【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）

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【高考真题】2022年高考数学真题试卷（新高考全国Ⅱ卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (共8题；共40分)
1．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 A={−1，1，2，4}，B={x||x−1|≤1} ，则 A∩B= （　　）
A．{−1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{−1，4}
2．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）(2+2i)(1−2i)= （　　）
A．−2+4i B．−2−4i C．6+2i D．6−2i
3．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图， DD1，CC1，BB1，AA1 是举， OD1，DC1，CB1，BA1 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3 ，若 k1，k2，k3 是公差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k3= （　　）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知 a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb ，若 = ，则 t= （　　）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
5．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
6．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若 sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ ，则（　　）
A．tan(α+β)=−1 B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1 D．tan(α−β)=1
7．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）正三棱台高为1，上下底边长分别为 33 和 43 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（　　）
A．100π B．128π C．144π D．192π
8．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若函数 f(x) 的定义域为R，且 f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=1 ，则 k=122f(k)= （　　）
A．-3 B．-2 C．0 D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 (共4题；共20分)
9．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）函数 f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π) 的图象以 (2π3，0) 中心对称，则（　　）
A．y= f(x) 在 (0，5π12) 单调递减
B．y= f(x) 在 (−π12，11π12) 有2个极值点
C．直线 x=7π6 是一条对称轴
D．直线 y=32−x 是一条切线
10．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线 C：y2=2px(p>0) 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 M(p，0) ，若 |AF|=|AM| ，则（　　）
A．直线 AB 的斜率为 26 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°
11．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）如图，四边形 ABCD 为正方形， ED⊥ 平面 ABCD ， FB∥ED，AB=ED=2FB ，记三棱锥 E−ACD ， F−ABC ， F−ACE 的体积分别为 V1，V2，V3 ，则（　　）

A．V3=2V2 B．V3=2V1 C．V3=V1+V2 D．2V3=3V1
12．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）对任意x，y， x2+y2−xy=1 ，则（　　）
A．x+y≤1 B．x+y≥−2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 (共4题；共20分)
13．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布 N(2，σ2) ，且 P(22.5)=　 　．
14．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）写出曲线 y=ln|x| 过坐标原点的切线方程：　 　，　 　．
15．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知点 A(−2，3)，B(0，a) ，若直线 AB 关于 y=a 的对称直线与圆 (x+3)2+(y+2)2=1 存在公共点，则实数a的取值范围为　 　．
16．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知椭圆 x26+y23=1 ，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 |MA|=|NB|，|MN|=23 ，则直线l的方程为　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共70分)
17．（10分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知 {an} 为等差数列， {bn} 是公比为2的等比数列，且 a2−b2=a3−b3=b4−a4 ．
（1）（5分）证明： a1=b1 ；
（2）（5分）求集合 {k|bk=am+a1，1≤m≤500} 中元素个数．
18．（12分）（2022·新高考Ⅱ卷）记 △ABC 的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 S1，S2，S3 ，已知 S1−S2+S3=32，sinB=13 ．
（1）（6分）求 △ABC 的面积；
（2）（6分）若 sinAsinC=23 ，求b．
19．（12分）（2022·新高考Ⅱ卷）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．

（1）（4分）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）（4分）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 [20，70) 的概率；
（3）（4分）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间 [40，50) 的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 [40，50) ，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）
20．（12分）（2022·新高考Ⅱ卷）如图， PO 是三棱锥 P−ABC 的高， PA=PB ， AB⊥AC ，E是 PB 的中点．

（1）（6分）求证： OE∥ 平面 PAC ；
（2）（6分）若 ∠ABO=∠CBO=30° ， PO=3 ， PA=5 ，求二面角 C−AE−B 的正弦值．
21．（12分）（2022·新高考Ⅱ卷）设双曲线 C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0) 的右焦点为 F(2，0) ，渐近线方程为 y=±3x ．
（1）（6分）求C的方程；
（2）（6分）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2) 在C上，且 x1>x2>0，y1>0 ．过P且斜率为 −3 的直线与过Q且斜率为 3 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①M在 AB 上；②PQ∥AB ；③|MA|=|MB| ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
22．（12分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数 f(x)=xeax−ex ．
（1）（4分）当 a=1 时，讨论 f(x) 的单调性；
（2）（4分）当 x>0 时， f(x)<−1 ，求a的取值范围；
（3）（4分）设 n∈N∗ ，证明： 112+1+122+2+⋯+1n2+n>ln(n+1) ．

答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 B={x|0≤x≤2} ，故 A∩B={1，2} .
