2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则对应点的坐标为　　

A． B． C． D．

2．（5分）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则　　

A． B． C．2 D．3

4．（5分）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）一个长、宽、高分别为、、的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了　　

A． B． C． D．

6．（5分）分别以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有　　

A．4个 B．6个 C．8个 D．12个

7．（5分）设复数满足，在复平面内对应的点为，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，、、所对的边分别为，，，且满足①，②面积满足．则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

9．（5分）设是复数，则下列说法正确的有　　

A．若，则是实数 B．若是虚数，则 

C．若，则是虚数 D．若是纯虚数，则

10．（5分）一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是　　

A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱锥 D．六面体

11．（5分）在中，、、所对的边分别为，，，下列说法正确的有　　

A．若，，，则符合条件的有两个 

B．若，则为等腰三角形 

C．若，且，则为等边三角形 

D．若，则为钝角三角形

12．（5分）已知是平面内两个夹角为的单位向量，点在以为圆心的上运动，若．下列说法正确的有　　

A．当位于中点时， 

B．当位于中点时，的值最大 

C．在上的投影向量的模的取值范围为 

D．的取值范围为，

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）复数的共轭复数是　　．

14．（5分）若一个几何体由五个面围成，其中两个面是互相平行的三角形，其他各个面都是边长为1的正方形，则这个几何体是　　，它的表面积为　　．

15．（5分）对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，，，，把点绕点逆时针方向旋转后得到点的坐标是　　．

16．（5分）在平面四边形中，，，，则长度的取值范围是　　．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上。）

17．（10分）已知复数，，．

（1）若时，是关于的方程的一个根，求实数，的值；

（2）若，求的取值范围．

18．（12分）已知向量，，且．

（1）求向量与的夹角；

（2）若，求实数的值．

19．（12分）设的内角、、的对边分别是，，，，且为钝角．

（1）证明：；

（2）求的取值范围．

20．（12分）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在坐标系中的坐标．已知向量在坐标系中的坐标分别为、．

（1）求；

（2）是否存在轴上一点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）如图所示，某市有一条从正南方向通过市中心后向东偏北的方向的公路，现要修建一条地铁，在、上各设一站，，地铁线在部分为直线段，现要求市中心到的距离为．

（1）若，求之间的距离；

（2）求之间距离的最小值．

22．（12分）已知向量，是平面内两个不共线的单位向量，为平面内一动点，且，．

（1）若为的中点，求向量与夹角的余弦值；

（2）若，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．【分析】由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：由已知可得，

则，

对应点的坐标为，

故选：．

2．【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可．

【解答】解：根据，

选项，，，，则，，无解，故选项不能；

选项，，，，则，，解得，，，故选项能．

选项，，，，则，，无解，故选项不能．

选项，，，，则，，无解，故选项不能．

故选：．

3．【分析】由余弦定理可得，利用已知整理可得，从而解得的值．

【解答】解：，，，

由余弦定理可得：，整理可得：，

解得：或（舍去）．

故选：．

4．【分析】如图所示，建立直角坐标系．不妨设，，则．利用勾股定理可得，通过的边角关系，可得的坐标，设，路坐标运算性质即可得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．

不妨设，，则．

，解得．

设，则，．

，．

设，

则，，，．

，．

，

另解：过分别作，，垂足分别为，．

通过三角形相似及其已知可得：，．

即可得出结论．

故选：．

5．【分析】根据木球在水中的体积等于水槽上升的体积，即可求解水槽中的水面上升的高．

【解答】解：直径为的木球，一半在水中，一半在水上，

可得木球在水中的体积；

木球在水中的体积等于水槽上升的体积，

水槽上升的体积为．

水槽上升的高度

故选：．

6．【分析】可画出图形，然后写出以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量，然后即可得出正确的选项．

