2020-2021学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校高一（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（5分）已知复数满足，为虚数单位，则等于　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知在中，角，，所对的边分别是，，，，，边上的中线长为4，则的面积为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知中角，，所对的边分别为，，，若，，则角等于　　

A． B． C． D．

5．（5分）在平面四边形中，，，，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知台风中心位于城市东偏北为锐角）度的150公里处，以公里小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市西偏北为锐角）度的200公里处，若，则　　

A．60 B．80 C．100 D．125

7．（5分）如图，在正四棱柱中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则　　

A．、、、四点共面，且 

B．、、、四点共面，且 

C．、、、四点不共面，且 

D．、、、四点不共面，且

8．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，若在上单调递减，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．（5分）下面各式中正确的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

10．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是　　

A． 

B．是钝角三角形 

C．的最大内角是最小内角的2倍 

D．若，则外接圆半径为

11．（5分）已知某一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，，分别为，的中点，那么在此几何体中，下面的结论中正确的是　　

A．直线与直线异面 B．直线与直线异面 

C．直线平面 D．直线平面

12．（5分）已知函数，，，，恒成立，且函数在区间，上单调，那么下列说法中正确的是　　

A．存在，使得是偶函数 B． 

C．是奇数 D．的最大值为3

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知，那么　　．

14．（5分）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积是　　．

15．（5分）中，角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆面积的最小值为　　．

16．（5分）已知，为单位向量，满足，若，，则，的夹角为，则的最小值为　　．

四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17．（10分）已知向量，，，，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为．

（1）求的解析式；

（2）若，且，求的值．

18．（12分）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足_______，且，，求的值及的面积．

从①；②；③．这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并解答．

19．（12分）如图所示是两个半径不同的同心圆，半径分别为1和2，是小圆上的一个动点，，，是大圆上的三个不同的动点，且．

（1）求证：；

（2）求的取值范围．

20．（12分）已知函数，为常数．

（1）当时，求函数的零点；

（2）当，恒有，求实数的取值范围．

21．（12分）如图，在三棱柱中，为棱的中点，，，，．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面．

22．（12分）某形场地，，，米、足够长）．现修一条水泥路在上，在上），在四边形中种植三种花卉，为了美观起见，决定在上取一点，使，且．现将，铺成鹅卵石路，设鹅卵石路总长为米．

（1）设，将表示成的函数关系式；

（2）求的最小值．

2020-2021学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：由，得，

故选：．

2．【分析】画出图形，结合向量的数量积转化判断求解即可．

【解答】解：画出图形如图，

，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，

在处取得最小值，，最小值为，

是边长为2的正六边形内的一点，

所以的取值范围是．

故选：．

3．【分析】先结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求，，再由三角形面积公式可求．

【解答】解：因为

所以，即，

所以，，，

因为边上的中线长为4，

由余弦定理得，

所以，，

则的面积．

故选：．

4．【分析】由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，解方程可得的值，结合范围，可求的值．

【解答】解：，

由正弦定理可得，可得，

，整理可得，

解得，或（舍去），

，

．

故选：．

5．【分析】根据题意，连接，在中，分析易得，进而可得，在中，结合余弦定理分析可得答案．

【解答】解：根据题意，连接，

在中，，，且，

则，

又由，则，

又由，

则，

则；

故选：．

6．【分析】如图所示：，，，，根据解三角形可得，①，又，②，求出，，求出的距离，即可求出速度．

【解答】解：如图所示：，，，

，

在中，，

在中，，

，

即，①，

又，②，

由①②解得，，，

，，

，

，

故选：．

7．【分析】根据，确定平面即可判断四点共面，利用勾股定理计算、得出和是否相等．

【解答】解：连接，，

是正方形的中心，直线，

又平面，平面，

又直线，平面，

又平面，平面，

、、、四点共面．

取的中点，连接，，则，，

，

取的中点，连接，，则，，

．

．

故选：．

8．【分析】利用辅助角公式先进行化简，结合函数图象关系，以及函数单调性的性质求出的取值范围即可．

【解答】解：，

将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

则，

由，，

得，，

若在上单调递减，

则，得，

即，，

当时，，

即的取值范围为，，

故选：．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．【分析】由两角和与差的三角函数逐一分析四个选项得答案．

