高考数学二轮专题学与练 10 数列求和及其应用（考点解读）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 10 数列求和及其应用（考点解读）（含解析），共28页。试卷主要包含了数列求和的方法技巧，数列的综合问题，由a1=–7得d=2等内容，欢迎下载使用。

专题10 数列求和及其应用

高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式。预测高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注。

1．数列求和的方法技巧
(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和。
(2)错位相减法
这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。
(3)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。
(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和。
(5)分组转化求和法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并。
2．数列的综合问题
(1)等差数列与等比数列的综合。
(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合。
(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题。
数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决。
【误区警示】
1．应用错位相减法求和时，注意项的对应。
2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和。

高频考点一 数列求和
例1、(2018年天津卷)设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
(I)求和的通项公式；
(II)设数列的前n项和为，
(i)求；
(ii)证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.
【解析】(I)设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
(II)(i)由(I)，有，
故.
(ii)因为，
所以
【变式探究】【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.
(1)证明：等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】证明:(1)因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
(2)数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时， ，①
当时， .②
由①知， ，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
【解析】(1)由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，
则b1＝2，b2＝1.
当n≥3时，由于3n－1>n＋2，
故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则T1＝2，T2＝3，
当n≥3时，Tn＝3＋－＝
，
∴Tn＝
【举一反三】若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项的和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)记cn＝，求{cn}的前n项和Sn.
【解析】(1)由于an＝2(n＋1)，
∴{an}为等差数列，且a1＝4.
∴An＝＝＝n2＋3n，
∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n，
当n＝1时，b1＝B1＝8，
当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2.
由于b1＝8适合上式，
∴bn＝6n＋2.
(2)由(1)知cn＝＝＝，
∴Sn＝
…＋
＝
＝－.
【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由题意知当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.
当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．
∴an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
由即解得
∴bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得
－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2，
∴Tn＝3n·2n＋2.
高频考点二、数列和函数、不等式的交汇
例4、(2018年江苏卷)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s (1)求的值；
(2)求的表达式(用n表示)．
【答案】(1)2 5
(2)n≥5时，
【解析】(1)记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
(2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，

，
因此，n≥5时， ．
【变式探究】已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>.
(1)【解析】由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，
两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，
∴数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1.
由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得
2a3＝3a2＋2，
即2q2＝3q＋2，
则(2q＋1)(q－2)＝0.
由已知，q>0，故q＝2.
∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，
∴双曲线x2－＝1的离心率
en＝＝.
由e2＝＝解得q＝.
∵1＋q2(k－1)>q2(k－1)，
∴>qk－1(k∈N*)．
于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，
故e1＋e2＋…＋en>.
【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若点(bn，an)在函数y＝log2x的图象上，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2＋2n－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，
当n＝1时，a1＝S1＝4＝4×1，
∴数列{an}的通项公式为an＝4n.
(2)由点{bn，an}在函数y＝log2x的图象上得an＝log2bn，且an＝4n，
∴bn＝2an＝24n＝16n，
故数列{bn}是以16为首项，公比为16的等比数列．
Tn＝＝.
高频考点三 数列的应用与综合问题
例3、已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设bn＝log2(S3n＋2)，数列的前n项和为Tn，求证≤4Tn<.
【解析】(1)因为an＋1＝Sn＋2，①
所以当n≥2时，an＝Sn－1＋2，②
①－②得，an＋1－an＝Sn－Sn－1，
即an＋1＝2an(n≥2)，
又因为a2＝a1＋2＝4，即a2＝2a1，
所以an＋1＝2an(n≥1)，
即数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，
所以an＝2·2n－1＝2n，an＋1＝2n＋1，
则Sn＝an＋1－2＝2n＋1－2.
(2)证明：由(1)得S3n＝23n＋1－2，
所以S3n＋2＝23n＋1，
则bn＝log223n＋1＝3n＋1，
则＝
＝×，
所以Tn＝＋＋…＋
＝×

