2020-2021学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，1，，，，则　　

A．， B．，0， C．，0，1， D．，，0，1，

2．（5分）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

3．（5分）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转　　

A． B． C． D．

4．（5分）函数的零点所在区间为　　

A． B． C． D．

5．（5分）设，，，则，，大小关系正确的是　　

A． B． C． D．

6．（5分）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点　　

A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）             

B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）             

C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）             

D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

7．（5分）函数的图象大致形状为　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是　　，

A．40 B．41 C．42 D．43

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．（5分）下列说法正确的有　　

A．命题“若，则”是真命题 

B．命题“，”是假命题 

C．命题“函数与表示相同函数”是假命题 

D．命题“，”是真命题

10．（5分）若函数同时满足：①对于定义域内的任意，恒有，②对于定义域上的任意，，当时，恒有；则称函数具有性质．下列函数中具有性质的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段为直径作半圆，，垂足为，以的中点为圆心，为半径再作半圆，过作，交半圆于，连接，设，，，则下列不等式一定正确的是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有　　

A．函数不具有奇偶性 

B．函数在区间上单调递增 

C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大 

D．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）计算：　　．

14．（5分）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为　　．

15．（5分）函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是　　．

16．（5分）已知关于的一元二次不等式的解集为，，，则的最小值是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．

18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，钝角的始边与轴的非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为点，．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）已知二次函数，当时，；当，，，．

（1）求，的值；

（2）解关于的不等式：；

（3）若不等式在，上恒成立，求的取值范围．

20．（12分）某厂家为增加某种商品的销售量，决定增加广告投入费用，据市场调查，增加的销售量（单位：千件）与广告投入费用（单位：万元）满足下列数据：（其中

为了描述增加的销售量与投入广告费的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，

（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）你认为销售量增加达到多少时，才能使每千件的广告费用最少？

21．（12分）定义：设函数的定义域为，若存在实数，，对任意的实数，有，则称函数为有上界函数，是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，是的一个下界；若，则称函数为有界函数；若函数有上界或有下界，则称函数具有有界性．

（1）判断下列函数是否具有有界性：①；②；③；

（2）已知函数定义域为，，若为函数的上界，求的取值范围；

（3）若函数定义域为，，是函数的下界，求的最大值．

22．（12分）已知函数．

请在下面的三个条件中任选两个解答问题．

①函数的图象过点；

②函数的图象关于点对称；

③函数相邻两个对称轴之间距离为2．

（1）求函数的解析式；

（2）若，是函数的零点，求的值组成的集合；

（3）当时，是否存在满足不等式？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年江苏省宿迁市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【解答】解：，1，，，0，，

，0，1，．

故选：．

2．【解答】解：若命题“，”是假命题，

则它的否定命题“，”是真命题；

由，解得；

设，则的最大值是；

所以实数的取值范围是，．

故选：．

3．【解答】解：由于时钟经过12小时转了，

所以时钟经过1小时转了，

即需要将时钟的时针旋转．

故选：．

4．【解答】解：函数是连续函数，

，

时，（1），

（1），

由零点判定定理可知函数的零点在，．

故选：．

5．【解答】解：，

，

，

，，大小关系是．

故选：．

6．【解答】解：只需要将函数的图象上所有的点纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），

可得的图象；

再向左平移个单位，可得的图象；

然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象，

故选：．

7．【解答】解：，

，

则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除，，

当时，，排除，

故选：．

8．【解答】解：设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的2倍，

由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次

可得，

令，即，

所以，即，

所以至少对折的次数是42．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【解答】解：．由，则或，则不一定正确，故判断错误，

