2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）　　

A．2 B． C． D．

2．（5分）函数的最小正周期为　　

A．2 B．4 C． D．

3．（5分）设向量，，若，则　　

A． B．1 C．3 D．5

4．（5分）某海域有，，三座小岛，经测量，岛在岛的正东方向，且距离岛10海里处，岛在岛的北偏西方向，且距离岛20海里处，则，两座小岛间的距离为　　

A．10海里 B．海里 C．海里 D．海里

5．（5分）在中，如果，那么的形状为　　

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

6．（5分）瑞士数学家莱昂哈德欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，　　

A． B． C． D．

7．（5分）设，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

8．（5分）设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为　　

A． 

B． 

C． 

D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）设复数，满足，且，则可以是　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知函数，则　　

A．函数的最大值为 

B．函数的图象关于直线对称 

C．函数的图象关于点，对称 

D．函数在区间上单调递增

11．（5分）已知为所在平面内的点，则下列说法正确的是　　

A．若，则为的中点 

B．若，则为的重心 

C．若，则为的垂心 

D．若，则在的中位线上

12．（5分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式，，，使得，这些多项式称为切比雪夫．．多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得　　

A． B． 

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）在中，已知，，，则　　．

14．（5分）已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数　　．

15．（5分）已知是边长为2的正六边形所在平面内的一点，若点与点重合，则　　；当点满足 　　时，．

（注：第二空填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

16．（5分）已知，是方程的两根，有以下四个命题：

甲：；

乙：；

丙：；

丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（1）若复数是纯虚数，求实数的值；

（2）若复数满足，求复数．

18．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，已知．

（1）求角的大小；

（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．

若，，点是边上的一点，且______．

求线段的长．

①是的高；②是的中线；③是的角平分线．

19．（12分）如图，在梯形中，，，是边长为3的等边三角形，点在边上．设．

（1）证明：；

（2）若，求的值．

20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边分别作角，，其终边分别与单位圆交于点，．

（1）证明：；

（2）设，，求的值．

21．（12分）已知函数．

（1）若，且，求的值；

（2）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，若，求的取值范围．

22．（12分）已知，，其中，．

（1）求的值；

（2）在平面向量中的学习中我们知道，若向量，则．类比上述结论，在空间向量中，若向量，，，则．若，，，求的值．

2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】由复数的运算性质，直接计算即可．

【解答】解：．

故选：．

2．【分析】利用三角函数的降幂公式进行化简，结合三角函数的周期公式进行计算即可．

【解答】解：，

则函数的最小正周期为，

故选：．

3．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．

【解答】解：向量，，

若，则，求得，

故选：．

4．【分析】由题意利用余弦定理即可求得两小岛之间的距离．

【解答】解：由题意可知：，，，

由余弦定理可知：

，

故选：．

5．【分析】结合和余弦的两角和差公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以与一正一负，故而得解．

【解答】解：，

，

，即与异号，

又，，

与一正一负，

为钝角三角形．

故选：．

6．【分析】利用欧拉公式化简复数，然后求解模即可．

【解答】解：，

所以，．

故选：．

7．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和作差法的应用求出、、的大小关系．

【解答】解：对于，

所以，

故：，

由于，

，故，

故：．

故选：．

8．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得的坐标．

【解答】解：根据题意，设，向量与轴正方向的夹角为，

又由点的坐标为，则，，

向量绕着点顺时针旋转后得到，则，．

而，

，

故的坐标为，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．【分析】利用复数的模的性质，可得，然后结合选项判断即可．

