2022-2023学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高一4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高一4月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】化简，根据交集的概念可求出结果.

【详解】由，解得，所以，

故.

故选：A.

2．下列命题正确的是（    ）

A．单位向量都相等 B．若与都是单位向量，则

C． D．若，则

【答案】C

【分析】利用向量的定义和性质判断即可.

【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，单位向量只是模相等，故A错误；

对于B，，与的夹角不确定，故B错误；

对于C，由向量数乘的定义可知正确；

对于D，，说明与垂直，故D错误；

故选：C.

3．若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（    ）

A． B．48 C． D．

【答案】C

【分析】根据投影向量的定义计算可得

【详解】解：，，与的夹角为，

则向量在上的投影向量为：．

故选：C．

4．已知以原点为顶点，轴的非负半轴为始边的角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据角的终边经过点求出，再利用诱导公式求出即可.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，

所以.

故选：C.

5．若幂函数在区间上单调递增，则（    ）

A． B．3 C．或3 D．1或

【答案】A

【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.

【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，

所以且，

由，得或，

当时，，满足题意；

当时，足，不符合题意.

综上.

故选：A.

6．已知菱形的边长为2，且，则（    ）

A． B． C．2 D．.

【答案】B

【分析】根据平面向量数量的运算律和定义计算可得结果.

【详解】因为菱形的边长为2，且，

所以.

故选：B.

7．某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，列式求解.

【详解】因至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，依题意，

得 即， 解得.

故选：B.

8．函数在内的零点之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据反比例函数和正弦型函数的对称性可知与均关于对称，作出两函数图象，采用数形结合的方式可确定交点个数，结合对称性可得结果.

【详解】令，

关于点对称，关于点对称；

令，

关于点对称；

在内的零点即为与的图象在内的交点的横坐标，

作出与图象如下图所示，

由图象可知：与在内共有个交点，

由对称性可知：交点横坐标之和为，即在内的零点之和为.

故选：C.

【点睛】思路点睛：本题考查函数零点个数之和的问题，解决此类问题的基本思路是将问题转化为两个函数的交点横坐标之和，通过确定两个函数的对称性和交点个数来进行求解.

二、多选题

9．对于任意的平面向量，下列说法错误的是（    ）

A．若，则与不是共线向量

B．

C．若，且，则

D．

【答案】ACD

【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据数量积的运算律即可判断B；举反例即可判断C；根据数量积的定义即可判断D.

【详解】对于A，当时，，但是共线向量，故A错误；

对于B，根据数量积的分配律得，故B正确；

对于C，若，且，则，

不妨取，此时，故C错误；

对于D，表示的是与共线的向量，表示的是与共线的向量，

而向量的方向不确定，所以无法确定与是否相等，故D错误.

故选：ACD.

10．给出下列四个命题，其中是真命题的为（    ）

A．如果，那么；

B．如果，那么；

C．如果是第一或第二象限角，那么；

D．如果，那么是第一或第二象限角．

【答案】BC

【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等可判断A,根据三角函数的定义以及象限角的符号即可判断BCD.

【详解】对于A,比如，但，故错误，

对于B,如果，那么,故正确，

对于C,如果是第一或第二象限角，则，故正确，

对于D，如果，那么是第一或第二象限角，或者的终边在轴的正半轴，故错误，

故选：BC

11．已知函数的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．在区间上是增函数

B．点是图像的一个对称中心

C．若，则的值域为

D．的图像可以由的图像向右平移个单位长度得到

【答案】ABC

【分析】根据题意，结合图像即可得到函数的解析式，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】由题图及五点作图法得，，，则，，

故.

由，得，所以函数在区间上是增函数.

时，函数在区间上是增函数，故函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，故A错误；

由，得，函数图像的对称中心是，而时，，故B错误；

若，则，，则的值域为，故C错误；

，将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，故D正确.

故选：ABC.

12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．为奇函数

C．在上为减函数

D．方程仅有6个实数解

【答案】BD

【分析】根据为奇函数，为偶函数，推出函数的一个周期为、的图象关于点对称、关于直线对称，再根据这些性质可判断A错误，B正确，C错误；作出与的大致图象，结合图像可判断D正确.

【详解】因为为偶函数，所以，

所以，即，

因为为奇函数，所以，

所以，即，

所以，所以，

所以，所以，即函数的一个周期为.

在中，令，得，

在中，令，得，

又，所以，故A错误；

因为，所以，

所以，从而为奇函数，故B正确；

因为在区间上是增函数，且的一个周期为，

所以在上单调递增，在上不为减函数.故C错误；

因为为奇函数，所以的图象关于点对称，

因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，

又当时，，

作出与的大致图象，如图所示.