故答案为：B
【分析】先求出集合B，再根据交集的概念求 A∩B 即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 (2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i ，
故答案为：D
【分析】根据复数代数形式的乘法法则即可求解.
3．【答案】D
【知识点】等差数列
【解析】【解答】设 OD1=DC1=CB1=BA1=1 ，则 CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3 ，
根据题意，有 k3−0.2=k1，k3−0.1=k2 ，且 DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725 ，
所以 0.5+3k3−0.34=0.725 ，故 k3=0.9 .
故答案为：D
【分析】设 OD1=DC1=CB1=BA1=1 ，可得关于 k3 的方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由已知条件可得 c=(3+t，4) ， cos=cos ，即 9+3t+165|c|=3+t|c| ，解得 t=5 ，
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.
5．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有 3! 种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 3!×2×2=24 种不同的排列方式.
故答案为：B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得： sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ ，
即： sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0 ，
即： sin(α−β)+cos(α−β)=0 ，
所以 tan(α−β)=−1 ，
故答案为：C
【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
7．【答案】A
【知识点】棱台的结构特征；球的体积和表面积
【解析】【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 r1，r2 ，所以 2r1=33sin60∘，2r2=43sin60∘ ，即 r1=3，r2=4 ，设球心到上下底面的距离分别为 d1，d2 ，球的半径为 R ，所以 d1=R2−9 ， d2=R2−16 ，故 |d1−d2|=1 或 d1+d2=1 ，即 |R2−9−R2−16|=1 或 R2−9+R2−16=1 ，解得 R2=25 ，所以球的表面积为 S=4πR2=100π ．
故答案为：A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 r1，r2 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而求出球的表面积．
8．【答案】A
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】因为 f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y) ，令 x=1，y=0 可得， 2f(1)=f(1)f(0) ，所以 f(0)=2 ，令 x=0 可得， f(y)+f(−y)=2f(y) ，即 f(y)=f(−y) ，所以函数 f(x) 为偶函数，令 y=1 得， f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(1)=f(x) ，即有 f(x+2)+f(x)=f(x+1) ，从而可知 f(x+2)=−f(x−1) ， f(x−1)=−f(x−4) ，故 f(x+2)=f(x−4) ，即 f(x)=f(x+6) ，所以函数 f(x) 一个周期为6．
因为 f(2)=f(1)−f(0)=1−2=−1 ， f(3)=f(2)−f(1)=−1−1=−2 ， f(4)=f(−2)=f(2)=−1 ， f(5)=f(−1)=f(1)=1 ， f(6)=f(0)=2 ，所以
一个周期内的 f(1)+f(2)+⋯+f(6)=0 ．由于22除以6余4，
所以 k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1−1−2−1=−3 ．
故答案为：A
【分析】根据题意赋值即可知函数 f(x) 的一个周期为6，求出函数一个周期中的 f(1)，f(2)，⋯，f(6) 的值，即可求解．
9．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】由题意得： f(2π3)=sin(4π3+φ)=0 ，所以 4π3+φ=kπ ， k∈Z ，