＝×＝－.
因为>0，所以Tn<.
又Tn＝＝，当n＝1时，Tn取得最小值为，
所以≤Tn<，即≤4Tn<.
【举一反三】已知等差数列{an}满足a6－a3＝6，且a3－1是a2－1，a4的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn<成立的最大正整数n的值．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差d，∵a6－a3＝3d＝6，即d＝2，
∴a3－1＝a1＋3，a2－1＝a1＋1，a4＝a1＋6，
∵a3－1是a2－1，a4的等比中项，
∴(a3－1)2＝(a2－1)·a4，即(a1＋3)2＝(a1＋1)(a1＋6)，解得a1＝3.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.
(2)由(1)得bn＝＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝，
由<，得n<9.
∴使得Tn<成立的最大正整数n的值为8.
【变式探究】在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝4an－3.令bn＝log4(an－1)，n∈N*.
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式(－1)nkbn<2Sn＋n＋4对所有的正奇数n都成立，求实数k的取值范围．
【解析】(1)证明：因为bn＋1＝log4(an＋1－1)＝log4[4(an－1)]＝1＋log4(an－1)＝1＋bn，所以bn＋1－bn＝1，
所以数列{bn}是以b1＝log44＝1为首项，1为公差的等差数列，
所以bn＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知bn＝n，则Sn＝，
所以(－1)nkbn<2Sn＋n＋4等价于(－1)nkn 因为n为正奇数，所以原式变形为k>－(n＋)－2，则k>[－(n＋)－2]max.
令函数f(x)＝－(x＋)－2，x>0，
则f′(x)＝＝，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)>0，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，
即f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
由f(1)＝－7 得f(n)max＝－(n为正奇数)，
所以k>－，即实数k的取值范围为(－，＋∞)．

1.【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
2．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
1. (2018年浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{(bn+1−bn)an}的前n项和为2n2+n．
(Ⅰ)求q的值；
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式．
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由是的等差中项得，
所以，
解得.
由得，
因为，所以.
(Ⅱ)设，数列前n项和为.
由解得.
由(Ⅰ)可知，
所以，
故，
.
设，
所以，
因此，
又，所以.
2. (2018年天津卷)设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
(I)求和的通项公式；
(II)设数列的前n项和为，
(i)求；
(ii)证明.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.
【解析】(I)设等比数列的公比为q.由
可得.因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得
由，可得
从而 故
所以数列的通项公式为，
数列的通项公式为
(II)(i)由(I)，有，
故.
(ii)因为，
所以
3. (2018年江苏卷)设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
(1)设，若对均成立，求d的取值范围；
(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围(用表示)．
【答案】(1)d的取值范围为．
(2)d的取值范围为，证明见解析。
【解析】(1)由条件知：．
因为对n=1，2，3，4均成立，
即对n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范围为．
(2)由条件知：．
若存在d，使得(n=2，3，···，m+1)成立，
即，
即当时，d满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取d=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值()．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当x>0时，，
所以单调递减，从而 当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，d的取值范围为．
4. (2018年江苏卷)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s (1)求的值；
(2)求的表达式(用n表示)．
【答案】(1)2 5
(2)n≥5时，
【解析】(1)记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
(2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，．
当n≥5时，

，
因此，n≥5时， ．
5. (2018年全国Ⅱ卷) 记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)an=2n–9，(2)Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．
(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
6. (2018年全国Ⅲ卷)等比数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和．若，求．
【答案】(1)或
(2)
【解析】(1)设的公比为，由题设得．
由已知得，解得(舍去)，或．
故或．
(2)若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
1.【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】 (1)..(2).
【解析】
(I)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由已知，得，而，所以.
又因为，解得.所以， .
由，可得 ①.
由，可得 ②，
联立①②，解得， ，由此可得.
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.
(II)【解析】设数列的前项和为，
由， ，有，
故，
，
上述两式相减，得

得.
所以，数列的前项和为.
2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.
(1)证明：等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】证明:(1)因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
(2)数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时， ，①
当时， .②
由①知， ，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
3.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式；
(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.

