计
男性
38
12
50
女性
30
20
50
总计
68
32
100
所以K2＝＝
≈2.941＞2.706.
所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关．
32．某校高一(1)、(2)两个班联合开展“诗词大会进校园，国学经典润心田”古诗词竞赛主题班会活动．主持人从这两个班分别随机选出20名同学进行当场测试，他们的成绩按[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分组，分别用频率分布直方图茎叶图统计如下(单位：分)：
(1)班20名同学成绩频率分布直方图

(2)班20名同学成绩茎叶图

(1)分别计算两个班这20名同学的测试成绩在[80，90)的频率，并补全频率分布直方图；
(2)分别从两个班随机选取1人，设这两人中成绩在[80，90)的人数为X，求X的分布列．(频率当作概率使用)
【解析】(1)高一(1)班这20名同学的测试成绩在[80，90)的频率为
1－(0.005＋0.015＋0.005＋0.02＋0.015)×10＝0.4.
高二(2)班这20名同学的测试成绩在[80，90)的频率为＝0.2.
补全频率分布直方图如下：

(2)由题意可知，从高一(1)、(2)两个班各随机选取1人，
成绩在[80，90)的概率分别为，.
从两个班随机选取1人，这两人中成绩在[80，90)的人数X可能为0，1，2.
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝×＋×＝；
P(X＝2)＝×＝，
则X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
P(X)



33.为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果．期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
分数
[50，59)
[60，69)
[70，79)
[80，89)
[90，100]
甲班频数
5
6
4
4
1
乙班频数
1
3
6
5
5
(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

甲班
乙班
总计
成绩优良



成绩不优良



总计



附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635

(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．
【解析】(1)由统计数据得2×2列联表：

甲班
乙班
总计
成绩优良
9
16
25
成绩不优良
11
4
15
总计
20
20
40
根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈5.227>5.024，
所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．
(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为×8＝3，则X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
34.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
【解析】(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.
(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12＝96 000.
(3)因为前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85，前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85，
所以2.5≤x<3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
35．某地电影院为了了解当地影迷对快要上映的一部电影的票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x(单位：元)与渴望观影人数y(单位：万人)的结果如下表：
x(单位：元)
30
40
50
60
y(单位：万人)
4.5
4
3
2.5
(1)若y与x具有较强的相关关系，试分析y与x之间是正相关还是负相关；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．
参考公式：＝，＝－.
【解析】(1)由表中数据易知，y随x的增大而减小，故y与x之间是负相关．
(2)由表中数据可得＝45，＝3.5，
iyi－4＝－35，－42＝500，
则＝＝－0.07，＝3.5＋0.07×45＝6.65，
所以，所求线性回归方程为＝－0.07x＋6.65.
(3)根据(2)中的线性回归方程，若票价为x元，则渴望观影人数约为(－0.07x＋6.65)万人，可预测票房收入为z＝x(－0.07x＋6.65)＝－0.07x2＋6.65x＝－0.07(x－47.5)2＋157.937 5，易得，当x＝47.5时，z取得最大值，即票价定为47.5元时，能获得最大票房收入．
36．某高中学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见图表．规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．
分数
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
A
B
C
D
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图①所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图②所示．

(1)求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；
(2)在选取的样本中，从成绩为A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生的成绩是A等级的概率．
【解析】(1)由频率分布直方图及茎叶图中的相关数据可知，样本容量n＝＝50，
x＝＝0.004，
y＝＝0.018.
因为成绩是合格等级的频率为1－0.1＝，
依据样本估计总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是.
(2)由频率分布直方图及茎叶图知，A等级学生共有3名，D等级学生共有0.1×50＝5名，记A等级学生分别为A1，A2，A3，D等级学生分别为D1，D2，D3，D4，D5，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A1A2，A1A3，A1D1，A1D2，A1D3，A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，A2D4，A2D5，A3D1，A3D2，A3D3，A3D4，A3D5，D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共28个基本事件．
记“至少有一名学生的成绩是A等级”为事件E，则其对立事件的可能结果为D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共10种．
所以P(E)＝1－P()＝1－＝
37．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：
分数段(分)
[50,70)
[70,90)
[90,110)
[110,130)
[130,150]
总计
频数



b


频率
a
0.25




(1)求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；
(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出的两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．

【解析】(1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a＝0.1，b＝3.
∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，
∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8，
估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P＝1－0.1－0.25＝0.65.
(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为
Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，
设事件A＝“取出的两个样本数字之差的绝对值小于等于10”，
则A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，
∴P(A)＝.
38．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．

(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；
(2)将y表示为x的函数；
(3)根据频率分布直方图估计利润y不少于4 800元的概率．
【解析】(1)由频率分布直方图得：
这个开学季内市场需求量x的众数估计值是150.
需求量为[100,120)的频率为0.005×20＝0.1，
需求量为[120,140)的频率为0.01×20＝0.2，
需求量为[140,160)的频率为0.015×20＝0.3，
需求量为[160,180)的频率为0.012 5×20＝0.25，
需求量为[180,200]的频率为0.007 5×20＝0.15.
则平均数＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153.
(2)因为每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，
所以当100≤x≤160时，y＝50x－30×(160－x)＝80x－4 800，
当160 所以y＝(x∈N)．
(3)因为利润不少于4 800元，所以80x－4 800≥4 800，解得x≥120.
所以由(1)估计利润不少于4 800元的概率P＝1－0.1＝0.9.