即 φ=−4π3+kπ，k∈Z ，
又 0<φ<π ，所以 k=2 时， φ=2π3 ，故 f(x)=sin(2x+2π3) ．
对于A：当 x∈(0，5π12) 时， 2x+2π3∈(2π3，3π2) ，由正弦函数 y=sinu 图象知 y=f(x) 在 (0，5π12) 上是单调递减；
对于B：当 x∈(−π12，11π12) 时， 2x+2π3∈(π2，5π2) ，由正弦函数 y=sinu 图象知 y=f(x) 只有1个极值点，由 2x+2π3=3π2 ，解得 x=5π12 ，即 x=5π12 为函数的唯一极值点；
对于C：当 x=7π6 时， 2x+2π3=3π ， f(7π6)=0 ，直线 x=7π6 不是对称轴；
对于D：由 y′=2cos(2x+2π3)=−1 得： cos(2x+2π3)=−12 ，
解得 2x+2π3=2π3+2kπ 或 2x+2π3=4π3+2kπ，k∈Z ，
从而得： x=kπ 或 x=π3+kπ，k∈Z ，
所以函数 y=f(x) 在点 (0，32) 处的切线斜率为 k=y′|x=0=2cos2π3=−1 ，
切线方程为： y−32=−(x−0) 即 y=32−x ．
故答案为：AD
【分析】先根据已知条件求出 φ 的值，从而求得函数得解析式 f(x)=sin(2x+2π3) ，再根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可得解．
10．【答案】A,C,D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对于A：易得 F(p2，0) ，由 |AF|=|AM| 可得点 A 在 FM 的垂直平分线上，则 A 点横坐标为 p2+p2=3p4 ，代入抛物线可得 y2=2p⋅3p4=32p2 ，则 A(3p4，6p2) ，直线 AB 的斜率为 6p23p4−p2=26 ，A符合题意；

对于B：由斜率为 26 可得直线 AB 的方程为 x=12 6y+p2 ，联立抛物线方程得 y2−16py−p2=0 ，设 B(x1，y1) ，则 62p+y1=66p ，则 y1=−6p3 ，代入抛物线得 (−6p3)2=2p⋅x1 ，解得 x1=p3 ，则 B(p3，−6p3) ，
则 |OB|=(p3)2+(−6p3)2=7p3≠|OF|=p2 ，B不符合题意；
对于C：由抛物线定义知： |AB|=3p4+p3+p=25p12>2p=4|OF| ，C符合题意；
对于D： OA⋅OB=(3p4，6p2)⋅(p3，−6p3)=3p4⋅p3+6p2⋅(−6p3)=−3p24<0 ，则 ∠AOB 为钝角，
又 MA⋅MB=(−p4，6p2)⋅(−2p3，−6p3)=−p4⋅(−2p3)+6p2⋅(−6p3)=−5p26<0 ，则 ∠AMB 为钝角，
又 ∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘ ，则 ∠OAM+∠OBM<180∘ ，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由 |AF|=|AM| 及抛物线方程求得 A(3p4，6p2) ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 AB 的方程，联立抛物线方程求得 B(p3，−6p3) ，即可求出 |OB| 判断B选项；由抛物线的定义求出 |AB|=25p12 即可判断C选项；由 OA⋅OB<0 ， MA⋅MB<0 求得 ∠AOB ， ∠AMB 为钝角即可判断D选项.
11．【答案】C,D
【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设 AB=ED=2FB=2a ，因为 ED⊥ 平面 ABCD ， FB∥ED ，则 V1=13⋅ED⋅S△ACD=13⋅2a⋅12⋅(2a)2=43a3 ， V2=13⋅FB⋅S△ABC=13⋅a⋅12⋅(2a)2=23a3 ，连接 BD 交 AC 于点 M ，连接 EM，FM ，易得 BD⊥AC ，又 ED⊥ 平面 ABCD ， AC⊂ 平面 ABCD ，则 ED⊥AC ，又 ED∩BD=D ， ED，BD⊂ 平面 BDEF ，则 AC⊥ 平面 BDEF ，
又 BM=DM=12BD=2a ，过 F 作 FG⊥DE 于 G ，易得四边形 BDGF 为矩形，则 FG=BD=22a，EG=a ，
则 EM=(2a)2+(2a)2=6a，FM=a2+(2a)2=3a ， EF=a2+(22a)2=3a ，
EM2+FM2=EF2 ，则 EM⊥FM ， S△EFM=12EM⋅FM=322a2 ， AC=22a ，
则 V3=VA−EFM+VC−EFM=13AC⋅S△EFM=2a3 ，则 2V3=3V1 ， V3=3V2 ， V3=V1+V2 ，A、B不符合题意；C、D符合题意.
故答案为：CD
【分析】直接由体积公式计算 V1，V2 ，连接 BD 交 AC 于点 M ，连接 EM，FM ，由 V3=VA−EFM+VC−EFM 计算出 V3 ，依次判断选项即可.