【答案】(I)(II)

(II)过……向轴作垂线，垂足分别为……,
由(I)得
记梯形的面积为.
由题意，
所以
……+
=……+ ①
又……+ ②
①-②得

=
所以
1.【2016高考天津】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.
(Ⅰ)设，求证：是等差数列；
(Ⅱ)设 ，求证：
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析
【解析】
(Ⅰ)证明：由题意得，有，
因此，所以是等差数列.
(Ⅱ)证明：

所以.
2.【2016高考新课标3】已知数列的前n项和，其中．
(I)证明是等比数列，并求其通项公式；
(II)若 ，求．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】
(Ⅰ)由题意得，故，，．
由，得，即．
由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，由得，即，
解得．
3.【2016高考浙江】设数列满足，．
(I)证明：，；
(II)若，，证明：，．
【答案】(I)证明见解析；(II)证明见解析．
【解析】(I)由得，故
，，
所以


，
因此
．
(II)任取，由(I)知，对于任意，


，
故


．
从而对于任意，均有
．
由的任意性得． ①
否则，存在，有，取正整数且，则
，
与①式矛盾．
综上，对于任意，均有．
4.【2016年高考北京】(本小题13分)
设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
(1)对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；
(2)证明：若数列A中存在使得>，则 ；
(3)证明：若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.
【答案】(1)的元素为和；(2)详见解析；(3)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)的元素为和.
(Ⅱ)因为存在使得，所以.
记，
则，且对任意正整数.
因此，从而.
(Ⅲ)当时，结论成立.
以下设.
由(Ⅱ)知.
设.记.
则.
对，记.
如果，取，则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素，所以.
从而对任意，，特别地，.
对.
因此.
所以.
因此的元素个数p不小于.
5.【2016年高考四川】(本小题满分12分)
已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .
(Ⅰ)若 成等差数列，求的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.
【解析】(Ⅰ)由已知， 两式相减得到.
又由得到，故对所有都成立.
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列，可得，即，则，
由已知,，故 .
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，.
所以双曲线的离心率 ．
由解得.
因为，所以.
于是，
故.
6.【2016高考上海】(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
(1)若具有性质，且，，求；
(2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
(3)设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
【答案】(1)．(2)不具有性质．(3)见解析．
【解析】(1)因为，所以，，．
于是，又因为，解得．
(2)的公差为，的公比为，
所以，．
．
，但，，，
所以不具有性质．
(3)[证]充分性：
当为常数列时，．
对任意给定的，只要，则由，必有．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设不是常数列，则存在，
使得，而．
下面证明存在满足的，使得，但．
设，取，使得，则
，，故存在使得．
取，因为()，所以，
依此类推，得．
但，即．
所以不具有性质，矛盾．
必要性得证．
综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．
7.【2016高考新课标2】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求数列的前1 000项和．
【答案】(Ⅰ)，， ；(Ⅱ)1893.
【解析】
(Ⅰ)设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为

(Ⅱ)因为
所以数列的前项和为
8.【2016高考山东】(本小题满分12分)
已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令 求数列的前n项和Tn.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由题意知当时，，
当时，，
所以.
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
又，
得，
，
两式作差，得


所以
9.【2016高考江苏卷】(本小题满分16分)
记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)对任意正整数，若，求证：；
(3)设,求证：.
【答案】(1)(2)详见解析(3)详见解析
【解析】
(1)由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
(2)因为，，
所以.
因此，.
(3)下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由(2)知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.
10.【2016高考山东】(本小题满分12分)
已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令 求数列的前n项和Tn.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由题意知当时，，
当时，，
所以.
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
又，
得，
，
两式作差，得


所以