人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第1课时导学案

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4．2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列的前n项和
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握等差数列的前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列的前n项和公式并能应用公式解决问题.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个量求另外的两个．
教学重点：等差数列的前n项和公式及其应用．
教学难点：等差数列前n项和公式的推导过程.




知识点 等差数列的前n项和公式及其推导
1．等差数列前n项和公式的推导思路：它来源于对等差数列的第k项与倒数第k项的和都等于首项a1和末项an的和这一性质的认识和发现．推导方法是倒序相加.
2．等差数列的前n项和公式
因为等差数列{an}中，有a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1成立，所以可得到等差数列前n项和公式为Sn＝.
如果代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，Sn也可以用首项a1与公差d表示，即Sn＝na1＋d.
3．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d还可以由如下方法推导：
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－3)d]＋…＋a1，
∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝n·[2a1＋(n－1)d]．
∴Sn＝na1＋d.

等差数列的前n项和公式的应用
公式Sn＝①与Sn＝na1＋d②都叫做等差数列的前n项和公式．
(1)公式①反映了等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质．推导方法是倒序相加法．
(2)公式②反映了等差数列前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”：Sn＝An2＋Bn(不含常数项)．其中A＝，B＝a1－.
(3)当已知首项、末项和项数时，用公式①较为方便；当已知首项、公差和项数时，用公式②较为方便．
(4)上述两个公式涉及a1，d，n，an和Sn这五个基本量，依据方程思想，我们可以“知三求二”．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)知道等差数列的首项、公差与前n项和可求项数n.(　　)
(2)对于数列{an}，一定有关系式an＝Sn－Sn－1.(　　)
(3)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}是等差数列．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a3＋a4＋a5＝________.
(2)等差数列{an}中，a1＝6，a12＝－16，则S12＝________________.
(3)等差数列{an}中，a1＝2，公差d＝2，则S10＝___________________.
(4)已知数列{an}的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
答案　(1)21　(2)－60　(3)110　(4)－



题型一 等差数列前n项和公式的运用
例1　(1)已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，求公差d；
(2)已知{an}为等差数列，公差d＝2，前n项和为Sn，an＝11，Sn＝35，求a1，n；
(3)在等差数列{an}中，已知a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
[解]　(1)由等差数列的前n项和公式可得
S10＝＝5(a1＋10)＝70，
解得a1＝4，∴d＝＝.
(2)由题设可得
解得或
(3)由题设可得
即解得
故a10＝2＋3×(10－1)＝29.
[条件探究]　本例(2)中，将“d＝2”改为“a1＝3”，其他条件不变，求n和公差d.
解　解法一：由
得解得
解法二：∵a1＝3，an＝11，Sn＝35，
∴35＝＝7n，即n＝5.
又11＝3＋(5－1)d，∴d＝2.

等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题，解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
[跟踪训练1]　等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n.
解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则∴
∴通项an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d，a1＝12，d＝2，
Sn＝242，得方程242＝12n＋×2.
即n2＋11n－242＝0，得n＝11或n＝－22(舍去).
题型二 求数列{|an|}的前n项和
例2　已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解]　a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0得n≤34，
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an