12．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】根据 ab≤(a+b2)2≤a2+b22 （ a，b∈ R）， x2+y2−xy=1 可变形为， (x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2 ，解得 −2≤x+y≤2 ，当且仅当 x=y=−1 时， x+y=−2 ，当且仅当 x=y=1 时， x+y=2 ，所以A不符合题意，B符合题意；
x2+y2−xy=1 可变形为 (x2+y2)−1=xy≤x2+y22 ，解得 x2+y2≤2 ，当且仅当 x=y=±1 时取等号，所以C符合题意；
因为 x2+y2−xy=1 变形可得 (x−y2)2+34y2=1 ，设 x−y2=cosθ，32y=sinθ ，所以 x=cosθ+13sinθ，y=23sinθ ，因此 x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ−13cos2θ+13
=43+23sin(2θ−π6)∈[23，2] ，所以当 x=33，y=−33 时满足等式，但是 x2+y2≥1 不成立，所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．
13．【答案】0.14
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】因为 X∼N(2，σ2) ，所以 P(X<2)=P(X>2)=0.5 ，因此 P(X>2.5)=P(X>2)−P(2 故答案为：0.14
【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．
14．【答案】y=1ex；y=−1ex
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： 因为 y=ln|x| ，当 x>0 时 y=lnx ，设切点为 (x0，lnx0) ，由 y′=1x ，所以 y′|x=x0=1x0 ，所以切线方程为 y−lnx0=1x0(x−x0) ，又切线过坐标原点，所以 −lnx0=1x0(−x0) ，解得 x0=e ，所以切线方程为 y−1=1e(x−e) ，即 y=1ex ；
当 x<0 时 y=ln(−x) ，设切点为 (x1，ln(−x1)) ，由 y′=1x ，所以 y′|x=x1=1x1 ，所以切线方程为 y−ln(−x1)=1x1(x−x1) ，又切线过坐标原点，所以 −ln(−x1)=1x1(−x1) ，解得 x1=−e ，所以切线方程为 y−1=1−e(x+e) ，即 y=−1ex ；
故答案为： y=1ex y=−1ex
【分析】分 x>0 和 x<0 两种情况讨论，当 x>0 时设切点为 (x0，lnx0) ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 x0 ，即可求切线方程，当 x<0 时同理求解即可.
15．【答案】[13，32]
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为 A(−2，3) 关于 y=a 对称点的坐标为 A′(−2，2a−3) ， B(0，a) 在直线 y=a 上，所以 A′B 所在直线即为直线 l ，所以直线 l 为 y=a−3−2x+a ，即 (a−3)x+2y−2a=0 ；根据圆方程可得圆心 C(−3，−2) ，半径 r=1 ，
依题意知圆心到直线 l 的距离 d=|−3(a−3)−4−2a|(a−3)2+22≤1 ，
即 (5−5a)2≤(a−3)2+22 ，解得 13≤a≤32 ，即 a∈[13，32] .
故答案为： [13，32]
【分析】首先求出点 A 关于 y=a 对称点 A′ 的坐标，即可得到直线 l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求解即可.
16．【答案】x+2y−22=0
【知识点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：记 AB 的中点为 E ，因为 |MA|=|NB| ，所以 |ME|=|NE| ，

设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，则 x126+y123=1 ， x226+y223=1 ，
所以 x126−x226+y123−y223=0 ，即 (x1−x2)(x1+x2)6+(y1+y2)(y1−y2)3=0
所以 (y1+y2)(y1−y2)(x1−x2)(x1+x2)=−12 ，即 kOE⋅kAB=−12 ，设直线 AB：y=kx+m ， k<0 ， m>0 ，
令 x=0 得 y=m ，令 y=0 得 x=−mk ，即 M(−mk，0) ， N(0，m) ，所以 E(−m2k，m2) ，
即 k×m2−m2k=−12 ，解得 k=−22 或 k=22 （舍去），
又 |MN|=23 ，即 |MN|=m2+(2m)2=23 ，解得 m=2 或 m=−2 （舍去），
所以直线 AB：y=−22x+2 ，即 x+2y−22=0 ；
故答案为： x+2y−22=0
【分析】记 AB 的中点为 E ，设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ，利用点差法得到 kOE⋅kAB=−12 ，设直线 AB：y=kx+m ， k<0 ， m>0 ，结合已知条件求出 M 、 N 的坐标，再根据 |MN| 求出 k 、 m ，即可求得直线方程.
17．【答案】（1）证明：设数列 {an} 的公差为 d ，所以， a1+d−2b1=a1+2d−4b1a1+d−2b1=8b1−(a1+3d) ，即可解得， b1=a1=d2 ，所以原命题得证．
（2）解：由（1）知 d=2b1=2a1 ，
由 bk=am+a1 知： b1⋅2k−1=a1+(m−1)⋅d+a1
即 b1⋅2k−1=b1+(m−1)⋅2b1+b1 ，即 2k−1=2m ，
因为 1⩽m⩽500 ，故 2⩽2k−1⩽1000 ，解得 2⩽k⩽10
故集合 {k∣bk=am+a1，1⩽m⩽500} 中元素的个数为9个.