【解答】解：对于，，故正确；

对于，，故正确；

对于，等式右边，故正确；

对于，，

，则，故错误．

故选：．

10．【分析】由正弦定理可判断；由余弦定理可判断；由余弦定理和二倍角公式可判断；由正弦定理可判断．

【解答】解：，可设，，，

解得，，，，

可得，故正确；

由为最大边，可得，即为锐角，故错误；

由，由，

由，，可得，故正确；

若，可得，外接圆半径为，故正确．

故选：．

11．【分析】直接利用异面直线的判定，线面平行的判定的应用判定、、、的结论．

【解答】解：某一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，，分别为，的中点，复原为直观图为：

如图所示：

对于：直线平面中，直线和平面交于点，故直线和直线为异面直线，故正确；

对于：由于点、为、的中点，所以，由于，所以，所以和共面，故错误；

对于：由于直线，平面，故平面，故正确；

对于：直线，直线平面，平面，所以平面，故正确．

故选：．

12．【分析】由，恒成立，可得，，可得，．根据函数在区间，上单调，可得，解得，即．进而判断出正误．

【解答】解：由，恒成立，可得，，

，．

函数在区间，上单调，

，解得，即．

由，可得，解得，．

由，可得，解得，．

若时，只能：；

若，5时，无解；

若时，只能：，此时不满足函数在区间，上单调．

可知不正确．

综上可得：只有正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

13．【分析】由弦化切求出，再利用弦化切计算的值．

【解答】解：由，

得，

解得，

所以．

故答案为：．

14．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，由于，利用正弦定理可得：．利用余弦定理可解得，，根据三角形面积公式即可得出．

【解答】解：，，，可得：．，

由，可得：，解得，．

．

故答案为：．

15．【分析】由条件及正弦定理，余弦定理整理得，或．分类讨论，当时，可求为直角，可求三角形的外接圆的面积，当时，在中，由余弦定理，基本不等式可求，当等号成立，可得，设外接圆的半径为，由，可得，可求外接圆的面积，由此得解其最小值．

【解答】解：，，

由条件及正弦定理得：，

，

整理得，或．

①当时，，可得，又，则外接圆半径，

外接圆面积为；

②当时，

在中，由余弦定理得：，

，当等号成立．

，

设外接圆的半径为，

则，故，

，

由①②可得外接圆面积的最小值为．

故答案为：．

16．【分析】设向量，夹角为，用表示，可解决此题．

【解答】解：设向量，夹角为，，，得：．

，当时，取最小值．

故答案为：．

四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17．【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式，由题意可知其周期为，利用周期公式可求，即可得解函数解析式

（2）由，可得．．由 即可计算得解．

【解答】解：（1）．

，（4分）

，，即（7分）

（2），．

，，，，（8分）

．

，，．（12分）

（14分）

18．【分析】选择①，利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，计算的面积．

选择②，由，根据三角形中边角关系判定这样的三角形不存在．

选择③，利用正弦定理求出和的值，以下解法同①．

【解答】解：选择①，，

由，所以；

由正弦定理得，即，解得；

所以的面积为．

选择②，，

由，，且是钝角，这样的三角形不存在．

选择③，，

由，，利用正弦定理，得，解得；

由，所以，；

所以，

计算，

所以的面积为．

19．【分析】（1）把，移项得，再平方，利用数量积的运算即可．

（2）先得到，再由，，即可求解．

【解答】证明：（1），，

，，

，，

，．

解：（2）连接，设与的夹角为，，，

则

，

，，，．

20．【分析】（1）当时，，然后令，解出方程即可；

（2）令，则，然后根据二次函数的性质，分类讨论，即可求的取值范围．

【解答】解：（1），

当时，，

令，则或（舍，

或，

的零点为或；

（2）当，恒有等价于在当上成立．

令，，，

，的对称轴为，

当，即时，在上单调递减，

（1），，；

当，即时，在上单调递增，

，，；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

恒成立，

综上，的取值范围为．

21．【分析】（1）连接交，与点，连接，在△中，利用中位线的性质可证，进而根据线面平行的判定定理即可证明平面．

（2）利用线面垂直的判定定理可证平面，利用线面垂直的性质可证，利用勾股定理可证，即可利用线面垂直的判定证明平面．

【解答】证明：（1）连接交，与点，连接，在△中，、分别为、的中点，

所以，

又平面．平面．

所以平面．

（2）因为，，，、平面．

所以平面，

又平面．

所以；

又因为，得，

所以．

又，平面，

所以平面．

22．【分析】（1）由，求出，，即可求用表示的函数表达式，并写出定义域；

（2），，即可求的最小值

【解答】解：（1），，

，

，

，

，

设，

，，

，

（4分）

故，（8分）

（2）

，

，

当且仅当时，时，取得最小值200

答：的最小值为（16分）

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日期：2022/3/11 19:17:27；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367