2023年四川省眉山市洪雅县中考数学适应性试卷（含解析）

2023年四川省眉山市洪雅县中考数学适应性试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国共产党第二十次全国代表大会于年月日在北京召开，截至年月日，党员人数共有约名，请将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是从上面看由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的图形，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则从左面看这个几何体的图形是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  九章算术是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十今将钱六十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒优质酒斗，价格钱；行酒勾兑酒斗，价格钱现有钱，买斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒斗，行酒斗，可列二元一次方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，直线，直线交直线于点，交直线于点，，则下列结论：与互补，与互补，与互余，与互余，其中一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如下表：

那么对于不同的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是(    )

A. 平均数、方差 B. 中位数、方差 C. 平均数、中位数 D. 众数、中位数

8.  若关于的方程无解，则的值为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

9.  定义：一次函数的特征数为一次函数的图象向上平移个单位长度后与反比例函数的图象交于点、若点、关于原点对称，则一次函数的特征数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为米，圆柱高米，圆锥高米的蒙古包，则需要毛毡的面积为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

11.  如图，在半径为的扇形中，，点是上任意一点不与点，重合，，，垂足分别为，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  二次函数的部分图象如图所示，对称轴为为，且经过点下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；其中其中正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______．

15.  如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，，那么的最小值为______ ．

16.  如图，的内接四边形的一个外角，连结，，若将一骰子看着一个点投到中，则骰子落在阴影部分的概率为______．

17.  如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是______．

18.  如图，矩形中，，，为的中点，点、为上两个动点点在点的右边若，当四边形的周长最小时， ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
如图，海中有两个小岛，，某渔船在海中的处测得小岛位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距，又测得点与小岛相距．
求的值；
求小岛，之间的距离计算过程中的数据不取近似值．

21.  本小题分
九班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查共提供、、、四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标，并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图．
男、女生最向往的研学目标人数统计表

根据以上信息解决下列问题：
______ ， ______ ；
扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数为______ ；
从最向往的研学目标为的名学生中随机选取名学生参加竞标演说请用画树状图或列表法求所选取的名学生中恰好有一名男生、一名女生的概率．

22.  本小题分
九班同学在社会实践调研活动中发现，某服装店销售，两种款式的衬衫，进价和售价如表所示：

已知该服装店购进，两种款式的衬衫共花费元，销售完成后共获得利润元．
服装店购进，两种款式的衬衫各多少件？
若服装店再次购进，两种款式的衬衫共件，其中款式的数量不多于款式数量的倍，且两种衬衫总利润不低于元．问共有几种购进方案？请写出利润最大的购进方案．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，且点的坐标为．
求该一次函数的解析式；
求的面积．

24.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接，．
求证：是的切线；
若，求的长．

25.  本小题分
已知，在中，，．
【模型识别】：
如图，已知点在边上，，，连接求证：；
【类比迁移】：
如图，已知点在下方，，，连接若，，，交于点，求的长；
【方法应用】：
如图，已知点在上方，连接和，与相交于点，若，，，求的面积．

 

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．
求抛物线的解析式；
已知点，点为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点，连结，当四边形的面积为时，求点的坐标；
已知点为轴上一动点，点为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
的相反数是．
故选：．
先根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，再根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．
本题主要考查了相反数的定义，绝对值的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
根据完全平方公式：，平方差公式：，分别进行计算可得答案．
此题主要考查了完全平方公式和平方差公式，关键是掌握计算公式．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，从左边看从左到右第一列是个小正方形，第二列是个小正方形，第三列是个小正方形，
这个几何体的左视图为：

故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，重点是对空间观念的考查．
 

5.【答案】 

【解析】解：设能买醇酒斗，行酒斗．
买斗酒，
；
醇酒斗，价格钱；行酒斗，价格钱，且共花费钱，
．
联立两方程组成方程组，
故选：．
设能买醇酒斗，行酒斗，利用总价单价数量，结合用钱共买斗酒，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图形无法得到与互补，不符合题意；
，
，
，
，即与互补，符合题意；
根据图形无法得到与互余，不符合题意；
过点作，
，
，
，，
，
，
，
，即与互余，符合题意．
故选：．
根据平行线的性质，找出各相等和互补的角，再去对照四个选项即可得出结论．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是结合平行线的性质来对照四个选择．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，
则总人数为：，
故该组数据的众数为岁，中位数为岁，
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：．
由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
方程两边同乘得：，
整理得：，
原方程无解，
当时，即，
当时，或，此时，，
解得：或，
当时，无解，
当时，，
解得：．
综上，的值为或．
故选：．
先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将一次函数向上平移个单位长度后得到，
设，，
联立，
，
和是方程的两根，
，
又，两点关于原点对称，
，
，
，
根据定义，一次函数的特征数是，
故选：．
将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到解析式，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于的一元二次方程，设，，所以与是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到，又，两点关于原点对称，所以，则，得到，根据定义，得到一次函数的特征数是．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，联立两个函数解析式，得到一元二次方程，是解决交点问题的基本方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：设底面圆的半径为米，
则，解得，
圆锥的母线长米，
所以圆锥的侧面积米；
圆柱的侧面积米，
所以需要毛毡的面积米．
故选：．
利用圆的面积得到底面圆的半径为，再利用勾股定理计算出母线长，接着根据圆锥的侧面展开图为一扇形和圆柱的侧面展开图为矩形计算它们的侧面积，最后求它们的和即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接．