【知识点】集合中元素个数的最值；等差数列；等比数列
【解析】【分析】（1）设数列{an}的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得m=2k−2，即可解出．
18．【答案】（1）解：∵边长为a的正三角形的面积为 34a2 ，
∴S1−S2+S3=34(a2−b2+c2)=32 ，即 accosB=1 ，
由 sinB=13 得： cosB=223 ，
∴ac=1cosB=324
故 S△ABC=12acsinB=12×324×13=28 .
（2）解：由正弦定理得： b2sin2B=asinA⋅csinC=acsinAsinC=32423=94 ，故 b=32sinB=12 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先表示出S1，S2，S3，再由S1−S2+S3=32求得(a2−b2+c2)=2，结合余弦定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得b2sin2B=acsinAsinC，即可求解.
19．【答案】（1）解：平均年龄 x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023 +55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9 （岁）
（2）解：设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20，70）}，则
P(A)=1−P(A)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89
（3）设B={任选一人年龄位于区间 [40，50) }，C={任选一人患这种族病}，
则由条件概率公式，得 P(C∣B)=P(BC)P(B)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设 A= {一人患这种疾病的年龄在区间 [20，70） }，根据对立事件的概率公式P(A)=1−P(A)即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
20．【答案】（1）证明：连接 BO 并延长交 AC 于点 D ，连接 OA 、 PD ，

因为 PO 是三棱锥 P−ABC 的高，所以 PO⊥ 平面 ABC ， AO，BO⊂ 平面 ABC ，
所以 PO⊥AO 、 PO⊥BO ，
又 PA=PB ，所以 △POA≅△POB ，即 OA=OB ，所以 ∠OAB=∠OBA ，
又 AB⊥AC ，即 ∠BAC=90° ，所以 ∠OAB+∠OAD=90° ， ∠OBA+∠ODA=90° ，
所以 ∠ODA=∠OAD
所以 AO=DO ，即 AO=DO=OB ，所以 O 为 BD 的中点，又 E 为 PB 的中点，所以 OE//PD ，
又 OE⊄ 平面 PAC ， PD⊂ 平面 PAC ，
所以 OE// 平面 PAC
（2）解：过点 A 作 AF‖OP ，以AB为 x 轴，AC为 y 轴，AF为z轴建立如图所示的空问直角坐标系.

因为 PO=3，PA=5 ，由(1) OA=OB=4 ，
义 ∠ABO=∠CBO=30° ，所以， AB=43 ，所以 P(23，2，3)，B(43，0，0) ， A(0，0，0) ， E(33，1，32) ，设 AC=a ，则 C(0，a，0) ，
平面AEB的法向量设为 n1=(x，y，z)，AB=(43，0，0)，AE=(33，1，32) AB⋅n1=0AE⋅n1=0 ，所以 43x=033x+y+32z=0 ，所以 x=0 ，设 z=−2 ，则 y=3 ，所以 n1=(0，3，−2) ：
平面AEC的法向量设为 n2=(x，y，z)，AC=(0，a，0)，AE=(33，1，32) AC⋅n2=0AE⋅n2=0 ，所以 ay=033x+y+32z=0 ，所以 y=0 ，设 x=3 ，则 z=−6 ，阦以 n2=(3，0，−6) ：
所以 cos〈n1，n2〉=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=1213×39=12133=4313
二面角 C−AE−B 的平面角为 θ ，则 sinθ=1−cos2θ=1113 ，所以二面角 C−AE−B 的正弦值为 1113 。
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 连接 BO 并延长交 AC 于点 D ，连接 OA 、 PD ，根据三角形全等得到OA=OB，再根据直角三角形性质得到AO=DO，即可得到 O 为 BD 的中点从而得到OE//PD，即可得证；
（2）过点 A 作 AF‖OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
21．【答案】（1）解：由题意可得 ba=3，a2+b2=2 ， 故 a=1，b=3 . 因此C的方程为 x2−y23=1 .
