2021-2022学年江苏省扬州市四校联考高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省扬州市四校联考高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省扬州市四校联考高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是　　A． B． C． D．2．（5分）设为实数，过两点，，，的直线的倾斜角为．求的值　　A．或 B． C． D．3．（5分）等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．（5分）已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为　　A． B． C．或 D．或5．（5分）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　A． B． C． D．6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为　　A． B． C． D．7．（5分）设，若函数，有大于零的极值点，则　　A． B． C． D．8．（5分）已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则　　A．， B．， C．， D．，二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分）.9．（5分）已知三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为　　A． B． C． D．10．（5分）设数列满足：，且对任意的，都有，为数列的前项和，则　　A．为等比数列 B． C．为等比数列 D．11．（5分）已知点在圆上，点，，则　　A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时，12．（5分）下列结论正确的是　　A．当， B． C． D．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）13．（5分）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则　　．14．（5分）曲线在点处的切线方程为　　．15．（5分）函数的最小值为 　　．16．（3分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　　；如果对折次，那么　　．三、解答题：（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程．18．（12分）已知圆过，，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程．19．（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．20．（12分）已知椭圆的离心率为．（1）证明：；（2）若点在椭圆内部，过点的直线交椭圆于，两点，为线段的中点，且．①求直线的方程；②求椭圆的标准方程．21．（12分）数列中，，，设．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．22．（12分）已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；（2）设在上存在极大值，证明：．
2021-2022学年江苏省扬州市四校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是　　A． B． C． D．【解答】解：双曲线的两条渐近线方程是，可设双曲线的方程为，双曲线经过点，，双曲线的方程为：．故选：．2．（5分）设为实数，过两点，，，的直线的倾斜角为．求的值　　A．或 B． C． D．【解答】解：过两点，，，的直线的倾斜角为，，解得．故选：．3．（5分）等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解答】解：若，，则，则是递减数列，不满足充分性；，则，，若是递增数列，，则，，满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：．4．（5分）已知直线，，若圆的圆心在轴上，且圆与、都相切，则圆的半径为　　A． B． C．或 D．或【解答】解：设圆的半径为，圆心为，则由已知可得，解得或0，当时，，当时，，故选：．5．（5分）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：，为双曲线的两个焦点，是上的一点，，设，，由双曲线的定义可得，即，所以，，因为，，所以，整理得，所以．故选：．6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为　　A． B． C． D．【解答】解：设五个人所分得的面包为，，，，，（其中；则，，；由，得；，；所以，最小的1分为．故选：．7．（5分）设，若函数，有大于零的极值点，则　　A． B． C． D．【解答】解：设，则．若函数在上有大于零的极值点．即有正根．当有成立时，显然有，此时．由，得参数的范围为．故选：．8．（5分）已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：因为，故是上的单调递增函数，故，即，同理，故选：．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分）.9．（5分）已知三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率为　　A． B． C． D．【解答】解：三个数1，，9成等比数列，可得，即，若，则圆锥曲线即为椭圆，可得离心率为；若，则圆锥曲线即为双曲线，可得离心率为．故选：．10．（5分）设数列满足：，且对任意的，都有，为数列的前项和，则　　A．为等比数列 B． C．为等比数列 D．【解答】解：由，可得：，，数列是等比数列，首项为2，公比为2，，，．数列为等比数列，首项为，公比为．故选：．11．（5分）已知点在圆上，点，，则　　A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时，【解答】解：，，过、的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，点到直线的距离的范围为，，，，，点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），此时，，故正确．故选：．12．（5分）下列结论正确的是　　A．当， B． C． D．【解答】解：对于，令，则，则函数在上递增，则当时，，则恒成立．正确，对于，令，则，则函数在上递增，在上递减，，，，错误，对于，令，则，则函数在上递增，在上递减，，，正确，对于，当时，则，错误，故选：．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）13．（5分）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则　8　．【解答】解：抛物线，抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，，解得，抛物线方程为，设，，，，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，由韦达定理可得，，．故答案为：8．14．（5分）曲线在点处的切线方程为　　．【解答】解：因为，在曲线上，所以，所以，则曲线在点处的切线方程为：，即．故答案为：．15．（5分）函数的最小值为 　1　．【解答】解：法一、函数的定义域为．当时，，此时函数在，上为减函数，当时，，则，当，时，，单调递减，当时，，单调递增，在上是连续函数，当时，单调递减，当时，单调递增．当时取得最小值为（1）．故答案为：1．法二、令，，分别作出两函数的图象如图：由图可知，（1），则数的最小值为1．故答案为：1．16．（3分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　5　；如果对折次，那么　　．【解答】解：易知有，，共5种规格；由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，则，记，则，，，．故答案为：5；．三、解答题：（本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：（1）顶点的坐标；（2）直线的方程．【解答】解：（1）由于，且的直线方程为，所以，故，所以所在的直线方程为；由于边上的中线所在的直线的方程为，；所以，解得；故点．（2）设点所以的中点的坐标满足；由于点在直线上，所以，整理得，即同时，；故，解得；即点；所以，所以直线的方程为．18．（12分）已知圆过，，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程．【解答】解：（1）圆心在直线上，设圆的标准方程为：，圆过点，，，解得，圆的标准方程为．（2）①当斜率不存在时，直线的方程为：，直线截圆所得弦长为，符合题意．②当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为，根据垂径定理可得，，，解得，直线的方程为或．19．（12分）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】解：选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：，，数列的前项和：，故，据此可得数列 是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列的公差为，则：，数列 为等差数列，则：，即：，整理可得：，．选择③②为条件，①结论：由题意可得：，，则数列 的公差为，通项公式为：，据此可得，当时，，当时上式也成立，故数列的通项公式为：，由，可知数列是等差数列．20．（12分）已知椭圆的离心率为．（1）证明：；（2）若点在椭圆内部，过点的直线交椭圆于，两点，为线段的中点，且．①求直线的方程；②求椭圆的标准方程．【解答】证明（1）：由题意，，即：，可得；得证．解（2）：①由（1）可得方程为，即，当在内部，，．设直线与椭圆的交点，，，，可得①；②；由①②得：；为线段的中点，，由点斜式可得直线的方程为．即．②联立，把直线方程代入椭圆方程得：，即：．，又，而，，即③将，代入③解得符合题意．．椭圆方程为．21．（12分）数列中，，，设．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．【解答】解：（1）证明：将两边都加，得，所以，即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（2）由（1）知，，所以，所以，①，②①②得，所以．（3）由 （2）及题目条件，得，所以，所以，，所以不超过 的最大的整数是 2021．22．（12分）已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；（2）设在上存在极大值，证明：．【解答】解：（1）由题意，函数，则，当时，令，单调递增，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在，递增，当时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在递增，综上：当时，在递增，在递减，在，递增，当时，在上单调递增，时，在递增，在，递减，在递增；（2）证明：由函数，则，令，可得，令，解得：，当时，，在递增，此时，故，函数在上单调递增，此时不存在极大值，当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在，上单调递增，在上存在极大值，故，解得：，，，，，易证，存在，，存在，，使得，故在上单调递增，在，上单调递减，故当时，函数取得极大值，即，，由，，故．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/4 9:09:59；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367