初中数学人教版八年级下册16.2 二次根式的乘除第2课时教案及反思

教学路径

师：在上节课我们主要学习了二次根式的概念以及二次根式的一些基本性质，同学们回忆一下二次根式都有哪些性质呢？

生：（作出回答）

师：同学们回答的都非常好，那么我们又该如何利用这些性质呢？这节课我们主要来探究如何利用二次根式的非负性解决一些问题.

初步性问题

探究类型之三      二次根式被开方数的非负性

例4  若，则x-y的值为（      ）

A.-1      B.1      C.2     D.3

1.学生先独立审题思考.

2.师指定学生分析题意：

师：如何求x-y的值呢，观察题目给出的条件，你能得到什么结论？

生：（预设）由等式的左边，根据被开方数非负性知，x-1≥0且1-x≥0，解得x=1.

则等号的左边为0，根据0的平方为0，求出y的值.

解析：

由被开方数的非负性可知x-1≥0且1-x≥0，解得x=1，（下一步）

所以=0-0=0，所以（1+y）2=0，y=-1，（下一步）

x-y=1-（-1）=2.

答案：C

例5 已知实数a满足，则a-20142的值为_______.

1. 学生独立思考，然后同桌之间相互说说由题中的条件能得到哪些信息.

2.师：分析题目条件，你可以得到哪些结论？

生：由被开方数的非负性可知a-2015≥0，解得a≥2015，然后可以去绝对值符号，得，整理得，由二次根式的定义得a-2015=20142，即可求得代数式a-20142的值.

3.师：在解决含二次根式与绝对值的问题时，有哪些要注意的地方？

生：（1）二次根式的被开方数为非负数；（2）一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数.

解析：闪题中： “ ”然后出示：

由被开方数的非负性可知a-2015≥0，解得a≥2015，（下一步）

去绝对值符号，得，整理得

，（下一步）

两边同时平方，整理可得a-20142=2015.

答案：2015

探究类型之三      二次根式双重非负性

例6  已知非零实数a，b满足，则a+ b等于（      ）

A.-1      B.0      C.1     D.2

1.师引导学生分析：

师： 观察你能得到什么？

生：（预设）a-3>0,可以将去绝对值符号，化简得，从而求a、b的值.

2.探究：

师：很好，如果我将a-3改为a-1这种方法还可行吗？还有没有其他方法？

生：（预设）将等号左边的4移项得，根据绝对值和二次根式的非负性，知，化简得.

3.师：大家通过这道题目可以总结一下，常见的非负数有三种形式：、a2 、（a≥0），并且二次根式具有双重非负性，被开方数和二次根式的值都是非负的.

师：另外在解题时还要注意整体思想的灵活运用.

解析：在“”然后出示箭头，出示文字：

（下一步）所以2a-4≥0，所以=2a-4，

下一步：将第一步中式子下面出示箭头，然后出示文字：，

下一步出示箭头，然后出示文字： .（下一步）

由几个非负数的和为0则这几个数都为0可知且，所以b+2=0，b=-2；（a-3）b2=0，a=3,（下一步）

a + b=3+（-2）=1.

答案：C

例7  已知△ABC的三边长a，b，c满足a2+b+=10a+-22，则△ABC为（      ）

A.等腰三角形                    B.等边三角形     

C.直角三角形                    D.等腰直角三角形

1.学生独立审题，然后分组讨论此题的解题思路：

2.师：这里有三个未知数，但只有一个等式，如何化简等式才能求出a，b，c的值或者他们之间满足的关系呢？能否把它写成非负数的和的形式呢？绝对值、完全平方数、二次根式都是非负的.

生：（预设）先移项，a2-10a+25配成完全平方式，b-4-+1配成完全平方式，这样25-4+1=25，我们就得到三个非负数的和为0，则每个数都为0，从而求出a，b，c的值.

3.师：非常好，解答本题时注意观察式子的特点，配成完全平方式是解决问题的关键.

解析：

将题中“a2+b+=10a+-22”出示箭头，然后出示：

a2-10a+25+ b-4-+1+=0，（下一步）

出示箭头，然后算式：（a-5）2+（-1）2+ =0，

（下一步）

由几个非负数的和为0则这几个数都为0可知，-1=0，=0，解得a=5，b=5，c=5，（下一步）

所以a= b=c，故△ABC为等边三角形.

答案：B

类似性问题

2.若，则xy 的值为(      )

A.8        B.2        C.5       D.-6

学生独立完成，指定学生讲解.

解析：

根据由几个非负数的和为0则这几个数都为0得x-2y=0，y+2=0，

（下一步）

解得x=-4，y=-2，所以x y=8.

3.若a，b为实数，且满足，则b-a的值为（     ）

A.2        B.0        C.-2       D.以上都不对

学生独立完成，指定学生讲解.

解析：

由可得a-2=0，-b2=0，所以a=2，b=0，所以b-a=0-2=-2.

7.已知a，b，c满足.

（1）求a，b，c的值；

（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？如果能构成，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.

解析：

（1）根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解；（下一步）

（2）根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行判断.

课堂总结

师：通过这一讲的学习，大家谈谈都有哪些收获吧.

生1：二次根式的定义，被开方数非负.

生2：二次根式的性质.

生3：二次根式、绝对值、完全平方数的非负性.

生4：注意整体思想的运用.

师：大家总结的都非常好，在做题时要注意题目考查的知识点和方法的总结.