，，
，
，，
，，
是的中位线，
，
故选：．
连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确．
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，即，正确．
时，，
不正确．
，
到对称轴距离小于到对称轴距离，
，不正确．
抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，抛物线取得最大值，
当时，，且，

即，
故正确．
综上，结论正确．
故选：．
抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，、以及与之间的关系：；根据二次函数图象经过点，可得出；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值．
本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：原分式方程可化为：，
，
解得，
关于的分式方程的解是正数，
，
解得：且．
故答案为：且．
解分式方程，用表示，再根据关于的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可．
本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤，根据关于的分式方程的解是正数，列不等式组是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
．
，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
故答案为：．
由方程有实数根，可得出，解之可得出的取值范围，由关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的性质，利用根与系数的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：的内接四边形的一个外角，
，
，
设的半径为，
，
骰子落在阴影部分的概率为，
故答案为：．
首先求出阴影部分面积，利用阴影部分面积除以总面积，进而求出投到阴影部分的概率即可．
本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

17.【答案】 

【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
不等式的解集是．
故答案为：．
根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想．
 

18.【答案】 

【解析】解：点向右平移个单位到点，点关于的对称点为点，
连接，交于点，
，
，
此时的值最小，
四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，

，的值是定值，
要使四边形的周长最小，只要的值最小即可，
设，
，
，，
∽，
，
，
，
当时，四边形的周长最小，
故答案为：．
点向右平移个单位到点，点关于的对称点为点，连接，交于点，此时的值最小，根据题意可知，的值是定值，要使四边形的周长最小，只要的值最小即可，然后根据字模型相似三角形证明∽，利用相似三角形的性质，即可解答．
本题考查了矩形的性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，熟练掌握轴对称之将军饮马模型想解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运
 

20.【答案】解：过作于，如图，
在中，，，
，
在中，，
；
过作于，如图，
在中，，，
，
由题意知，四边形是矩形，
，，
，
在中，，
小岛，之间的距离为． 

【解析】过作于，解直角三角形即可得到结论；
过作于，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线高，原则上不破坏特殊角．
 

21.【答案】     

【解析】解：样本容量，
依据题意得：，
解得：；
；
故答案为：，；
；
故答案为：．
列表得：

由表格可知，共有种等可能的结果数，其中恰好选中男女的结果数为，
所以恰好选中男女的概率．
先根据组男女生人数及其所占百分比求出样本容量，再根据组对应百分比及女生组人数求解可得的值，最后根据各组人数之和等于总人数求出的值；
用乘以组人数所占比例即可；
应用列表法的方法，求出恰好选到名男生和名女生的概率是多少即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设服装店购进种款式的衬衫件，购进种款式的衬衫件，
由题意可得：，
解得，
答：服装店购进种款式的衬衫件，购进种款式的衬衫件；
设服装店购进种款式的衬衫件，购进种款式的衬衫件，获得总利润为元，
由题意可得：，
随的增大而减小，
款式的数量不多于款式数量的倍，且两种衬衫总利润不低于元，
，
解得，
为整数，
，，，
共有三种方案，
当时，取得最大值，此时，，
答：共有三种购进方案，利润最大的购进方案是服装店购进种款式的衬衫件，购进种款式的衬衫件． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意，可以写出利润和购进种款式衬衫数量的函数关系式，然后根据款式的数量不多于款式数量的倍，且两种衬衫总利润不低于元，可以得到相应的不等式组，求出购进种款式衬衫数量的取值范围，从而可以得到有几种购进方案，然后根据一次函数的性质，可以求得利润最大的购进方案．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

23.【答案】解：如图，

点在反比例函数的图象上，
，
，
，
把代入一次函数中得：，
，
该一次函数的解析式为：；
由得：，，
，
当时，，即，
的面积． 

【解析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．解决问题的关键是确定一次函数的解析式．
根据反比例函数可得点的坐标，把代入一次函数中可得的值，从而得一次函数的解析式；
利用面积和可得的面积．
 

24.【答案】解：连接．

，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
是的切线；
，
，
，
，
，
的长 

【解析】【试题解析】

本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
欲证明是切线，只要证明即可；
连接，求出圆心角，根据弧长公式，即可解决问题．

25.【答案】证明：，，
，
，，
≌，
；

解：延长和交于点，

同可知≌，
，，
，
，
，
又，，
故四边形为矩形，
而，
故四边形为正方形，
在中，
，
则，，
在中，，
在中，，
故AF；
解：延长，交于，

，，
，
，
，
又，
≌，
，
又，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质可得出结论；
证明四边形为正方形，则，，在中，，在中，，进而求解；
延长，交于，证明≌，由全等三角形的性质得出，设，则，得出，求出，由三角形面积公式可得出答案．
本题是三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：将，两点代入抛物线，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
如图，连接，

，，
，，
设，
，
解得：或，
的坐标为或；
设，
分两种情况：
如图，点在轴的正半轴上，过点作轴于，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
点在抛物线上，
，
解得：舍或；
如图，点在轴的负半轴上，过点作轴于，

同理得：≌，
，，
，
点在抛物线上，
，
解得：舍或；
综上，点的坐标为或． 

【解析】将，点坐标代入抛物线解析式求出系数，的值，即可得解析式；
如图，连接，设，根据面积和列方程，解方程可得的值，进而可得结论；
分点在轴的正半轴和负半轴两种情况，作辅助线构建全等三角形，表示点的坐标，分别代入二次函数的解析式可解答．
本题属于二次函数的综合题，主要考查二次函数性质，三角形的面积，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用线段的长度表示点的坐标，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论．