【解答】解：利用复数的模的性质，

可得，所以，

根据选项可知可以为，，

故选：．

10．【分析】先利用辅助角公式化简的解析式，由三角函数的有界性判断选项，由三角函数的对称性判断选项，，由余弦函数的单调性判断选项．

【解答】解：函数，

对于，的最大值为，故选项正确；

对于，令，解得，

所以函数的图象不关于直线对称，

故选项错误；

对于，因为，

所以函数的图象关于点，对称，

故选项正确；

对于，令，

解得，

所以的单调递增区间为，

则函数在区间上单调递增，

故选项正确．

故选：．

11．【分析】根据向量的运算结合向量的几何意义，逐项判断即可．

【解答】解：对于，，则，即，故为边的中点，故正确；

对于，设为的中点，则由得：，故，

故点为边上的中线的靠近的三等分点，故为的重心，故正确；

对于，若，则，

故，故点在边的高线上，但未必在另外两边的高线上，故错误；

对于，设边的中点为，边的中点为，若，

则，即，即，

所以点落在中位线所在的直线上，即在的中位线上，故正确．

故选：．

12．【分析】由三倍角公式知选项错误，连续用二倍角公式可证明选项正确，化简由，可得，求出，，即可判断选项．

【解答】解：，

，故选项错误；

，

，故选项正确；

，

，

即，

解得或，

，舍去，

，，

，故选项正确；

而，故选项错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据正弦定理即可求解的值．

【解答】解：因为，，，

所以，

因为由正弦定理，可得，

解得．

故答案为：．

14．【分析】代入方程进行复数的运算即可．

【解答】解：将代入方程得：

，解得：，

故答案为：5．

15．【分析】可以建立平面直角坐标系，根据题意求出涉及到的点的坐标，并求出相应的向量坐标加以计算即可．

【解答】解：如图，以对角线为轴，其中垂线为轴如图建立平面直角坐标系：

由题意可知，故，，，，

故当与重合时，，

所以，

发现，当与重合时，．

故答案为：12，与点重合．

16．【分析】直接利用推理问题的应用，利用假设法和三角函数的关系式的变换及一元二次方程根和系数关系式的应用判断该题中各个命题的真假．

【解答】解：已知，是方程的两根，

根据一元二次方程根和系数的关系：，，

对于甲：；乙：；丙：；丁：．

当甲，乙为真命题时，，，

故，

，

故丙和丁都为假命题，这与题意相矛盾，故甲和乙为真命题错误；

故甲和乙为一真一假，

当丙和丁为真命题，

则；，

解得，故甲为真命题，

，故，故乙为假命题，

故该命题为乙．

故答案为：乙．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解．

（2）根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．

【解答】解：（1）是纯虚数，

，解得．

（2）设，，，

，

，

，解得，或，，

故或．

18．【分析】（1）根据已知条件，直接利用余弦定理求解即可求解，

（2）选①，根据已知条件，结合余弦定理可得 的值，再结合三角形面积公式，即可求解．

选②，，，将，，代入，即可求解．

选③，根据已知条件，运用三角形面积等于三角形面积与三角形面积的和，即可求解．

【解答】解：（1）在中，，，分别为，，所对的边，且，

可得，

由余弦定理可得．

，

．

（2）选①是的高，

，，，

，

，

的面积，

．

选②是的中线，

是的中线，

，

，

，，，

，

．

选③是的角平分线，

，，，

，

，

．

19．【分析】（1）利用向量共线的充要条件，结合，，三点共线将用表示出来即可找到，的关系；

（2）以为基底向量，将，用基底表示出来，再计算的值即可．

【解答】解：（1）设，则

，结合题设可知，，，故．

（2）若，则，所以，

因为在梯形中，，，是边长为3的等边三角形，

所以，

所以，

所以，

所以

．

20．【分析】（1）设，，，设，，考虑到余弦函数是周期为的偶函数，由向量数量积的定义分析证明即可；

（2）利用角的变换以及诱导公式、二倍角公式求解即可．

【解答】（1）证明：设，，，

设，，

当，则；

当，则，

考虑到余弦函数是周期为的偶函数，

只需要考虑的情况，

一方面，；

另一方面，，

所以．

（2）解：由，，

可知，

所以，

因为，

所以．

21．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，可得，结合范围，可求，利用两角和的正弦公式即可求解的值．

（2）由，结合范围，可求的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，利用正切函数的性质即可求解．

【解答】解：（1）因为，

由于，可得，

因为，所以，

所以，

所以．

（2）由，

因为，所以，

所以，即，

由正弦定理，可得

因为是锐角三角形，，可得，

所以，

由于，可得，

所以．

22．【分析】（1）化简可得，，由同角三角函数关系式得，结合三角恒等变换求得，结合角的范围求角．

（2）同理得，结合角的范围并讨论可得，化简，进一步化简即可．

【解答】解：（1），，

，，

，

即，

，，

；

（2）由（1）同理可得，

，，，

或，

若，又由知，，与题意矛盾，

故，

故

．

故．

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日期：2022/3/11 19:15:37；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367