（2）解：由已知得直线 PQ 的斜率存在且不为零，直线 AB 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 AB 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 M 为线段 AB 的中点，假若直线 AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 M 在 x 轴上，即为焦点 F ，此时由对称性可知 P 、 Q 关于 x 轴对称，与从而 x1=x2 ，已知不符；
总之，直线 AB 的斜率存在且不为零.
设直线 AB 的斜率为 k ，直线 AB 方程为 y=k(x−2) ，
则条件①M 在 AB 上，等价于 y0=k(x0−2)⇔ky0=k2(x0−2) ；
两渐近线的方程合并为 3x2−y2=0 ，
联立消去y并化简整理得： (k2−3)x2−4k2x+4k2=0
设 A(x3，y3)，B(x3，y4) ，线段中点为 N(xN，yN) ，则 xN=x3+x42=2k2k2−3，yN=k(xN−2)=6kk2−3 ，
设 M(x0，y0) ，
则条件③|AM|=|BM| 等价于 (x0−x3)2+(y0−y3)2=(x0−x4)2+(y0−y4)2 ，
移项并利用平方差公式整理得：
(x3−x4)[2x0−(x3+x4)]+(y3−y4)[2y0−(y3+y4)]=0 ，
[2x0−(x3+x4)]+y3−y4x3−x4[2y0−(y3+y4)]=0 ，即 x0−xN+k(y0−yN)=0 ，
即 x0+ky0=8k2k2−3 ；
由题意知直线 PM 的斜率为 −3 ， 直线 QM 的斜率为 3 ，
∴由 y1−y0=−3(x1−x0)，y2−y0=3(x2−x0) ，
∴y1−y2=−3(x1+x2−2x0) ，
所以直线 PQ 的斜率 m=y1−y2x1−x2=−3(x1+x2−2x0)x1−x2 ，
直线 PM：y=−3(x−x0)+y0 ，即 y=y0+3x0−3x ，
代入双曲线的方程 3x2−y2−3=0 ，即 (3x+y)(3x−y)=3 中，
得： (y0+3x0)[23x−(y0+3x0)]=3 ，
解得 P 的横坐标： x1=123(3y0+3x0+y0+3x0) ，
同理： x2=−123(3y0−3x0+y0−3x0) ，
∴x1−x2=13(3y0y02−3x02+y0)，x1+x2−2x0=−3x0y02−3x02−x0，
∴m=3x0y0 ，
∴条件②PQ//AB 等价于 m=k⇔ky0=3x0 ，
综上所述：
条件①M 在 AB 上，等价于 ky0=k2(x0−2) ；
条件②PQ//AB 等价于 ky0=3x0 ；
条件③|AM|=|BM| 等价于 x0+ky0=8k2k2−3 ；
选①②推③：
由①②解得： x0=2k2k2−3，∴x0+ky0=4x0=8k2k2−3 ，∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： x0=2k2k2−3 ， ky0=6k2k2−3 ，
∴ky0=3x0 ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： x0=2k2k2−3 ， ky0=6k2k2−3 ，∴x0−2=6k2−3 ，
∴ky0=k2(x0−2) ，∴①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a，b的关系，进而利用a，b，c的平方关系求得a，b的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k， M(x0，y0)，由③|AM|=|BM|等价分析得到x0+ky0=8k2k2−3；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=3x0y0，由②PQ//AB等价转化为ky0=3x0，由①M在AB上，等价于 ky0=k2(x0−2) ，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
22．【答案】（1）解：解： a=1⇒f(x)=xex−ex=(x−1)ex⇒f′(x)=xex
当 x∈(−∞，0) 时， f′(x)<0，f(x) 单调递减；
当 x∈(0，+∞) 吋， f′(x)>0，f(x) 单调递增.
（2）令 g(x)=f(x)+1=xeax−ex+1(x≥0)
⇒g(x)≤g(0)=0 对 ∀x≥0 恒成立
又 g′(x)=eax+axeax−ex⇒g′(0)=0
令 ℎ(x)=g′(x)⇒ℎ′(x)=aeax+a(eax+axeax)−ex=a(2eax+axeax)−ex
则 ℎ′(0)=2a−1
①若 ℎ′(0)=2a−1>0 ，即 a>12，ℎ′(0)=limx→0+g′(x)−g′(0)x−0=limx→0+g′(x)x>0
所以 ∃x0>0 ，使得当 x∈(0，x0) 时，有 g′(x)x>0⇒g′(x)>0⇒g(x) 单调递增 ⇒g(x0)>g(0)=0 ，矛盾
②若 ℎ′(0)=2a−1≤0 ，即 a≤12 时， g′(x)=eax+axeax−ex=eax+ln(1+ax)−ex≤e12x+ln(1+12x)−ex≤e12x+12x−ex=0
⇒g(x) 在 [0，+∞) 上单调递减， g(x)≤g(0)=0 ，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围足 a≤12 .
