新高考数学二轮复习8+4+4选填小题精炼 (19) (含解析)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练（19）

一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

解出集合、中的不等式即可.

【详解】因为，

所以

故选：B

【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法、指数不等式的解法和集合的运算，较简单.

2.已知复数满足，其中为复数的共轭复数，则实数（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

根据条件得到，，代入已知等式，即可求得实数的值．

【详解】由题意得，所以，所以由，得，得．

故选：C.

【点睛】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数等，考查考生对复数四则运算的掌握情况及运算求解能力，属于基础题.

3.若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】分析：由公式可得结果.

详解：

故选B.

点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.

4.函数的大致图象为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

当时，，可排除AD；当时，，可排除C，得到答案.

【详解】当时，，可排除AD；当时，，可排除C.

故选：B.

【点睛】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题.

5.已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

通过对数函数的单调性和举反例，并借助充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】因为，所以由，得，

所以，，

所以，则充分性成立；

当时，，但是无意义，故必要性不成立.

综上，已知，则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.若想说明一个式子不成立，可以采用举反例法，给出一个反例即可.

6.已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

由抛物线定义得，因此双曲线的渐近线方程为，选C.

点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸；③台体的体积）（    ）

A. 3寸 B. 4寸 C. 5寸 D. 6寸

【答案】A

【解析】

【分析】

作出圆台的轴截面,根据已知条件,利用圆台体积公式可求得盆中积水体积,再求出盆口面积,根据平均降水量的定义可求得结果.

【详解】作出圆台的轴截面如图所示:

由题意知,寸,寸,寸,寸,

即是的中点,

为梯形的中位线,

寸,即积水的上底面半径为寸,

盆中积水的体积为（立方寸）,

又盆口的面积为（平方寸）,

平均降雨量是寸,即平均降雨量是3寸,

故选:A

【点睛】本题考查圆台体积的有关计算,关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高,考查运算能力.

8.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

取的中点，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得，，由线面垂直的判定与性质可得，进而可得点的轨迹为线段，找到的最大值即可得解.

【详解】取的中点，连接、、、，连接、、、、，如图：

因为正方体的棱长为2，

所以,，，平面，平面，平面，

所以，，，

所以，，

所以，，

由可得平面，

所以，所以点的轨迹为线段，

又,

所以面积的最大值.

故选：C.

【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点的轨迹，属于中档题.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法正确的是（    ）

A. 该市总有15000户低收入家庭

B. 在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C. 在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户

D. 在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

【答案】ABC

【解析】

【分析】

直接根据图表依次判断每个选项得到答案.

【详解】该市总有户低收入家庭，A正确；

在该市从业人员中，低收入家庭共有户，B正确；

在该市失无业人员中，低收入家庭有户，C正确；

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有户，D错误.

故选：ABC.

【点睛】本题考查了图表的理解和应用，属于简单题.

10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）

A. 当时，

B. 函数有3个零点

C. 的解集为

D. ，都有

【答案】BCD

【解析】

【分析】

设，则，则由题意得，根据奇函数即可求出解析式，即可判断A选项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D选项．

【详解】解：（1）当时，，则由题意得，

∵ 函数是奇函数，

∴ ，且时，，A错；

∴ ，

（2）当时，由得，

当时，由得，

∴ 函数有3个零点，B对；

（3）当时，由得，

当时，由得，

∴ 的解集为，C对；

（4）当时，由得，

由得，由得，

∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，

∴函数在上有最小值，且，

又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，

∴当时，函数的值域为，

由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，

∴ 对，都有，D对；

故选：BCD．

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．

11.已知圆方程为：与直线x+my-m-2=0，下列选项正确的是（    ）

A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交

C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切

【答案】AC

【解析】

【分析】

求出直线经过的定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．

【详解】解：由题意，圆的圆心，半径，

直线变形得，得直线过定点，

∵，

∴直线与圆必相交，故A对，B、D错；

由平面几何知识可知，当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，

此时弦长为，故C对；

故选：AC．

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．

12.对于定义城为R的函数，若满足：①；②当，且时，都有；③当且时，都有，则称为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】

运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．

【详解】解：经验证，，，，都满足条件①；

，或；

当且时，等价于，

即条件②等价于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

A中，，，则当时，由，得，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；

B中，，，当时，，，当时，，，则当时，都有，符合条件②，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

由单调性知，当时，，

∴，

令，，，

当且仅当即时，“”成立，

∴在，上是减函数，∴，即，符合条件③，

故是“偏对称函数”；

C中，由函数，当时，，当时，，符合条件②，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

有单调性知，当时，，

设，，则，

在上是减函数，可得，

∴，

即，符合条件③，故是“偏对称函数”；

D中，，则，则是偶函数，

而 （），则根据三角函数的性质可知，当时，的符号有正有负，不符合条件②，故不是“偏对称函数”；

故选：BC．

【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答）

【答案】

【解析】

法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，
故不同的选派方案种数为C12•C34+C22•C24=2×4+1×6=14；

法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，
故至少有1名女生的选派方案种数为C46-C44=15-1=14．

故答案为14

点睛：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．

14.点，，，，为坐标原点，则与的夹角的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量得模的几何意义可得点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，再利用圆的切线可求得答案.

【详解】因为，，所以，

所以，

所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

如图：

由图可知，当与圆相切时，最大，也就是与夹角最大，

此时，，所以，

所以与夹角的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了向量的减法法则和向量的模的几何意义，考查了向量的夹角，考查了数形结合思想，属于基础题.

15.的展开式中，的系数为______.

【答案】30

【解析】

【分析】

表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，即可算出答案.

【详解】 表示5个因式的乘积，

在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，

故含的项系数是

故答案为：30

【点睛】本题考查的是利用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.

16.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足

，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合平面向量数量积可得，即可得，进而可得，求出的最小值后，利用对数函数的性质即可得解.

【详解】由题意可得，当时，

，

，，

，

当且仅当时，等号成立，

，

由可得，，

解得，

综上，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.