．当时，不等式不成立，即命题是假命题．故判断正确，

．函数与表示相同函数，故判断错误，

．如图，角终边为，其中点为角的终边与单位圆的交点，轴，交轴与点，

点为单位圆与轴的正半轴的交点，轴，交终边于点，则有向线段为角的正弦线，有向线段为角的正切线，设弧，

由图形可知：，即，

所以，所以．故判断正确．

故选：．

10．【解答】解：根据题意，若函数具有性质，则满足①对于定义域内的任意，恒有，则为奇函数，

②对于定义域上的任意，，当时，恒有，变形可得，

则在其定义域为上增函数，

依次分析选项：

对于，，其定义域为，有，则函数为奇函数，

设，当时，为增函数，也是增函数，则在，上为增函数，

又由为奇函数，则在上是增函数，符合题意，

对于，，是正切函数，是奇函数，但在其定义域上不是增函数，不符合题意，

对于，，是奇函数，在其定义域上是增函数，符合题意，

对于，，是反比例函数，是奇函数，但在其定义域上不是增函数，不符合题意，

故选：．

11．【解答】解：因为，，，

所以，，

，

在中，由射影定理可得，，即，

在中，由勾股定理可得，，即，

显然，即，

故选项正确；

在中，由勾股定理可得，，即，

因为，所以在等腰中，

当时，，即，

当时，，即，

故选项错误；

因为，所以，

所以

，

则，

所以从0增大到时，从0增大到，不包括端点，

此时的长度却从减少到，不包括端点，

而，

所以在某个时刻，即，

故选项错误；

在中，由勾股定理可得，，

即，

显然，即，

故选项正确．

故选：．

12．【解答】解：函数，

则，

所以函数为奇函数，

故选项错误；

因为，则，，，

故，，，在区间上均为增函数，

故函数在区间上单调递增，

故选项正确；

，

则，

故声音甲的响度不一定比纯音响度大，

故选项错误；

，

，

所以甲不一定比纯音更低沉，

故选项错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解答】解：

．

故答案为：．

14．【解答】解：因为幂函数在上单调递增，

所以，解得．

故答案为：2．

15．【解答】解：函数的图象如图所示，

因为方程恰有三个不同的解，，，

则与函数有三个不同的交点，

故，

利用余弦函数的对称性可得，

又，

所以，

故的取值范围是．

故答案为：．

16．【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为，

所以，，△，

故，则，

所以，

因为，

故，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（1）当时，，

或，

所以，

所以；，；

（2），

由是的充分条件，所以，

则，即，

所以实数的取值范围为，．

18．【解答】解：（1）由题意可得，，，

可得，

可得．

（2）由（1）可得，

．

19．【解答】解：（1）由题意可得，3是方程的两根，

则，，

解得，；

（2）不等式即为，

即有，

当时，，可得；

当时，可得；

当时，可得．

综上可得，时，不等式的解集为；时，解集为；时，解集为；

（3）不等式在，上恒成立，

即为，即在，上恒成立，

由，当且仅当，时，取得等号，

即的最小值为，

所以，

则的取值范围是，．

20．【解答】解：（1）若选择，则该函数为递减函数，与表中数据矛盾；

若选择，，，则函数在处无意义；

故选择是最合适的模型，

将表中的数据，，代入可得，

，即，

解得，

所以；

（2）设每千件的广告费用为，

则，

对称轴为且开口向上，

所以当时，最小为，

故销售量增加达到12.5千件时，才能使每千件的广告费用最少．

21．【解答】解：（1）对于①：是开口向下的抛物线，

当时，取得最大值1，

所以，

故有上界；

对于②：，

所以为有下界函数；

对于③：的值域为，

所以没有上界也没有下界，

故不具有有界性；

综上所述，①，②具有有界性，③不具有有界性；

（2）函数是由和复合而成，

在，单调递减，

在上为单调递增函数，

所以在，单调递减，

所以当时，有最大值（2），

所以，

若为函数的上界，

则；

（3）函数，

令，因为，，所以，，

则，

因为，由对勾函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增，

当，即时，在，上单调递减，

故的最小值为，

因为是函数的下界，

所以；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

故的最小值为，

因为是函数的下界，

所以；

当，即时，在，上单调递增，

故的最小值为（4），

因为是函数的下界，

所以；

综上所述．

22．【解答】解：（1）若选①②，

①由得，即，得．

②若的图象关于点对称；

则，得，即，，

，时，，

则．

若选①③，

①由得，即，得．

③函数相邻两个对称轴之间距离为2．则，

即，则，得，

则．

若选②③，

③函数相邻两个对称轴之间距离为2．则，

即，则，得．

②若的图象关于点对称；

则，得，即，，

，时，．

则．

综上．

 （2），是函数的零点，

，即，

则，，①

同理，，②，

①②得，或，或，

，或，或，

则或0或1，即的值的集合为，0，．

（3）若，则．

即，，，，

①当时，即时，，

此时由在上单调递增，

知，得，得．

．

②当时，即时，，

此时只有，，

此时只需要

由在上单调递增，

知，得，得．

．

综上．即实数的取值范围是，．

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日期：2021/4/10 17:48:26；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394