其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，

故方程仅有6个实数解，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知某扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为______.

【答案】

【分析】直接根据扇形的面积公式可求出结果.

【详解】该扇形的面积为.

故答案为：

14．在共有100名学生参加的某项测试中，小李的成绩恰为第80百分位数，小张的成绩排名是第80名，则他们两人中成绩较好的是______.

【答案】小李

【分析】由小李的成绩恰为第80百分位数，根据百分位数的含义可得小李的排名，与小张的排名比较，可得答案.

【详解】由小李的成绩恰为第80百分位数，可知大约有80名学生的成绩比小李低，

即小李成绩排名大约为第20名，而小张的成绩排名是第80名，

故他们两人中成绩较好的是小李，

故答案为：小李

15．已知向是，，则与的夹角余弦值为______.

【答案】/0.8

【分析】利用平面向量数量积坐标公式计算夹角即可.

【详解】设与的夹角为，则.

故答案为：

16．已知点，，是函数的图象和函数的图象的连续三个交点，若周长的最大值为，则的取值范围为________．

【答案】

【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可.

【详解】作出两个函数的图象如图，则根据对称性知，即为等腰三角形．

三角函数的周期，

且，取的中点，连接，则，，

由，

得，

得，

得，得，

则，

即点纵坐标为，则，

，，解得，即，得，

即的取值范围为．

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量，的夹角为，且，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）由向量数量积的运算律及定义计算；

（2）把模平方转化为数量积计算．

【详解】（1）因为向量，的夹角为，且，，

所以．

所以．

（2）．

18．在平面直角坐标系中，角的终边经过点.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可；

（2）根据诱导公式化简求值即可．

【详解】（1）∵角的终边经过点，

，

，，，

；

（2）．

19．已知函数.

(1)用五点法画出函数在上的大致图像，并写出的最小正周期；

(2)解不等式.

【答案】(1)作图见解析，

(2)，.

【分析】（1）用五点法画出函数,再写出的最小正周期即可；

（2）由，可得，再解三角不等式即可.

【详解】（1）由，列表如下：

函数图像如图：

函数的最小正周期.

（2）因为，所以，

即，所以，

则，或，，

解得，或，.

故所求不等式的解集为，.

20．已知函数，常数.

(1)若是奇函数，求的值；

(2)若，在区间内有且仅有一个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若有定义，则，求出，可得；若无定义，得，此时的定义域不关于原点对称，不符合题意；

（2）当时，令，求出，根据可求出结果.

【详解】（1）①若有定义，则，即，解得，此时符合题意；

②若无定义，则，故，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，不符合题意.

综上，.

（2）当时，，

令，得，得或（舍），

所以，

因为在区间内有且仅有一个零点，所以，

解得.

21．已知函数，且，.

(1)求取最大值时的值组成的集合；

(2)若存在唯一的实数，使得，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由条件可得的图像关于直线对称，从而可得，即可得到结果；

（2）根据题意，由条件可得，列出方程即可得到结果.

【详解】（1）由，得的图像关于直线对称，

所以，，，，

又，所以.

由，，

得，，

所以取最大值时的值组成的集合为

（2）由（1）知，，

所以可化为，

所以或

即或，.

因为函数在上存在唯一实数，使得，

所以，即实数的取值范围为.

22．某网络营销部门随机抽取了某市200名网友在2022年5月1日的网购金额，所得数据如下表：

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数之比恰为.

(1)求x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；

(2)利用组中值估计网购金额的平均数；

(3)在一次网购中，金金和钟钟每人随机从“微信，支付宝，银行卡，货到付款”4种支付方式中任选1种方式进行支付，求两人均未选择货到付款方式进行支付的概率.

【答案】(1)，，，，作图见解析.

(2)2.57千元

(3).

【分析】（1）根据频数表计算可得x，y，p，q的值；根据x，y，p，q的值补全频率分布直方图；

（2）利用各组组中值乘以各组频率再相加可得结果；

（3）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.

【详解】（1）由题意得，得，.

∴，.

补全频率分布直方图如图所示：

（2）网购金额平均数 （千元）.

故估计网购金额的平均数为2.57千元.

（3）设“两人均未选择货到付款的支付方式”，分别用x，y表示金金和钟钟的支付方式，

则一次网购中，金金和钟钟的支付方式可用表示，

用a，b，c，d分别表示微信，支付宝，银行卡，货到付款四种支付方式，

则样本空间,所以.

，所以.

从而，

故金金和钟钟均未选择货到付款的支付方式的概率为.