（3）证明：取 a=12 ，则 ∀x>0 ，总有 xe12x−ex+1<0 成立，
令 t=e12x ，则 t>1，t2=ex，x=2lnt ，
故 2tlnt1 恒成立.
所以对任意的 n∈N∗ ，有 2lnn+1n 整理得到： ln(n+1)−lnn<1n2+n ，
故 112+1+122+2+⋯+1n2+n>ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+ln(n+1)−lnn
=ln(n+1) ，
故不等式成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出f'(x)=xex，讨论其符号后可得f(x)的单调性.
（2）设g(x)=xeax−ex+1(x≥0)，求出g'(x)，令ℎ(x)=g'(x)，先讨论a>12时题设中的不等式不成立，再就0 （3）由（2）可得2lnt1恒成立，从而可得ln(n+1)−lnn<1n2+n对任意的n∈N∗恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.

试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布
客观题（占比）
60.0(40.0%)
主观题（占比）
90.0(60.0%)
题量分布
客观题（占比）
12(54.5%)
主观题（占比）
10(45.5%)
2、试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
6(27.3%)
70.0(46.7%)
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
4(18.2%)
20.0(13.3%)
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
4(18.2%)
20.0(13.3%)
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8(36.4%)
40.0(26.7%)
3、试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
普通
(86.4%)
2
容易
(9.1%)
3
困难
(4.5%)
4、试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
函数的周期性
5.0(3.3%)
8
2
频率分布直方图
12.0(8.0%)
19
3
平面向量的坐标运算
5.0(3.3%)
4
4
直线与圆的位置关系
5.0(3.3%)
15
5
两角和与差的正弦公式
5.0(3.3%)
6
6
椭圆的应用
5.0(3.3%)
16
7
正弦定理的应用
12.0(8.0%)
18
8
双曲线的简单性质
12.0(8.0%)
21
9
同角三角函数间的基本关系
5.0(3.3%)
6
10
利用导数研究曲线上某点切线方程
10.0(6.7%)
9,14
11
复数代数形式的乘除运算
5.0(3.3%)
2
12
抽象函数及其应用
5.0(3.3%)
8
13
两角和与差的余弦公式
5.0(3.3%)
6
14
向量在几何中的应用
5.0(3.3%)
10
15
与直线关于点、直线对称的直线方程
5.0(3.3%)
15
16
等差数列
15.0(10.0%)
3,17
17
排列、组合的实际应用
5.0(3.3%)
5
18
正弦函数的奇偶性与对称性
5.0(3.3%)
9
19
正弦函数的单调性
5.0(3.3%)
9
20
棱台的结构特征
10.0(6.7%)
7,11
21
直线与圆锥曲线的关系
22.0(14.7%)
10,16,21
22
基本不等式
5.0(3.3%)
12
23
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
5.0(3.3%)
13
24
直线与平面平行的判定
12.0(8.0%)
20
25
众数、中位数、平均数
12.0(8.0%)
19
26
利用导数研究函数的极值
5.0(3.3%)
9
27
函数恒成立问题
12.0(8.0%)
22
28
棱柱、棱锥、棱台的体积
5.0(3.3%)
11
29
抛物线的简单性质
5.0(3.3%)
10
30
直线与平面平行的性质
12.0(8.0%)
20
31
利用导数研究函数的单调性
12.0(8.0%)
22
32
互斥事件与对立事件
12.0(8.0%)
19
33
解三角形
12.0(8.0%)
18
34
条件概率与独立事件
12.0(8.0%)
19
35
交集及其运算
5.0(3.3%)
1
36
集合中元素个数的最值
10.0(6.7%)
17
37
余弦定理的应用
12.0(8.0%)
18
38
双曲线的标准方程
12.0(8.0%)
21
39
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
5.0(3.3%)
4
40
球的体积和表面积
5.0(3.3%)
7
41
用空间向量求平面间的夹角
12.0(8.0%)
20
42
等比数列
10.0(6.7%)
17