新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第五周（含解析）

第五周

周一

1．(2020·眉山诊断)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin A(2－cos C)＝sin C(1＋cos A)．

(1)证明：a为b，c的等差中项；

(2)若B＝，b＝7，求a.

(1)证明　由sin A(2－cos C)＝sin C(1＋cos A)，

得2sin A－sin Acos C＝sin C＋sin Ccos A，

所以2sin A＝sin C＋sin Acos C＋cos Asin C

＝sin C＋sin(A＋C)＝sin C＋sin B，

由正弦定理得2a＝c＋b，

即a为b，c的等差中项．

(2)解　由(1)得c＝2a－7，

因为B＝，b＝7，

由余弦定理有49＝a2＋c2－2accos ，

即a2＋c2＋ac＝49，

由

解得a＝5，a＝0(舍去)，所以a＝5.

周二

2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E.AA1＝2AB＝AD＝4.

(1)证明：AE⊥平面ECD；

(2)求直线A1C与平面EAC所成角的正弦值．

(1)证明　∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，

∴AA1⊥平面ABCD，

而CD⊂平面ABCD，则AA1⊥CD，

又CD⊥AD，AA1∩AD＝A，

∴CD⊥平面AA1D1D，

∵AE⊂平面AA1D1D，∴CD⊥AE，

∵AA1⊥AD，AA1＝AD，

∴四边形AA1D1D是正方形，∴AE⊥ED，

又CD∩ED＝D，∴AE⊥平面ECD.

(2)解　以点A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，∴E(0,2,2)，

∴＝(2,4，－4)，＝(2,4,0)，＝(0,2,2)，

设平面EAC的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

不妨取n＝(－2,1，－1)，

则直线A1C与平面EAC所成角的正弦值为

＝＝＝.

周三

3．已知数列{an}的首项a1>0，前n项和为Sn，且满足a1an＝S1＋Sn，数列{bn}满足b1＝2，对任意的m，n∈N*，都有bm＋n＝bm＋bn.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.

解　(1)当n＝1时，a＝2S1＝2a1，

∵a1>0，∴a1＝2，

当n≥2时，2an＝2＋Sn,2an－1＝2＋Sn－1，

两式相减得2an－2an－1＝Sn－Sn－1＝an，

得an＝2an－1(n≥2)，

∴数列{an}的通项公式为an＝2n.

对任意的m，n∈N*，都有bm＋n＝bm＋bn，

令m＝1，得bn＋1＝bn＋b1＝bn＋2，

∴数列{bn}是首项和公差均为2的等差数列，

∴数列{bn}的通项公式为bn＝2＋2(n－1)＝2n.

(2)由(1)得cn＝＝＝，

∴Tn＝1＋＋＋…＋，①

Tn＝＋＋…＋＋，②

由①－②得Tn＝1＋＋＋…＋－

＝－，

∴Tn＝4－.

周四

4．(2020·惠州模拟)已知△ABC中，B(－1,0)，C(1,0)，|AB|＝4，点P在AB上，且∠BAC＝∠PCA.

(1)求点P的轨迹E的方程；

(2)若Q，过点C的直线与E交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，求证：为定值．

(1)解　如图，△ACP中，∠BAC＝∠PCA，所以|PA|＝|PC|，

所以|PB|＋|PC|＝|PB|＋|PA|＝|AB|＝4>2＝|BC|，

所以点P的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为4的椭圆(不包含实轴的端点)，

所以点P的轨迹E的方程为＋＝1(x≠±2)．

(2)证明　由Q，可知点Q在椭圆E上．

如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由题意知，直线MN的斜率必存在，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)，则K(4,3k)，

由可得

(4k2＋3)x2－8k2x＋(4k2－12)＝0，

Δ>0显然成立．

x1＋x2＝，x1x2＝，

k1＝＝＝k－，

k2＝k－，

k3＝＝k－，

k1－k3＝－，k2－k3＝－，

因为(k1－k3)＋(k2－k3)＝1－

＝1－·

＝1－·＝0，

所以＝－1为定值．

周五

5．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时为止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区

1 000名患者的相关信息，得到如下表格：

(1)求这1 000名患者的潜伏期的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1 000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

(3)以这1 000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少？

附：

K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解　(1)根据统计数据，计算平均数为

＝×(1×85＋3×205＋5×310＋7×250＋9×130＋11×15＋13×5)＝5.4(天)．

(2)根据题意，补充完整的列联表如下：

则K2的观测值k＝＝

≈2.083，

经查表，得k≈2.083<3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关．

(3)由题意可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，

设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，

则X～B，

P(X＝k)＝Ck20－k，k＝0,1,2，…，20，

由

得

化简得解得≤k≤，

又k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8.

周六

6．(2020·黄冈模拟)已知函数f(x)＝|x－a|－ln x(a>0)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)比较＋＋…＋与的大小(n∈N*且n>2)，并证明你的结论．

解　(1)函数f(x)可化f(x)＝

当0<x<a时，f′(x)＝－1－<0，

从而f(x)在(0，a)上总是递减的，

当x≥a时，f′(x)＝1－＝，

此时要考虑a与1的大小．

若a≥1，则f′(x)≥0，故f(x)在[a，＋∞)上单调递增，

若0<a<1，则当a≤x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，故f(x)在[a,1)上单调递减，

在(1，＋∞)上单调递增，而f(x)在x＝a处连续，

所以当a≥1时，f(x)在(0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增；

当0<a<1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)可知当a＝1，x>1时，x－1－ln x>0，

所以<1－.

所以＋＋…＋<1－＋1－＋…＋1－＝n－1－

<n－1－

＝n－1－＝(n－1)－

＝＝.