【解答】解：如图，以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：

，共8个．

故选：．

7．【分析】由在复平面内对应的点为，可得，然后根据即可得解．

【解答】解：在复平面内对应的点为，

，，

，

，

故选：．

8．【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质和正弦函数的值域，即可得到结论．

【解答】解：，

设外接圆的半径为，

由正弦定理可得：，

由，及正弦定理得，

即，

面积满足，

，即，

由，可得，故错误；

，即，故错误；

，即，故正确．

故选：．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

9．【分析】设，，，可得，

．若，则，，可得或，讨论即可得出．

．是虚数，取，即可判断出正误．

．若，则，，则或，讨论即可得出．

．是纯虚数，可得，即可判断出正误．

【解答】解：设，，，则，

．若，则，，则或，若，则，为实数；若，则，是实数．因此正确．

．是虚数，则，不正确；例如，则，因此不正确．

．若，则，，则或，若，则存在；若，则，不存在．因此正确；

．是纯虚数，则，因此正确．

故选：．

10．【分析】利用特例判断选项的正误即可．

【解答】解：一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意所以可能．

棱台的上底面与下底面的边长不相等，所以不满足题意，所以不可能．

正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以不可能．

六面体是正方体时，满足题意，所以有可能．

故选：．

11．【分析】对于，由已知利用余弦定理可求的值，即可判断得解；

对于，由题意可得，，分类讨论即可得解；

对于：由已知可得，解得，可求得，由正弦定理，三角函数恒等变换可求，进而可求的值，即可得解；

对于，由，可得，利用正弦定理与余弦定理化简即可判断出正误．

【解答】解：对于：由于，，，利用余弦定理：，解得，可得有一解，故错误；

对于，若，则，，当时，，为等腰三角形；当时，，为直角三角形，故错误；

对于，整理得，解得，或（舍去），由于，解得．

由于，利用正弦定理：，转换为，所以，解得，

所以，则为等边三角形，故正确；

对于，，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确．

故选：．

12．【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断，，利用向量的相等可判断，．

【解答】解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，

设，

可得，，，

：当为弧的中点时，，，，

由，，得，

，，，，正确，

：由，，得，

，，，

，

，，

当时，的最大值为2，此时为弧的中点，正确，

：当时，在上的投影为0，错误，

，，，

，，

，，，，正确．

故选：．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【解答】解：复数的共轭复数是．

故答案为：．

14．【分析】根据条件可判断出该几何体是正三棱柱，并且各棱长为1，然后求其表面积即可．

【解答】解：根据题意知，该几何体是正三棱柱，如图所示：

各棱长都为1，则该三棱柱的表面积为：．

故答案为：正三棱柱，．

15．【分析】由已知先求出的坐标，然后求出的坐标．

【解答】解：由题意得，

则，，，

故，．

故答案为：，．

16．【分析】考虑极端位置，利用解直角三角形，即可得出结论．

【解答】解：如图所示，

延长，交于，平移，当与重合于点时，最长，

在中，，，，，则．

平移，当与重合时，最短，此时，

所以的取值范围为．

故答案为：．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上。）

17．【分析】（1）时，复数，由是关于的方程的一个根，可得也是关于的方程的一个根，利用根与系数的关系即可得出：，．

（2）由，可得，．消去，利用二次函数的单调性即可得出的取值范围．

【解答】解：（1）时，复数，

是关于的方程的一个根，

也是关于的方程的一个根，

，，

解得：，．

（2）若，

则，．

，

，

，．

18．【分析】（1）由已知可得，的模，展开求得，再由数量积求夹角公式可得向量与的夹角；

（2）把两边平方，可得关于的一元二次方程，求解得答案．

【解答】解：（1）由，，

得，，

又，，则，

设向量与的夹角为，则，

又，，；

（2）由，得，

即，，

，解得．

19．【分析】（1）由已知结合同角基本关系及正弦定理进行化简，然后结合诱导公式即可证明；

（2）结合已知角的关系及诱导公式，二倍角公式进行化简，然后换元，结合同角平方关系转化为二次函数，结合二次函数的性质可求．

【解答】证明：（1）因为，

所以，

因为，为钝角，为锐角，

所以，

故，即；

解：（2），

，

令，

因为,

，则，

所以，

根据二次函数性质可知，当时，函数取得最大值，当时，函数值为，

故函数值域,．

所以的取值范围,．

20．【分析】（1），把用向量，表示，再平方，然后开方，可求解．

（2）假设轴存在一点，设，根据，可解此问题．

【解答】解：（1），

，

故的值为．

（2）假设轴存在一点，使得是以为斜边的直角三角形．

设，则，．

根据题意得：，，，

得：，

整理得：，其中△，方程无解．

故在轴上不一点，使得是以为斜边的直角三角形．

21．【分析】（1）过点作于点，在中，求出，再求，利用正弦定理即可求出的值；

（2）设，计算，利用三角函数的恒等变换求出的最小值．

【解答】解：（1）过点作于点，则，如图所示：

中，，，，

所以，

由正弦定理得，

解得，

所以之间的距离为；

（2）设，则，

所以，

所以

；

由；

所以当时，取得最小值为，

所以之间距离的最小值为．

22．【分析】（1）由，得，结合，可得关于数量积的等式，展开数量积即可求得向量与夹角的余弦值；

（2）由（1）知，，代入，两边平方后可得关于的不等式，求解即可求得的取值范围．

【解答】解：（1），，

，

，，

若为的中点，则，

可得，

，

向量，是不共线的单位向量，设其夹角为，

展开上式可得，即；

（2）由（1）知，，

，

即，

，解得，

的取值范围是，．

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日期：2022/3/11 19:09:35；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367